Динамическая потеря устойчивости стержня при сжатии (простейшая модель) — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
 
(не показано 26 промежуточных версий 2 участников)
Строка 12: Строка 12:
 
== Формулировка задачи ==
 
== Формулировка задачи ==
 
[[Файл:File1.JPG|thumb|Рис.1 Структурная модель для динамического прогиба стержня при постоянной скорости сжатия.|300px]]
 
[[Файл:File1.JPG|thumb|Рис.1 Структурная модель для динамического прогиба стержня при постоянной скорости сжатия.|300px]]
−
1) Смоделировать стержень как показано на Рисунке 1.
 
  
−
2) Построить график <math>{\pmb F_{x}}(t)</math>, где <math>{\pmb F_{x}}</math> - проекция результирующей на ось <math>{x}</math>, <math>{t}</math> - время.
+
Для моделирования динамической потери устойчивости стержня при сжатии с постоянной скоростью рассмотрим простую одномерную модель Рис.1, которая отражает основные физические характеристики стержня подвергающегося сжатию с постоянной скоростью. Стержень моделируется с помощью грузика, двух пружин и двух опор("стен"). Грузик связан с двумя стенками линейными пружинами с жесткостью <math>{\pmb с_{L}}</math>. Поперечная жесткость стержня моделируется пружиной с жесткостью <math>{\pmb с_{T}}</math>. "Стены" движутся навстречу друг другу с постоянной скоростью <math>{\pmb v}</math>.
−
 
 
−
3) Построить график <math>{\pmb Y}(t)</math>, где <math>{Y}</math> - координата "грузика", <math>{t}</math> - время.
 
−
 
 
−
3) Иметь возможность менять исходные параметры.
 
−
 
 
−
== Общие сведения ==
 
−
 
 
−
Для моделирования рассмотрим простую одномерную модель, которая отражает основные физические характеристики стержня
 
−
подвергающегося сжатию с постоянной скоростью. Стержень моделируется с помощью грузика, двух пружин и двух опор("стен").  
 
−
Грузик связан с двумя стенками линейными пружинами с жесткостью <math>{\pmb с_{L}}</math>. Поперечная жесткость стержня
 
−
моделируется пружиной с жесткостью <math>{\pmb с_{T}}</math>. "Стены" движутся навстречу друг другу с постоянной  
 
−
скоростью <math>{\pmb v}</math>.
 
  
 
==Программа==
 
==Программа==
 
В данной программе в начальный момент времени задаются:
 
В данной программе в начальный момент времени задаются:
  
−
Жесткости пружин <math>{\pmb k_{1}}</math> = <math>{\pmb с_{L}}</math> и <math>{\pmb k_{2}}</math> = <math>{\pmb с_{T}}</math>.
+
Скорость движения опор через отношение(в процентах) - <big><math>{\frac{\pmb v}{\pmb v_{s}}}*{100%}</math></big>, где <math>{\pmb v}</math> - скорость опоры,
  
−
Начальное отклонение грузика от положения равновесия(<math>{\pmb y}</math>).
+
<big><math>{\pmb v_{s}}={\pmb a_{0}}*\sqrt{\frac{\pmb с_{L}}{\pmb m}}</math></big>,
 +
где <math>{\pmb a_{0}}</math> - равновесная длина пружины с жесткостью <math>{\pmb k_{1}}</math> = <math>{\pmb с_{L}}</math>,
 +
<math>{\pmb m}</math> - масса грузика.
  
−
Масса грузика (<math>{\pmb m}</math>)
+
Жесткости пружин <math>{\pmb k_{1}}</math> = <math>{\pmb с_{L}}</math> и <math>{\pmb k_{2}}</math> = <math>{\pmb с_{T}}</math> задаются через отношение <math>{\frac{\pmb k_{1}}{\pmb k_{2}}}</math>.
 +
 
 +
Начальное отклонение грузика от положения равновесия задается также через отношение(в процентах) - <big><math>{\frac{\pmb y}{\pmb a_{0}}}*{100%}</math></big>.
  
