Эллиптический маятник — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
(→‎Решение частного случая)
(→‎Решение)
 
(не показаны 42 промежуточные версии 2 участников)
Строка 1: Строка 1:
 
'''''Задача:''''' С помощью языка программирования JavaScript смоделировать эллиптический маятник.
 
'''''Задача:''''' С помощью языка программирования JavaScript смоделировать эллиптический маятник.
 +
 +
'''Исполнитель:''' [[Булдаков Павел]] 
 +
 +
'''Группа:''' [[Группа 09|09]] (23604)
 +
 +
'''Семестр:''' весна 2015
 +
 
[[Файл:maytnic.png|thumb|]]
 
[[Файл:maytnic.png|thumb|]]
  
 
== Решение ==
 
== Решение ==
 +
 +
{{#widget:Iframe |url=http://tm.spbstu.ru/htmlets/buldakov/4.html |width=1200 |height=600}}
 +
 +
 +
Программа: [[Медиа: Maytnic.rar|скачать]]
 +
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
 +
'''Текст программы на языке JavaScript:''' <div class="mw-collapsible-content">
 +
 +
<syntaxhighlight lang="javascript" line start="1" enclose="div">
 +
function main()
 +
{
 +
//определяем сцену
 +
 +
var scene = new THREE.Scene();
 +
var camera = new THREE.PerspectiveCamera(45, window.innerWidth/window.innerHeight, 0.1, 1000);
 +
var render = new THREE.WebGLRenderer();
 +
render.setClearColor(0xEEEEEE, 1);
 +
render.setSize(window.innerWidth, window.innerHeight);
 +
 +
//ставим оси
 +
 +
var axes = new THREE.AxisHelper(20);
 +
scene.add(axes);
 +
var planeGeometry = new THREE.PlaneGeometry(80,10,1,1);
 +
var planeMaterial = new THREE.MeshLambertMaterial({color:0xCCCCCC});
 +
var plane = new THREE.Mesh(planeGeometry, planeMaterial);
 +
plane.rotation.x = -0.5*Math.PI;
 +
plane.position.x=0;
 +
plane.position.y=0;
 +
plane.position.z=0;
 +
scene.add(plane);
 +
 +
//создаем ползун
 +
 +
var cubeGeometry = new THREE.CubeGeometry(20,10,10);
 +
var cubeMesh = new THREE.MeshLambertMaterial({color:0xff0000, wireframe:false});
 +
var cube = new THREE.Mesh(cubeGeometry, cubeMesh);
 +
cube.position.x=-30;
 +
cube.position.y=5;
 +
cube.position.z=0;
 +
scene.add(cube);
 +
 +
// создаем соединяющую
 +
 +
var cube1Geometry = new THREE.CubeGeometry(1,15,0.5);
 +
var cube1Mesh = new THREE.MeshLambertMaterial({color:777777, wireframe:false});
 +
var cube1 = new THREE.Mesh(cube1Geometry, cube1Mesh);
 +
cube1.position.x=-20;
 +
cube1.position.y=-5;
 +
cube1.position.z=5;
 +
scene.add(cube1);
 +
 +
// создаем шшар
 +
 +
var trajectoryGeometry = new THREE.SphereGeometry(0.3,20,20);
 +
var trajectoryMaterial = new THREE.MeshBasicMaterial({color:0x7777ff, wireframe:true});
 +
var sphereGeometry = new THREE.SphereGeometry(4,20,20);
 +
var sphereMaterial = new THREE.MeshLambertMaterial({color:0x7777ff, wireframe:false});
 +
var sphere = new THREE.Mesh(sphereGeometry, sphereMaterial)
 +
sphere.position.x=-30;
 +
sphere.position.y=-15;
 +
sphere.position.z=5;
 +
scene.add(sphere);
 +
 +
// устанавливаем источник света
 +
 +
var  spotLight = new THREE.SpotLight(0xffffff);
 +
spotLight.position.set(-40,60,100);
 +
scene.add(spotLight);
 +
 +
//задаем тени
 +
 +
render.shadowMapEnabled = true;
 +
plane.receiveShadow = true;
 +
cube.castShadow = true;
 +
sphere.castShadow = true;
 +
spotLight.castShadow = true;
 +
 +
 +
//задаем положение камеры
 +
 +
camera.position.x= 1.5;
 +
camera.position.y= 13.7;
 +
camera.position.z= 80;
 +
camera.lookAt(scene.position);
 +
$("#webGL").append(render.domElement);
 +
 +
//добавляем ползунки для изменения скорости , массы, длины  и g
 +
 +
 +
var controls = new function() {
 +
this.m1 = 7.4;
 +
this.m2 = 2.9;
 +
this.l = 1;
 +
this.g = 9.83
 +
this.bouncingSpeed = 0.03;
 +
}
 +
var gui = new dat.GUI();
 +
 +
gui.add(controls, 'bouncingSpeed',0,0.5);
 +
gui.add(controls, 'm1',1,10);
 +
gui.add(controls, 'm2',1,10);
 +
gui.add(controls, 'l',0.5,5);
 +
gui.add(controls, 'g',0.5,20);
 +
 +
 +
 +
var stats = initStats();
 +
var step = 0;
 +
 +
contra = new THREE.OrbitControls(camera);
 +
contra.dumping = 0.2;
 +
 +
 +
window.addEventListener('resize',onWindowResize,false);
 +
 +
function onWindowResize(){
 +
camera.aspect = window.innerWidth/window.innerHeight;
 +
camera.updateProjectionMatrix();
 +
render.setSize(window.innerWidth,window.innerHeight);
 +
renderer();
 +
}
 +
 +
renderer();
 +
 +
// функция, в которой задаются законы, по которым работает эллиптический маятник
 +
 +
function renderer()
 +
{
 +
 +
 +
stats.update();
 +
 +
step+=controls.bouncingSpeed;
 +
cube1.scale.set(1,controls.l,0.5);
 +
t = 15*controls.l;
 +
 +
k =Math.sqrt(controls.g/t*controls.m1/(controls.m1+controls.m2));
 +
a = t*controls.m1/(controls.m1+controls.m2)*controls.m2/controls.m1*controls.g;
 +
cube.position.x=-a*Math.sin(k*step);
 +
sphere.position.x = t*(Math.sin(Math.sin(k*step))) - a*Math.sin(k*step);
 +
sphere.position.y =-t*(Math.cos(Math.sin(k*step)));
 +
cube1.position.x=(cube.position.x + sphere.position.x)/2;
 +
cube1.position.y=-t*(Math.cos(Math.sin(k*step)))/2;
 +
u = (-cube.position.x + sphere.position.x)/2;
 +
v = sphere.position.y/2;
 +
cube1.rotation.z=Math.asin(u/Math.sqrt(v*v + u*u));
 +
 +
 +
 +
requestAnimationFrame(renderer);
 +
contra.update();
 +
render.render(scene,camera);
 +
 +
var trajectory = new THREE.Mesh(trajectoryGeometry,trajectoryMaterial);
 +
trajectory.position.x = sphere.position.x;
 +
trajectory.position.y = sphere.position.y;
 +
trajectory.position.z = 5;
 +
scene.add(trajectory);
 +
document.getElementById("td1").innerHTML = camera.position.x;
 +
document.getElementById("td2").innerHTML = camera.position.y;
 +
document.getElementById("td3").innerHTML = camera.position.z;
 +
 +
}
 +
 +
 +
}
 +
function initStats()
 +
{
 +
var stats = new Stats();
 +
stats.setMode(0);
 +
stats.domElement.style.position='absolute';
 +
stats.domElement.style.left = '0px';
 +
stats.domElement.style.top = '0px';
 +
$("#Stats").append(stats.domElement);
 +
return stats;
 +
}
 +
 +
</syntaxhighlight>
 +
</div>
  
