Простой гармонический одномерный кристалл — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
(→‎top)
 
(не показано 6 промежуточных версий 3 участников)
Строка 1: Строка 1:
 
[[ТМ|Кафедра ТМ]] > [[Научный справочник]] > [[Механика]] > [[Механика дискретных сред | МДС]] >[[Одномерный кристалл]]>'''Простой гармонический'''
 
[[ТМ|Кафедра ТМ]] > [[Научный справочник]] > [[Механика]] > [[Механика дискретных сред | МДС]] >[[Одномерный кристалл]]>'''Простой гармонический'''
  
−
''Одномерный кристалл с линейным взаимодействием между частицами, в котором все частицы и связи одинаковы. Наиболее простая модель в механике дискретных сред, обнаруживающая, однако, очень непростое поведение, прежде всего в задачах распространения тепла.''
+
''Также: кристалл Гука. Одномерный кристалл с линейным взаимодействием между ближайшими частицами, в котором все частицы и связи одинаковы. Наиболее простая модель в механике дискретных сред, обнаруживающая, однако, очень непростое поведение, прежде всего в задачах распространения тепла.''
  
 
== Уравнение движения ==
 
== Уравнение движения ==
Строка 10: Строка 10:
  
 
где <math>m</math> — масса атома, <math>C</math> — жесткость связи, <math>u_k</math> — перемещение атома, <math>f_k</math> — внешняя сила, <math>k</math> — номер атома, точкой обозначена производная по времени.
 
где <math>m</math> — масса атома, <math>C</math> — жесткость связи, <math>u_k</math> — перемещение атома, <math>f_k</math> — внешняя сила, <math>k</math> — номер атома, точкой обозначена производная по времени.
 +
 +
== Виртуальная лаборатория ==
 +
 +
*[[Динамика одномерного кристалла]]
 +
*[[Распространение тепла в гармоническом одномерном кристалле]]
  
 
== Публикации по теме ==
 
== Публикации по теме ==
 +
 +
=== Тепловые процессы ===
  
 
* [https://www.icts.res.in/people/1/details/90/ A. Dhar], R. Dandekar. '''Heat transport and current fluctuations in harmonic crystals.''' Physica A: Statistical Mechanics and its Applications (2015), Volume 418, 49-64. [http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0378437114004671?np=y Abstract].
 
* [https://www.icts.res.in/people/1/details/90/ A. Dhar], R. Dandekar. '''Heat transport and current fluctuations in harmonic crystals.''' Physica A: Statistical Mechanics and its Applications (2015), Volume 418, 49-64. [http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0378437114004671?np=y Abstract].
  
−
*  [[А.М. Кривцов]]. '''Распространение тепла в бесконечном одномерном гармоническом кристалле'''. Доклады Академии Наук (2015), том 464, № 2. (Скачать pdf корректуры статьи:  [[Медиа: Krivtsov_2015_DAN_rus_proof.pdf|618 Kб]]) ''(Аналитически получены аналоги уравнения теплопроводности и закона Фурье).''
+
* [[A.M. Krivtsov]]. '''On unsteady heat conduction in a harmonic crystal'''. 2015, ArXiv:1509.02506 ([http://arxiv.org/abs/1509.02506 abstract], [http://arxiv.org/pdf/1509.02506v2.pdf pdf], [[Heat transfer in a 1D harmonic crystal|simulation]]) ''(Аналитически получены аналоги уравнения теплопроводности и закона Фурье).''
 +
<!--
 +
*  [[А.М. Кривцов]]. '''Распространение тепла в бесконечном одномерном гармоническом кристалле'''. Доклады Академии Наук (2015), том 464, № 2, C. 162-166. (Скачать pdf:  [[Медиа: Krivtsov_2015 DAN rus proof.pdf|93 Kб]])''
 +
-->
  
 
* [[А.М. Кривцов]]. '''Колебания энергий в одномерном кристалле'''. Доклады Академии Наук (2014), том 458, № 3, 279-281. (Скачать pdf: [[Медиа: Krivtsov_2014_DAN_rus_corrected.pdf| 180 Kb]]). English version: [[A.M. Krivtsov]]. '''Energy Oscillations in a One-Dimensional Crystal'''. Doklady Physics (2014), Volume 59, No. 9, 427–430. (Download pdf: [[Медиа: Krivtsov_2014_DAN_eng_corrected.pdf| 162 Kb]]) ''(Аналитически описан процесс выхода на тепловое равновесие для пространственно-однородного состояния кристалла).''
 