 
<center>
 
<center>
−
{{#widget:Iframe|url=https://ailurus.ru/stands/buckling/?iframe|width=680|height=550|border=0}}
+
{{#widget:Iframe|url=http://tm.spbstu.ru/htmlets/filimonovas/buckling%20failure|width=680|height=1450|border=0}}
 
</center>
 
</center>
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%" >
 +
'''Текст программы на языке JavaScript:'''
 +
<div class="mw-collapsible-content">
 +
<syntaxhighlight lang="javascript" line start="1" enclose="div">
 +
var integrator = VerletIntegrator;
 +
  var t = 0;
 +
  var dt = 0.002;
 +
  var step = 0;
 +
  var timeValue = document.getElementById('timeValue');
 +
  var stepFromBoard = 7;
 +
        var displacementData = {'x': [], 'y': []};
 +
    var forceData = {'x': [], 'y': []};
 +
  var displacementPlotCanvas = document.getElementById('displacementPlot');
 +
  var forcePlotCanvas = document.getElementById('forcePlot');
 +
    var textColor = 'rgb(51, 51, 51)'; 
 +
  var weight = undefined;
 +
var springs = new Array();
 +
var leftAttachment = undefined;
 +
var rightAttachment = undefined;
 +
var middleAttachment = createVerletElement([300, 200],null,Infinity,'isoscales triangle',[16, 10, '-y'],'Turquoise');
 +
applyInitionalConditions();
 +
draw();
 +
function applyInitionalConditions(){
 +
var displacement = +document.getElementById('displacement').value;
 +
var velocity = +document.getElementById('velocity').value;
 +
var stiffness1 = +document.getElementById('stiffness1').value;
 +
var stiffness2 = +document.getElementById('stiffness2').value;
 +
var mass = +document.getElementById('mass').value;
 +
      weight = createVerletElement([300, 200 - displacement],null,mass,'square',[20],'BlueViolet');
 +
leftAttachment = createVerletElement([14, 200],[14 - velocity * dt, 200],Infinity,'isoscales triangle',[16, 10, '-y'],'Turquoise');
 +
rightAttachment = createVerletElement([586, 200],[586 + velocity * dt, 200],Infinity,'isoscales triangle',[16, 10, '-y'],'Turquoise');
 +
      springs = new Array();
 +
springs.push(createSpringElement(leftAttachment, weight, null, stiffness1, [12, 12], 'Tomato'));
 +
springs.push(createSpringElement(rightAttachment, weight, null, stiffness1, [12, 12], 'Tomato'));
 +
springs.push(createSpringElement(middleAttachment, weight, 0, stiffness2, [3, 8], 'Silver'));
 +
    }
 +
    function applyPhysics(){
 +
if(t > 5.12 && keepPlaying){
 +
          keepPlaying = false;
 +
            document.getElementById('play').className = 'inactive';
 +
            return;
 +
      }
 +
      var deltaX, deltaY, deltalength, diff;
 +
var force = {'x': 0, 'y': 0};
 +
      var springForceX = 0;
 +
      for(var i = 0; i < springs.length; ++i){
 +
          deltaX = springs[i].end.position.x - springs[i].start.position.x;
 +
            deltaY = springs[i].end.position.y - springs[i].start.position.y;
 +
            deltalength = Math.sqrt(Math.pow(deltaX, 2) + Math.pow(deltaY, 2));
 +
          if(deltalength){
 +
diff =  1 - springs[i].freeLength / deltalength;
 +
            }else{diff = 0;}
 +
            force.y -= springs[i].stiffness * deltaY * diff;
 +
          if(0 == i){
 +
              springForceX = -springs[i].stiffness * deltaX * diff;
 +
          }
 +
      }
 +
      integrator(weight, force, dt);
 +
integrator(leftAttachment, null, dt);
 +
      integrator(rightAttachment, null, dt);
 +
     
 +
      if(!(step % 5)){
 +
displacementData.x.push(t);
 +
displacementData.y.push(200 - weight.position.y);
 +
forceData.x.push(t);
 +
forceData.y.push(springForceX);
 +
          plotFromData(displacementPlotCanvas, displacementData, 'y(t)', 'rgb(56, 195, 237)', undefined, textColor);
 +
          plotFromData(forcePlotCanvas, forceData, 'Fx(t)', 'rgb(195, 237, 56)', undefined, textColor);
 +
      }
 +
timeValue.textContent = t.toFixed(2);
 +
++step;
 +
    }
 +
  function draw(){
 +
ctx.clearRect(0, 0, canvas.width, canvas.height);
 +
for(var i = 0; i < springs.length; ++i){
 +
springs[i].draw();
 +
}
 +
leftAttachment.draw();
 +
rightAttachment.draw();
 +
middleAttachment.draw();
 +
weight.draw();
 +
  }
 +
 