 
== Используемые библиотеки ==
 
== Используемые библиотеки ==
Строка 16: Строка 204:
  
 
* задание скорости раскачивания маятника
 
* задание скорости раскачивания маятника
 +
* изменение масс шара и ползуна
 +
* изменения силы тяжести
 
* детальное рассмотрение работы с удобного ракурса
 
* детальное рассмотрение работы с удобного ракурса
 
* получение рисунка траектории маятника
 
* получение рисунка траектории маятника
Строка 22: Строка 212:
  
 
'''''Условия задачи:'''''  
 
'''''Условия задачи:'''''  
−
[[Файл:maytnic.png|thumb|Картинка к задаче.]]
+
[[Файл:Zadacha.png|thumb|Картинка к задаче.]]
 
Составить уравнения движения эллиптического маятника, состоящего из ползуна M1 массы m1, скользящего без трения по горизонтальной плоскости, и шарика M2 массы m2, соединенного с ползуном стержнем AB длины l. Стержень может вращаться вокруг оси A, связанной с ползуном и перпендикулярной плоскости рисунка. Массой стержня пренебречь.  
 
Составить уравнения движения эллиптического маятника, состоящего из ползуна M1 массы m1, скользящего без трения по горизонтальной плоскости, и шарика M2 массы m2, соединенного с ползуном стержнем AB длины l. Стержень может вращаться вокруг оси A, связанной с ползуном и перпендикулярной плоскости рисунка. Массой стержня пренебречь.  
  