* [[А.М. Кривцов]]. '''Колебания энергий в одномерном кристалле'''. Доклады Академии Наук (2014), том 458, № 3, 279-281. (Скачать pdf: [[Медиа: Krivtsov_2014_DAN_rus_corrected.pdf| 180 Kb]]). English version: [[A.M. Krivtsov]]. '''Energy Oscillations in a One-Dimensional Crystal'''. Doklady Physics (2014), Volume 59, No. 9, 427–430. (Download pdf: [[Медиа: Krivtsov_2014_DAN_eng_corrected.pdf| 162 Kb]]) ''(Аналитически описан процесс выхода на тепловое равновесие для пространственно-однородного состояния кристалла).''
−
 
−
* [http://www.researchgate.net/profile/August_Wierling/info A. Wierling]. '''Dynamic structure factor of linear harmonic chain – A recurrence relation approach.''' The European Physical Journal B (2012), Volume 85, Issue 1, Article number 20. [http://link.springer.com/article/10.1140%2Fepjb%2Fe2011-20571-5 Abstract] ''(Получено рекуррентное соотношение для определения динамического структурного множителя в гармонической цепочке).''
 
  
 
* D. Roy, [https://www.icts.res.in/people/1/details/90/ A. Dhar]. '''Heat Transport in Ordered Harmonic Lattices.''' J Stat Phys (2008),  Volume 131, Issue 3, 535–541. ([http://link.springer.com/article/10.1007%2Fs10955-008-9487-1 Abstract], [https://home.icts.res.in/~abhi/Papers/39-harmlatt-II.pdf pdf]) ''(Получена точная формула для теплового потока в гармонической цепочке, в частных случаях воспроизводящая результаты Rieder et al. (1967) и Nakazawa (1970), исследуется также квантовый случай).''
 
* D. Roy, [https://www.icts.res.in/people/1/details/90/ A. Dhar]. '''Heat Transport in Ordered Harmonic Lattices.''' J Stat Phys (2008),  Volume 131, Issue 3, 535–541. ([http://link.springer.com/article/10.1007%2Fs10955-008-9487-1 Abstract], [https://home.icts.res.in/~abhi/Papers/39-harmlatt-II.pdf pdf]) ''(Получена точная формула для теплового потока в гармонической цепочке, в частных случаях воспроизводящая результаты Rieder et al. (1967) и Nakazawa (1970), исследуется также квантовый случай).''
Строка 26: Строка 34:
  
 
* Z. Rieder, [https://en.wikipedia.org/wiki/Joel_Lebowitz J. L. Lebowitz] and [https://en.wikipedia.org/wiki/Elliott_H._Lieb E. Lieb]. '''Properties of a Harmonic Crystal in a Stationary Nonequilibrium State.''' J. Math. Phys. (1967), Volume 8, Issue 5, 1073. [http://scitation.aip.org/content/aip/journal/jmp/8/5/10.1063/1.1705319 Abstract] ''(Впервые показано, что для гармонической цепочки тепловой поток не зависит от количества частиц, а равновесная температура везде, кроме окрестности краев, равна полусумме температур краевых точек).''
 
* Z. Rieder, [https://en.wikipedia.org/wiki/Joel_Lebowitz J. L. Lebowitz] and [https://en.wikipedia.org/wiki/Elliott_H._Lieb E. Lieb]. '''Properties of a Harmonic Crystal in a Stationary Nonequilibrium State.''' J. Math. Phys. (1967), Volume 8, Issue 5, 1073. [http://scitation.aip.org/content/aip/journal/jmp/8/5/10.1063/1.1705319 Abstract] ''(Впервые показано, что для гармонической цепочки тепловой поток не зависит от количества частиц, а равновесная температура везде, кроме окрестности краев, равна полусумме температур краевых точек).''
 +
 +
=== Релаксационная динамика ===
 +
 +
В случае, когда <math>f_k = -b \dot u_k + \tilde f_k</math> и коэффициент вязкости <math>b</math> достаточно велик, чтобы можно было пренебречь инерционным слагаемым <math>m\ddot u_k</math>, уравнение динамики Ньютона (2-го порядка) преобразуются в уравнения релаксационной динамики (1-го порядка):
 +
:<math>b\dot u_k = C(u_{k+1}-2u_{k}+u_{k-1}) + \tilde f_k.</math>
 +
Подобные модели рассматриваются для описания, в частности, волн заряда-плотности в сверхпроводниках (CDW: charge-density waves).
 +
 +
=== Другие вопросы ===
 +
 +
* [http://www.researchgate.net/profile/August_Wierling/info A. Wierling]. '''Dynamic structure factor of linear harmonic chain – A recurrence relation approach.''' The European Physical Journal B (2012), Volume 85, Issue 1, Article number 20. [http://link.springer.com/article/10.1140%2Fepjb%2Fe2011-20571-5 Abstract] ''(Получено рекуррентное соотношение для определения динамического структурного множителя в гармонической цепочке).''
  