 +
  /* Events */
 +
  document.getElementById('play').onclick = function(){
 +
      document.getElementById('conditions').className = 'hide';
 +
      document.getElementById('stand').className = '';
 +
    animate(5);
 +
    }
 +
document.getElementById('displacement').onchange = function(){
 +
document.getElementById('displacementValue').textContent = (+this.value).toFixed(1);
 +
applyInitionalConditions();
 +
      draw();
 +
  }
 +
document.getElementById('velocity').onchange = function(){
 +
document.getElementById('velocityValue').textContent = (+this.value).toFixed(1);
 +
applyInitionalConditions();
 +
      draw();
 +
  }
 +
document.getElementById('stiffness1').onchange = function(){
 +
document.getElementById('stiffness1Value').textContent = (+this.value).toFixed(1);
 +
applyInitionalConditions();
 +
      draw();
 +
  }
 +
document.getElementById('stiffness2').onchange = function(){
 +
document.getElementById('stiffness2Value').textContent = (+this.value).toFixed(1);
 +
applyInitionalConditions();
 +
      draw();
 +
  }
 +
document.getElementById('mass').onchange = function(){
 +
document.getElementById('massValue').textContent = (+this.value).toFixed(1);
 +
applyInitionalConditions();
 +
      draw();
 +
  }
 +
    function drawSpringElement(){
 +
        drawSpring(
 +
          this.start.position.x,
 +
          this.end.position.x,
 +
          this.start.position.y,
 +
          this.end.position.y,
 +
          this.sizes[0],
 +
          this.sizes[1],
 +
          this.color
 +
        );
 +
    }
 +
    function drawSpring(xStart, xEnd, yStart, yEnd, n, h, color){
 +
      ctx.beginPath();
 +
        ctx.lineWidth = 2;
 +
        ctx.strokeStyle = color;
 +
        var L = xEnd - xStart;
 +
        var Ly = yEnd - yStart;
 +
        for (var i = 0; i < n; ++i){
 +
            var x_st = xStart + L / n * i;
 +
            var y_st = yStart + Ly / n * i;
 +
            var x_end = xStart + L / n * (i + 1);
 +
            var y_end = yStart + Ly / n * (i + 1);
 +
            var l = x_end - x_st;
 +
            var ly = y_end - y_st;
 +
            ctx.beginPath();
 +
            ctx.bezierCurveTo(x_st, y_st, x_st + l / 4, y_st + ly / 4 +  h, x_st + l / 2, y_st + ly / 2);
 +
            ctx.bezierCurveTo(x_st + l / 2, y_st + ly / 2, x_st + 3 * l / 4, y_st + 3 * ly / 4 - h, x_st + l, y_st + ly);
 +
            ctx.stroke();
 +
        }
 +
      ctx.closePath();
 +
    }
 +
</syntaxhighlight>
 +
</div>
 +
</div>
 +
  
 
==Результаты==
 
==Результаты==
  
−
Здесь приведены конечные результаты, при заданных начальных параметрах.  
+
График 1. <big><math>{\frac{\pmb Y(t)}{\pmb a_{0}}}</math></big>, где <math>{Y}</math> - координата "грузика", <math>{a_{0}}</math> - равновесная длина пружинки, соответствующее половине расстояния между опорами, <math>{t}</math> - время.
 +
 
