Свободные колебания груза с массой зависящей от времени — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
(Постановка задачи)
(Решение)
 
(не показано 13 промежуточных версий 2 участников)
Строка 1: Строка 1:
 
==Описание==
 
==Описание==
 
===Постановка задачи===
 
===Постановка задачи===
В данной задаче рассматриваются свободные колебания груза на пружинке с массой, зависящей от времени.  
+
Рассмотреть свободные колебания груза на пружинке с массой, зависящей от времени.
 +
Проанализировать полученные результаты.
 +
 
 +
===Начальные сведения===
 
Дифференциальное уравнение колебаний имеет вид:
 
Дифференциальное уравнение колебаний имеет вид:
<math>  m(t) \ddot x + c x=0</math>,
+
<math>  m(t) \ddot x + c x=0</math>
где
+
,где
<math>
+
:<math> m(t) =  
m(t) =  
 
 
  \begin{cases}
 
  \begin{cases}
   m_1 &\text{ $ t \in A$}\\
+
   m_1 &\text{ $ t \leqslant t_0$}\\
   m_2 &\text{ $ t \in A^c$}
+
   m_2 &\text{ $ t > t_0$}
 
  \end{cases}
 
  \end{cases}
 
</math> - масса груза;
 
</math> - масса груза;
<math> с </math> - жесткость пружины;
+
:<math>c</math> - жесткость пружины;
 
+
:<math>x</math> - отклонение от положения равновесия;
===Поставленные цели===
 
''Опишите что (и к какому времени) хотелось бы сделать/получить. Советую использовать [http://www.tqmxxi.ru/marketing/analitica/SMART.htm SMART-принцип]. Можно расписать общий план реализации проекта.''
 
 
 
==Результаты по проекту==
 
''Сюда вынести значимые результаты, полученные в ходе работы над проектом (публикации, программы, описания, статьи,...), и время их получения (наиболее свежие результаты должны быть снизу)''
 
  
==Литература и ссылки==
+
==Решение==
''Актуальная информация, используемая в проекте''
+
Для решения задачи Коши возьмем начальные условия в виде <math>x(0) = x_0, \dot x(0)= 0</math>.
* [[Медиа: Neural_network_toolbox_manual.pdf |Книга/Печатная статья]]
+
Тогда для <math>t\leqslant t_0</math> решение будет иметь вид:
* [http://google.ru Ссылка]
+
:<math>x_1 = x_0 \cos \omega_1 t </math>
* [[Нейронные сети|Статья с этого вики-сайта]]
+
А для  <math>t > t_0</math> решение имеет вид:
 +
: <math>x_2 = A \cos \omega_2 t + B \sin \omega_2 t  </math>
 +
где константы интегрирования необходимо найти из условия сшивания:
 +
: <math> x_1(t_0)=x_2(t_0) </math>
 +
: <math>  \dot x_1(t_0)=\dot x_2(t_0) </math>
 +
Запишем эти условия в виде системы линейных уравнений:
 +
: <math>
 +
\begin{cases}
 +
    A \cos \omega_2 t_0 + B \sin \omega_2 t_0 =  x_0 \cos \omega_1 t_0 \\
 +
    \omega_2(-A \sin \omega_2 t_0 + B \cos \omega_2 t_0) = -\omega_1  x_0 \sin \omega_1 t_0\\
 +
\end{cases}
 +
</math>
 +
Рассмотрим два частных случая:
 +
:1) <math> \cos \omega_1 t_0 = 1 , \sin \omega_1 t_0 = 0 </math>
 +
:2) <math> \cos \omega_1 t_0 = 0 , \sin \omega_1 t_0 = 1 </math>
 +
Для первого случая получим решение в виде:
 +
:<math>x_2 = x_0 \cos \omega_2 (t-t_0) </math>
 +
Видим, что амплитуда колебаний остается прежней, а частота колебаний меняется.
 +
Для второго случая решение имеет вид:
 +
:<math>x_2 = x_0 \sqrt{\frac{m_2}{m_1}} \sin \omega_2 (t+t_0) </math>
 +
В данном случае видим, что амплитуда зависит от корня из отношения масс. Это значит что она может как уменьшиться, так и увеличиться.
  