 
== См. также ==
 
== См. также ==
Строка 31: Строка 49:
 
* [[Перенос тепла в одномерных кристаллах]]
 
* [[Перенос тепла в одномерных кристаллах]]
 
* [[Нарушение закона Фурье в идеальных кристаллах]]
 
* [[Нарушение закона Фурье в идеальных кристаллах]]
 +
 +
[[Category: Проект "Термокристалл"]]

Текущая версия на 07:20, 13 июня 2019

Кафедра ТМ > Научный справочник > Механика > МДС >Одномерный кристалл>Простой гармонический

Также: кристалл Гука. Одномерный кристалл с линейным взаимодействием между ближайшими частицами, в котором все частицы и связи одинаковы. Наиболее простая модель в механике дискретных сред, обнаруживающая, однако, очень непростое поведение, прежде всего в задачах распространения тепла.

Уравнение движения[править]

Классическая динамика рассматриваемого кристалла описывается следующим линейным дифференциально-разностным уравнением второго порядка

[math]m\ddot u_k = C(u_{k+1}-2u_{k}+u_{k-1}) + f_k,[/math]

где [math]m[/math] — масса атома, [math]C[/math] — жесткость связи, [math]u_k[/math] — перемещение атома, [math]f_k[/math] — внешняя сила, [math]k[/math] — номер атома, точкой обозначена производная по времени.

Виртуальная лаборатория[править]

Публикации по теме[править]

Тепловые процессы[править]

  • A. Dhar, R. Dandekar. Heat transport and current fluctuations in harmonic crystals. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications (2015), Volume 418, 49-64. Abstract.
  • A.M. Krivtsov. On unsteady heat conduction in a harmonic crystal. 2015, ArXiv:1509.02506 (abstract, pdf, simulation) (Аналитически получены аналоги уравнения теплопроводности и закона Фурье).
  • А.М. Кривцов. Колебания энергий в одномерном кристалле. Доклады Академии Наук (2014), том 458, № 3, 279-281. (Скачать pdf: 180 Kb). English version: A.M. Krivtsov. Energy Oscillations in a One-Dimensional Crystal. Doklady Physics (2014), Volume 59, No. 9, 427–430. (Download pdf: 162 Kb) (Аналитически описан процесс выхода на тепловое равновесие для пространственно-однородного состояния кристалла).
  • D. Roy, A. Dhar. Heat Transport in Ordered Harmonic Lattices. J Stat Phys (2008), Volume 131, Issue 3, 535–541. (Abstract, pdf) (Получена точная формула для теплового потока в гармонической цепочке, в частных случаях воспроизводящая результаты Rieder et al. (1967) и Nakazawa (1970), исследуется также квантовый случай).
  • H. Nakazawa. On the Lattice Thermal Conduction. Prog. Theor. Phys. Supplement (1970), Volume 45, 231-262. Abstract (Результаты Rieder at al (1967) аналитически распространяются на другие граничные условия и пространственный гармонический кристалл, для ангармонической цепочки численно показано, что тепловое сопротивление растет с увеличением нелинейности).
  • Z. Rieder, J. L. Lebowitz and E. Lieb. Properties of a Harmonic Crystal in a Stationary Nonequilibrium State. J. Math. Phys. (1967), Volume 8, Issue 5, 1073. Abstract (Впервые показано, что для гармонической цепочки тепловой поток не зависит от количества частиц, а равновесная температура везде, кроме окрестности краев, равна полусумме температур краевых точек).

Релаксационная динамика[править]

В случае, когда [math]f_k = -b \dot u_k + \tilde f_k[/math] и коэффициент вязкости [math]b[/math] достаточно велик, чтобы можно было пренебречь инерционным слагаемым [math]m\ddot u_k[/math], уравнение динамики Ньютона (2-го порядка) преобразуются в уравнения релаксационной динамики (1-го порядка):

[math]b\dot u_k = C(u_{k+1}-2u_{k}+u_{k-1}) + \tilde f_k.[/math]

Подобные модели рассматриваются для описания, в частности, волн заряда-плотности в сверхпроводниках (CDW: charge-density waves).

Другие вопросы[править]

  • A. Wierling. Dynamic structure factor of linear harmonic chain – A recurrence relation approach. The European Physical Journal B (2012), Volume 85, Issue 1, Article number 20. Abstract (Получено рекуррентное соотношение для определения динамического структурного множителя в гармонической цепочке).

См. также[править]

Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=Простой_гармонический_одномерный_кристалл&oldid=53635»