 +
На графике 1 мы видим колебания около начального положения грузика, а при достижении критической силы в определенный момент времени можно заметить быстрое возрастание прогиба.
 +
 +
График 2. <big><math>{\frac{\pmb F_{x}(t)}{\pmb F_{e}}}</math></big>, где <math>{\pmb F_{x}}</math> - проекция результирующей силы на ось <math>{x}</math>, <math>{\pmb F_{е}}</math> - Эйлерова критическая сила в статике, <math>{t}</math> - время.
 +
 +
На графике 2 первоначально сила возрастает линейно, но когда она достигает критического значения мы наблюдаем колебательный процесс, причем как амплитуда колебаний, так и среднее значение силы убывают.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
[[File:Y(t).JPG|thumb|График 1. '''<math>{\frac{\pmb Y(t)}{\pmb a_{0}}}</math>''' |слева|500px]]
 +
[[File:Fx(t).JPG|thumb|График 2. '''<math>{\frac{\pmb F_{x}(t)}{\pmb F_{e}}}</math>''' |справа|500px]]
 +
 
 +
 
 +
 
  
−
На Рисунке 2 предоставлено конечное положение грузика, при заданном времени.
 
  
−
На Графике 1 мы наблюдаем, что на некотором расстоянии между стенками (через
 
−
некоторое время после начала движения стен) равновесие становится неустойчивым.
 
  
−
На Графике 2 мы видим проекцию результируещей силы во времени на ось <math>{X}</math>
 
  
  
−
[[Файл:KonPolGr.JPG|thumb|Рисунок 2. Положение системы в конечный момент времени |центр|400px]]
 
−
[[Файл:Y(t).JPG|thumb|График 1. '''<math>{\pmb Y}(t)</math>''' |слева|400px]]
 
−
[[Файл:Fy(t).JPG|thumb|График 2. '''<math>{\pmb F_{x}}(t)</math>''' |справа|400px]]
 
  
  
Строка 77: Строка 225:
  
 
==Ссылки==
 
==Ссылки==
−
*Vitaly A. Kuzkin Structural model for the dynamic buckling of a column under constant rate compression
+
*Kuzkin V.A., Dannert M.M.: Dynamic buckling of a column under constant speed compression. Acta Mech (2016) 227:1645-1652.

Текущая версия на 22:46, 24 января 2017

Курсовые работы 2016-2017 учебного года > Динамическая потеря устойчивости стержня при сжатии (простейшая модель)

Курсовой проект по Механике дискретных сред

Исполнитель: Филимонов Александр

Группа: 09 (43604/1)

Семестр: осень 2016


Формулировка задачи[править]

Рис.1 Структурная модель для динамического прогиба стержня при постоянной скорости сжатия.

Для моделирования динамической потери устойчивости стержня при сжатии с постоянной скоростью рассмотрим простую одномерную модель Рис.1, которая отражает основные физические характеристики стержня подвергающегося сжатию с постоянной скоростью. Стержень моделируется с помощью грузика, двух пружин и двух опор("стен"). Грузик связан с двумя стенками линейными пружинами с жесткостью [math]{\pmb с_{L}}[/math]. Поперечная жесткость стержня моделируется пружиной с жесткостью [math]{\pmb с_{T}}[/math]. "Стены" движутся навстречу друг другу с постоянной скоростью [math]{\pmb v}[/math].

Программа[править]

В данной программе в начальный момент времени задаются:

Скорость движения опор через отношение(в процентах) - [math]{\frac{\pmb v}{\pmb v_{s}}}*{100%}[/math], где [math]{\pmb v}[/math] - скорость опоры,

[math]{\pmb v_{s}}={\pmb a_{0}}*\sqrt{\frac{\pmb с_{L}}{\pmb m}}[/math], где [math]{\pmb a_{0}}[/math] - равновесная длина пружины с жесткостью [math]{\pmb k_{1}}[/math] = [math]{\pmb с_{L}}[/math], [math]{\pmb m}[/math] - масса грузика.

Жесткости пружин [math]{\pmb k_{1}}[/math] = [math]{\pmb с_{L}}[/math] и [math]{\pmb k_{2}}[/math] = [math]{\pmb с_{T}}[/math] задаются через отношение [math]{\frac{\pmb k_{1}}{\pmb k_{2}}}[/math].

Начальное отклонение грузика от положения равновесия задается также через отношение(в процентах) - [math]{\frac{\pmb y}{\pmb a_{0}}}*{100%}[/math].