==См. также==
+
==Визуализация==
''Другие страницы, релевантные данной: схожие проекты, информация по теме и т.п. В общем всё, что может заинтересовать человека, просматривающего данную страницу.''<br><br>
+
Для визуализации воспользуемся [[Интерактивная модель простейшей колебательной системы|данной]] моделью груза на пружине.
 +
Чтобы наблюдать эффект изменения/сохранения амплитуды, необходимо резко поменять массу системы.
  
''Не забываем добавить [http://tm.spbstu.ru/?title=%D0%A1%D0%BB%D1%83%D0%B6%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B0%D1%8F:Categories&limit=250 категории]. Помимо прочих категорий обязательно выбрать одно из двух: "Категория:Студенческие проекты" (студентам и школьникам!) либо "Категория:Научные проекты"''
+
{{#widget:Iframe |url=http://tm.spbstu.ru/htmlets/Tcvetkov/Spring/Spring_v2-1_release/Spring.html |width=645 |height=565 |border=0 }}
[[Category:Шаблоны]]
 

Текущая версия на 15:20, 22 июня 2016

Описание[править]

Постановка задачи[править]

Рассмотреть свободные колебания груза на пружинке с массой, зависящей от времени. Проанализировать полученные результаты.

Начальные сведения[править]

Дифференциальное уравнение колебаний имеет вид: [math] m(t) \ddot x + c x=0[/math] ,где

[math] m(t) = \begin{cases} m_1 &\text{ $ t \leqslant t_0$}\\ m_2 &\text{ $ t \gt t_0$} \end{cases} [/math] - масса груза;
[math]c[/math] - жесткость пружины;
[math]x[/math] - отклонение от положения равновесия;

Решение[править]

Для решения задачи Коши возьмем начальные условия в виде [math]x(0) = x_0, \dot x(0)= 0[/math]. Тогда для [math]t\leqslant t_0[/math] решение будет иметь вид:

[math]x_1 = x_0 \cos \omega_1 t [/math]

А для [math]t \gt t_0[/math] решение имеет вид:

[math]x_2 = A \cos \omega_2 t + B \sin \omega_2 t [/math]

где константы интегрирования необходимо найти из условия сшивания:

[math] x_1(t_0)=x_2(t_0) [/math]
[math] \dot x_1(t_0)=\dot x_2(t_0) [/math]

Запишем эти условия в виде системы линейных уравнений:

[math] \begin{cases} A \cos \omega_2 t_0 + B \sin \omega_2 t_0 = x_0 \cos \omega_1 t_0 \\ \omega_2(-A \sin \omega_2 t_0 + B \cos \omega_2 t_0) = -\omega_1 x_0 \sin \omega_1 t_0\\ \end{cases} [/math]

Рассмотрим два частных случая:

1) [math] \cos \omega_1 t_0 = 1 , \sin \omega_1 t_0 = 0 [/math]
2) [math] \cos \omega_1 t_0 = 0 , \sin \omega_1 t_0 = 1 [/math]

Для первого случая получим решение в виде:

[math]x_2 = x_0 \cos \omega_2 (t-t_0) [/math]

Видим, что амплитуда колебаний остается прежней, а частота колебаний меняется. Для второго случая решение имеет вид:

[math]x_2 = x_0 \sqrt{\frac{m_2}{m_1}} \sin \omega_2 (t+t_0) [/math]

В данном случае видим, что амплитуда зависит от корня из отношения масс. Это значит что она может как уменьшиться, так и увеличиться.

Визуализация[править]

Для визуализации воспользуемся данной моделью груза на пружине. Чтобы наблюдать эффект изменения/сохранения амплитуды, необходимо резко поменять массу системы.