Строка 28: Строка 218:
  
 
<math>\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0 </math>
 
<math>\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0 </math>
 +
 +
где <math>L</math> - функция Лагранжа
 +
 +
<math>L = T-\Pi </math>
 +
 +
<math>T</math> - кинетическая энергия системы, <math>\Pi</math> - потенциальная энергия системы <math>q_1 = y</math> , <math>q_2 = \varphi </math>
 +
 +
<math>T = T_1 + T_2</math>, где <math> T_1</math> - кинетическая энергия ползуна, <math>T_1</math> - кинетическая энергия шара
 +
 +
<math>T_1 = \frac{1}{2}\ m_1\dot y^{2}</math>
 +
 +
<math>T_2 = \frac{1}{2}\ m_2\ V_2 ^{2}</math>
 +
 +
<math>V_2 = V_e + V_r</math> , <math>V_e = \dot \varphi \ l</math> , <math>V_r = \dot y\</math>
 +
 +
<math>V_2 ^{2} = \dot y^{2}\ + \dot \varphi ^{2}\ l^{2} + 2\ l\dot y\dot \varphi \cos(\varphi )\</math>
 +
 +
<math>T = \frac{1}{2} \ (m_1 + m_2) \dot y^{2} + \frac{1}{2} \ m_2 \ l ^{2} \dot \varphi^{2} + m_2 \ l\dot y\dot \varphi \cos(\varphi )\</math>
 +
 +
<math>\Pi = - m_2 \ l\ g \cos(\varphi )\ </math>
 +
 +
<math>L = \frac{1}{2} \ (m_1 + m_2) \dot y^{2} + \frac{1}{2} \ m_2 \ l ^{2} \dot \varphi^{2} + m_2 \ l\ (\dot y\dot \varphi + g) \cos(\varphi )\</math>
 +
 +
<math>\frac{\partial L}{\partial\dot y} = (m_1 + m_2) \dot y + m_2 \ l\dot \varphi \cos(\varphi )\</math>   
 +
 +
<math>\frac{\partial L}{\partial y} = 0  </math>
 +
 +
<math>\frac{\partial L}{\partial\dot \varphi } = m_2 \ l ^{2} \dot \varphi + m_2 \ l\dot y \cos(\varphi )\</math>
 +
 +
<math>\frac{\partial L}{\partial\varphi} = - m_2 \ l\ (\dot y\dot \varphi + g) \sin(\varphi )\</math>
 +
 +
В результате получаем уравнения , описывающие движение рассматриваемой системы :
 +
 +
<math> (m_1 + m_2) \ddot y + m_2 \ l\ddot \varphi \cos(\varphi ) - m_2 \ l\dot \varphi \sin(\varphi ) = 0</math>
 +
 +
<math> l \ddot \varphi + \ddot y \cos(\varphi ) + g \sin(\varphi) = 0 </math>
  
 
== См. также ==
 
== См. также ==

Текущая версия на 02:10, 27 мая 2015

Задача: С помощью языка программирования JavaScript смоделировать эллиптический маятник.

Исполнитель: Булдаков Павел

Группа: 09 (23604)

Семестр: весна 2015

Maytnic.png

Решение[править]