Текст программы на языке JavaScript: 

  1 	var integrator = VerletIntegrator;
  2   	var t = 0;
  3   	var dt = 0.002;
  4   	var step = 0;
  5   	var timeValue = document.getElementById('timeValue');
  6   	var stepFromBoard = 7;
  7         var displacementData = {'x': [], 'y': []};
  8     var forceData = {'x': [], 'y': []};
  9   	var displacementPlotCanvas = document.getElementById('displacementPlot');
 10   	var forcePlotCanvas = document.getElementById('forcePlot');
 11     var textColor = 'rgb(51, 51, 51)';  
 12   	var weight = undefined;
 13 	var springs = new Array();
 14 	var leftAttachment = undefined;
 15 	var rightAttachment = undefined;
 16 	var middleAttachment = createVerletElement([300, 200],null,Infinity,'isoscales triangle',[16, 10, '-y'],'Turquoise');
 17 	applyInitionalConditions();
 18 	draw();
 19 	function applyInitionalConditions(){
 20 		var displacement = +document.getElementById('displacement').value;
 21 		var velocity = +document.getElementById('velocity').value;
 22 		var stiffness1 = +document.getElementById('stiffness1').value;
 23 		var stiffness2 = +document.getElementById('stiffness2').value;
 24 		var mass = +document.getElementById('mass').value;
 25       	weight = createVerletElement([300, 200 - displacement],null,mass,'square',[20],'BlueViolet');
 26 		leftAttachment = createVerletElement([14, 200],[14 - velocity * dt, 200],Infinity,'isoscales triangle',[16, 10, '-y'],'Turquoise');
 27 		rightAttachment = createVerletElement([586, 200],[586 + velocity * dt, 200],Infinity,'isoscales triangle',[16, 10, '-y'],'Turquoise');
 28       	springs = new Array();
 29 		springs.push(createSpringElement(leftAttachment, weight, null, stiffness1, [12, 12], 'Tomato'));
 30 		springs.push(createSpringElement(rightAttachment, weight, null, stiffness1, [12, 12], 'Tomato'));
 31 		springs.push(createSpringElement(middleAttachment, weight, 0, stiffness2, [3, 8], 'Silver'));
 32     }
 33     function applyPhysics(){
 34 		if(t > 5.12 && keepPlaying){
 35           	keepPlaying = false;
 36             document.getElementById('play').className = 'inactive';
 37             return;
 38       	}
 39       	var deltaX, deltaY, deltalength, diff;
 40 		var force = {'x': 0, 'y': 0};
 41       	var springForceX = 0;
 42       	for(var i = 0; i < springs.length; ++i){
 43           	deltaX = springs[i].end.position.x - springs[i].start.position.x;
 44             deltaY = springs[i].end.position.y - springs[i].start.position.y;
 45             deltalength = Math.sqrt(Math.pow(deltaX, 2) + Math.pow(deltaY, 2));
 46           	if(deltalength){
 47 				diff =  1 - springs[i].freeLength / deltalength;
 48             }else{diff = 0;}
 49             force.y -= springs[i].stiffness * deltaY * diff;
 50           	if(0 == i){
 51               	springForceX = -springs[i].stiffness * deltaX * diff;
 52           	}
 53       	}
 54       	integrator(weight, force, dt);
 55 		integrator(leftAttachment, null, dt);
 56       	integrator(rightAttachment, null, dt);
 57       	
 58       	if(!(step % 5)){
 59 			displacementData.x.push(t);
 60 			displacementData.y.push(200 - weight.position.y);
 61 			forceData.x.push(t);
 62 			forceData.y.push(springForceX);
 63           	plotFromData(displacementPlotCanvas, displacementData, 'y(t)', 'rgb(56, 195, 237)', undefined, textColor);
 64           	plotFromData(forcePlotCanvas, forceData, 'Fx(t)', 'rgb(195, 237, 56)', undefined, textColor);
 65       	} 
 66 		timeValue.textContent = t.toFixed(2);
 67 		++step;
 68     }
 69   	function draw(){
 70 		ctx.clearRect(0, 0, canvas.width, canvas.height);
 71 		for(var i = 0; i < springs.length; ++i){
 72 			springs[i].draw();
 73 		}
 74 		leftAttachment.draw();
 75 		rightAttachment.draw();
 76 		middleAttachment.draw();
 77 		weight.draw();
 78   	}
 79   
 80   	/* Events */
 81   	document.getElementById('play').onclick = function(){
 82       	document.getElementById('conditions').className = 'hide';
 83       	document.getElementById('stand').className = '';
 84     	animate(5);
 85     }
 86 	document.getElementById('displacement').onchange = function(){
 87 		document.getElementById('displacementValue').textContent = (+this.value).toFixed(1);
 88 		applyInitionalConditions();
 89       	draw();
 90   	}
 91 	document.getElementById('velocity').onchange = function(){
 92 		document.getElementById('velocityValue').textContent = (+this.value).toFixed(1);
 93 		applyInitionalConditions();
 94       	draw();
 95   	}
 96 	document.getElementById('stiffness1').onchange = function(){
 97 		document.getElementById('stiffness1Value').textContent = (+this.value).toFixed(1);
 98 		applyInitionalConditions();
 99       	draw();
100   	}
101 	document.getElementById('stiffness2').onchange = function(){
102 		document.getElementById('stiffness2Value').textContent = (+this.value).toFixed(1);
103 		applyInitionalConditions();
104       	draw();
105   	}
106 	document.getElementById('mass').onchange = function(){
107 		document.getElementById('massValue').textContent = (+this.value).toFixed(1);
108 		applyInitionalConditions();
109       	draw();
110   	}
111     function drawSpringElement(){
112         drawSpring(
113           			this.start.position.x,
114           			this.end.position.x,
115           			this.start.position.y,
116           			this.end.position.y,
117           			this.sizes[0],
118           			this.sizes[1],
119           			this.color
120         			);
121     }
122     function drawSpring(xStart, xEnd, yStart, yEnd, n, h, color){
123       	ctx.beginPath();
124         ctx.lineWidth = 2;
125         ctx.strokeStyle = color;
126         var L = xEnd - xStart;
127         var Ly = yEnd - yStart;
128         for (var i = 0; i < n; ++i){
129             var x_st = xStart + L / n * i;
130             var y_st = yStart + Ly / n * i;
131             var x_end = xStart + L / n * (i + 1);
132             var y_end = yStart + Ly / n * (i + 1);
133             var l = x_end - x_st;
134             var ly = y_end - y_st;
135             ctx.beginPath();
136             ctx.bezierCurveTo(x_st, y_st, x_st + l / 4, y_st + ly / 4 +  h, x_st + l / 2, y_st + ly / 2);
137             ctx.bezierCurveTo(x_st + l / 2, y_st + ly / 2, x_st + 3 * l / 4, y_st + 3 * ly / 4 - h, x_st + l, y_st + ly);
138             ctx.stroke();
139         }
140       	ctx.closePath();
141     }