Программа: скачать

Текст программы на языке JavaScript: 
  1 function main()
  2 {
  3 	//определяем сцену
  4 
  5 	var scene = new THREE.Scene();
  6 	var camera = new THREE.PerspectiveCamera(45, window.innerWidth/window.innerHeight, 0.1, 1000);
  7 	var render = new THREE.WebGLRenderer();
  8 	render.setClearColor(0xEEEEEE, 1);
  9 	render.setSize(window.innerWidth, window.innerHeight);
 10 	
 11 	//ставим оси
 12 	
 13 	var axes = new THREE.AxisHelper(20);
 14 	scene.add(axes);
 15 	var planeGeometry = new THREE.PlaneGeometry(80,10,1,1);
 16 	var planeMaterial = new THREE.MeshLambertMaterial({color:0xCCCCCC});
 17 	var plane = new THREE.Mesh(planeGeometry, planeMaterial);
 18 	plane.rotation.x = -0.5*Math.PI;
 19 	plane.position.x=0;
 20 	plane.position.y=0;
 21 	plane.position.z=0;
 22 	scene.add(plane);
 23 
 24 	//создаем ползун
 25 	
 26 	var cubeGeometry = new THREE.CubeGeometry(20,10,10);
 27 	var cubeMesh = new THREE.MeshLambertMaterial({color:0xff0000, wireframe:false});
 28 	var cube = new THREE.Mesh(cubeGeometry, cubeMesh);
 29 	cube.position.x=-30;
 30 	cube.position.y=5;
 31 	cube.position.z=0;
 32 	scene.add(cube);
 33 	
 34 	// создаем соединяющую
 35 	
 36 	var cube1Geometry = new THREE.CubeGeometry(1,15,0.5);
 37 	var cube1Mesh = new THREE.MeshLambertMaterial({color:777777, wireframe:false});
 38 	var cube1 = new THREE.Mesh(cube1Geometry, cube1Mesh);
 39 	cube1.position.x=-20;
 40 	cube1.position.y=-5;
 41 	cube1.position.z=5;
 42 	scene.add(cube1);
 43 	
 44 	// создаем шшар
 45 
 46 	var trajectoryGeometry = new THREE.SphereGeometry(0.3,20,20);
 47 	var trajectoryMaterial = new THREE.MeshBasicMaterial({color:0x7777ff, wireframe:true});
 48 	var sphereGeometry = new THREE.SphereGeometry(4,20,20);
 49 	var sphereMaterial = new THREE.MeshLambertMaterial({color:0x7777ff, wireframe:false});
 50 	var sphere = new THREE.Mesh(sphereGeometry, sphereMaterial)
 51 	sphere.position.x=-30;
 52 	sphere.position.y=-15;
 53 	sphere.position.z=5;
 54 	scene.add(sphere);
 55 
 56 	 // устанавливаем источник света
 57 
 58 	var  spotLight = new THREE.SpotLight(0xffffff);
 59 	spotLight.position.set(-40,60,100);
 60 	scene.add(spotLight);
 61 	
 62 	//задаем тени
 63 
 64 	render.shadowMapEnabled = true;
 65 	plane.receiveShadow = true;
 66 	cube.castShadow = true;
 67 	sphere.castShadow = true;
 68 	spotLight.castShadow = true;
 69 
 70 	
 71 	//задаем положение камеры
 72 	
 73 	camera.position.x= 1.5;
 74 	camera.position.y= 13.7;
 75 	camera.position.z= 80;
 76 	camera.lookAt(scene.position);
 77 	$("#webGL").append(render.domElement);
 78 	
 79 	//добавляем ползунки для изменения скорости , массы, длины  и g
 80 	
 81 
 82 	var controls = new function() {
 83 		this.m1 = 7.4;
 84 		this.m2 = 2.9;
 85 		this.l = 1;
 86 		this.g = 9.83
 87 		this.bouncingSpeed = 0.03;
 88 	}
 89 	var gui = new dat.GUI();
 90 	
 91 	gui.add(controls, 'bouncingSpeed',0,0.5);
 92 	gui.add(controls, 'm1',1,10);
 93 	gui.add(controls, 'm2',1,10);
 94 	gui.add(controls, 'l',0.5,5);
 95 	gui.add(controls, 'g',0.5,20);
 96 	
 97 	
 98 	
 99 	var stats = initStats();
100 	var step = 0;
101 	
102 	contra = new THREE.OrbitControls(camera);
103 	contra.dumping = 0.2;
104 	
105 	
106 	window.addEventListener('resize',onWindowResize,false);
107 	
108 	function onWindowResize(){
109 		camera.aspect = window.innerWidth/window.innerHeight;
110 		camera.updateProjectionMatrix();
111 		render.setSize(window.innerWidth,window.innerHeight);
112 		renderer();
113 	}
114 	
115 	renderer();
116 
117 	// функция, в которой задаются законы, по которым работает эллиптический маятник
118 	
119 	function renderer()
120 	{
121 		
122 	
123 		stats.update();
124 		
125 		step+=controls.bouncingSpeed;
126 		cube1.scale.set(1,controls.l,0.5);
127 		t = 15*controls.l;
128 
129 		k =Math.sqrt(controls.g/t*controls.m1/(controls.m1+controls.m2));
130 		a = t*controls.m1/(controls.m1+controls.m2)*controls.m2/controls.m1*controls.g;
131 		cube.position.x=-a*Math.sin(k*step);
132 		sphere.position.x = t*(Math.sin(Math.sin(k*step))) - a*Math.sin(k*step);
133 		sphere.position.y =-t*(Math.cos(Math.sin(k*step)));
134 		cube1.position.x=(cube.position.x + sphere.position.x)/2;
135 		cube1.position.y=-t*(Math.cos(Math.sin(k*step)))/2;
136 		u = (-cube.position.x + sphere.position.x)/2;
137 		v = sphere.position.y/2;
138 		cube1.rotation.z=Math.asin(u/Math.sqrt(v*v + u*u));
139 		
140 		
141 		
142 		requestAnimationFrame(renderer);
143 		contra.update();
144 		render.render(scene,camera);
145 		
146 		var trajectory = new THREE.Mesh(trajectoryGeometry,trajectoryMaterial);
147 		trajectory.position.x = sphere.position.x;
148 		trajectory.position.y = sphere.position.y;
149 		trajectory.position.z = 5;
150 		scene.add(trajectory);
151 	document.getElementById("td1").innerHTML = camera.position.x;
152 	document.getElementById("td2").innerHTML = camera.position.y;
153 	document.getElementById("td3").innerHTML = camera.position.z;	
154 	
155 	}
156 
157 	
158 }
159 function initStats()
160 {
161 	var stats = new Stats();
162 	stats.setMode(0);
163 	stats.domElement.style.position='absolute';
164 	stats.domElement.style.left = '0px';
165 	stats.domElement.style.top = '0px';
166 	$("#Stats").append(stats.domElement);
167 	return stats;
168 }