Результаты[править]

График 1. [math]{\frac{\pmb Y(t)}{\pmb a_{0}}}[/math], где [math]{Y}[/math] - координата "грузика", [math]{a_{0}}[/math] - равновесная длина пружинки, соответствующее половине расстояния между опорами, [math]{t}[/math] - время.

На графике 1 мы видим колебания около начального положения грузика, а при достижении критической силы в определенный момент времени можно заметить быстрое возрастание прогиба.

График 2. [math]{\frac{\pmb F_{x}(t)}{\pmb F_{e}}}[/math], где [math]{\pmb F_{x}}[/math] - проекция результирующей силы на ось [math]{x}[/math], [math]{\pmb F_{е}}[/math] - Эйлерова критическая сила в статике, [math]{t}[/math] - время.

На графике 2 первоначально сила возрастает линейно, но когда она достигает критического значения мы наблюдаем колебательный процесс, причем как амплитуда колебаний, так и среднее значение силы убывают.



График 1. [math]{\frac{\pmb Y(t)}{\pmb a_{0}}}[/math]
График 2. [math]{\frac{\pmb F_{x}(t)}{\pmb F_{e}}}[/math]















Ссылки[править]

  • Kuzkin V.A., Dannert M.M.: Dynamic buckling of a column under constant speed compression. Acta Mech (2016) 227:1645-1652.
Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=Динамическая_потеря_устойчивости_стержня_при_сжатии_(простейшая_модель)&oldid=46108»