Используемые библиотеки[править]

  • cloudflare.js
  • dat.gui.js
  • googleapis.js
  • orbitControls.js
  • stats.js
  • trackballControls.js

Возможности программы[править]

  • задание скорости раскачивания маятника
  • изменение масс шара и ползуна
  • изменения силы тяжести
  • детальное рассмотрение работы с удобного ракурса
  • получение рисунка траектории маятника

Решение частного случая[править]

Условия задачи:

Картинка к задаче.

Составить уравнения движения эллиптического маятника, состоящего из ползуна M1 массы m1, скользящего без трения по горизонтальной плоскости, и шарика M2 массы m2, соединенного с ползуном стержнем AB длины l. Стержень может вращаться вокруг оси A, связанной с ползуном и перпендикулярной плоскости рисунка. Массой стержня пренебречь.

Решение:

[math]\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0 [/math]

где [math]L[/math] - функция Лагранжа

[math]L = T-\Pi [/math]

[math]T[/math] - кинетическая энергия системы, [math]\Pi[/math] - потенциальная энергия системы [math]q_1 = y[/math] , [math]q_2 = \varphi [/math]

[math]T = T_1 + T_2[/math], где [math] T_1[/math] - кинетическая энергия ползуна, [math]T_1[/math] - кинетическая энергия шара

[math]T_1 = \frac{1}{2}\ m_1\dot y^{2}[/math]

[math]T_2 = \frac{1}{2}\ m_2\ V_2 ^{2}[/math]

[math]V_2 = V_e + V_r[/math] , [math]V_e = \dot \varphi \ l[/math] , [math]V_r = \dot y\[/math]

[math]V_2 ^{2} = \dot y^{2}\ + \dot \varphi ^{2}\ l^{2} + 2\ l\dot y\dot \varphi \cos(\varphi )\[/math]

[math]T = \frac{1}{2} \ (m_1 + m_2) \dot y^{2} + \frac{1}{2} \ m_2 \ l ^{2} \dot \varphi^{2} + m_2 \ l\dot y\dot \varphi \cos(\varphi )\[/math]

[math]\Pi = - m_2 \ l\ g \cos(\varphi )\ [/math]

[math]L = \frac{1}{2} \ (m_1 + m_2) \dot y^{2} + \frac{1}{2} \ m_2 \ l ^{2} \dot \varphi^{2} + m_2 \ l\ (\dot y\dot \varphi + g) \cos(\varphi )\[/math]

[math]\frac{\partial L}{\partial\dot y} = (m_1 + m_2) \dot y + m_2 \ l\dot \varphi \cos(\varphi )\[/math]

[math]\frac{\partial L}{\partial y} = 0 [/math]

[math]\frac{\partial L}{\partial\dot \varphi } = m_2 \ l ^{2} \dot \varphi + m_2 \ l\dot y \cos(\varphi )\[/math]

[math]\frac{\partial L}{\partial\varphi} = - m_2 \ l\ (\dot y\dot \varphi + g) \sin(\varphi )\[/math]

В результате получаем уравнения , описывающие движение рассматриваемой системы :

[math] (m_1 + m_2) \ddot y + m_2 \ l\ddot \varphi \cos(\varphi ) - m_2 \ l\dot \varphi \sin(\varphi ) = 0[/math]

[math] l \ddot \varphi + \ddot y \cos(\varphi ) + g \sin(\varphi) = 0 [/math]

См. также[править]

Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=Эллиптический_маятник&oldid=34072»