КП: Прицельный бильярд — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
(→‎Решение)
 
(не показано 70 промежуточных версий 5 участников)
Строка 11: Строка 11:
  
 
== Аннотация проекта ==
 
== Аннотация проекта ==
−
Проект направлен на изучение динамики взаимодействия шаров при игре в бильярд. В ходе работы над проектом рассмотрен удар под названием "резка", написана программа, на языке JavaScript, моделирующая игровой процесс.
+
Проект направлен на изучение динамики взаимодействия шаров при игре в [https://ru.wikipedia.org/wiki/Бильярд бильярд]. В ходе работы над проектом рассмотрен удар под названием "резка", написана программа, на языке JavaScript, моделирующая игровой процесс.
  
 
== Формулировка задачи ==
 
== Формулировка задачи ==
Строка 21: Строка 21:
 
[[Файл:Russian_billiards_ball_at_a_corner_pocket.jpg|thumb|Бильярдный шар около угловой лузы.|250px]]
 
[[Файл:Russian_billiards_ball_at_a_corner_pocket.jpg|thumb|Бильярдный шар около угловой лузы.|250px]]
 
Характерной особенностью всех бильярдных игр является передвижение шаров с помощью кия.
 
Характерной особенностью всех бильярдных игр является передвижение шаров с помощью кия.
−
Основные характерные особенности: шары, незначительно уступающие по размерам створу лузы (диаметр шара 68—68,5 мм., а вес около 285 г.) ширина створа угловой лузы 72—73 мм, средней лузы 82—83 мм).  
+
Основные характерные особенности: шары, незначительно уступающие по размерам створу лузы (диаметр шара 68-68,5 мм., а вес около 285 г.) ширина створа угловой лузы 72-73 мм, средней лузы 82-83 мм).  
  
  
 
При реализации данной задачи используется стол с размерами игрового поля 2240 х 1120 мм, диаметром шара 68 мм и размерами луз 72 и 82 мм соответственно.
 
При реализации данной задачи используется стол с размерами игрового поля 2240 х 1120 мм, диаметром шара 68 мм и размерами луз 72 и 82 мм соответственно.
 +
 +
== Программа для игры в Бильярд ==
 +
Ниже приведена программа( созданная совместно с [[Булдаков Павел|Булдаковым Павлом]] на основании программы Динамика взаимодействующих частиц), в которой видно, что траектория разлета шаров схожа с расчетными траекториями полученными профессором [http://mathoverflow.net/questions/156263/perfectly-centered-break-of-a-perfectly-aligned-pool-ball-rack/156407#156407,_Джимом-Бэлк Джимом Белк] (рис.1). Взаимодействие между шарами описывается с помощью потенциала Леннарда-Джонса.
 +
 +
<big><math>\varPi(r) = D\left[\left(\frac{a}{r}\right)^{12}-2\left(\frac{a}{r}\right)^{6}\right]</math></big>
 +
 +
<big><math>
 +
\left\{
 +
\begin{array}{ll}
 +
F(r) = \frac{12D}{a}\left[\left(\frac a r\right)^{13}-\left(\frac a r\right)^{7}\right], \qquad & r<d; \\
 +
F(r) = 0, \qquad & r > d; \\
 +
\end{array}
 +
\right.
 +
</math></big>
 +
 +
где
 +
 +
<big><math>r</math></big> — расстояние между частицами,
 +
 +
<big><math>D</math></big> — энергия связи,
 +
 +
<big><math>a</math></big> — длина связи.
 +
 +
{{#widget:Iframe |url=http://tm.spbstu.ru/htmlets/Stepanov/Billyard1version.html |width=500|height=780 |border=0 }} {{#widget:Iframe |url=http://tm.spbstu.ru/htmlets/Stepanov/rezkanew.html |with=500|height=780 |border=0 }}
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
 +
'''Текст программы на языке JavaScript:''' <div class="mw-collapsible-content">
 +
Файл '''"Billyard1version.js"'''
 +
<syntaxhighlight lang="javascript" line start="1" enclose="div">
 +
 +
window.addEventListener("load", MainBalls, true);
 +
function MainBalls(slider_01, text_01, slider_02, text_02) {
 +
 +
    // Предварительные установки
 +
 +
    var canvas = canvasBalls;
 +
    var context = canvas.getContext("2d");                  // на context происходит рисование
 +
    canvas.oncontextmenu = function (e) {return false;};    // блокировка контекстного меню
 +
 +
    var Pi = 3.1415926;                  // число "пи"
 +
 +
    var m0 = 1;                          // масштаб массы
 +
    var T0 = 1;                          // масштаб времени (период колебаний исходной системы)
 +
    var a0 = 1;        // масштаб расстояния (диаметр шара)
 +
    var q = 90;                    // угол
 +
 
 +
 +
    var g0 = a0 / T0 / T0;                // масштаб ускорения (ускорение, при котором за T0 будет пройдено расстояние a0)
 +
    var k0 = 2 * Pi / T0;                // масштаб частоты
 +
    var C0 = m0 * k0 * k0;                // масштаб жесткости
 +
    var B0 = 2 * m0 * k0;                // масштаб вязкости
 +
  var v0 = 1;      //начальная скорость
 +
 +
 +
    // *** Задание физических параметров ***
 +
 +
    var Ny = 32;                          // число шаров, помещающихся по вертикали в окно (задает размер шара относительно размера окна)
 +
    var m = 1 * m0;                      // масса
 +
    var Cwall = 10 * C0;                  // жесткость стен
 +
    var Cball = 0.1 * Cwall;              // жесткость между частицами
 +
    var B = 0.008 * B0;                  // вязкость среды
 +
    var Bwall = 0.03 * B0;                // вязкость на стенках
 +
    var mg = 0.25 * m * g0;              // сила тяжести
 +
    var r = 0.5 * a0;                    // радиус частицы в расчетных координатах
 +
    var K = 0.85;                        // сила взаимодействия ограничивается значением, реализующимся при r/a = K
 +
    var a = 2 * r;                        // равновесное расстояние между частицами
 +
    var aCut = 2.00001 * r;              // радиус обрезания
 +
 +
    // *** Задание вычислительных параметров ***
 +
 +
    var fps = 50;                        // frames per second - число кадров в секунду (качечтво отображения)
 +
    var spf = 100;                        // steps per frame  - число шагов интегрирования между кадрами (скорость расчета)
 +
    var dt  = 0.045 * T0 / fps;          // шаг интегрирования (качество расчета)
 +
 +
    // Выполнение программы
 +
 +
    var scale = canvas.height / Ny / a0;  // масштабный коэффициент для перехода от расчетных к экранным координатам
 +
    var r2 = r * r;                      // ___в целях оптимизации___
 +
    var aCut2 = aCut * aCut;              // ___в целях оптимизации___
 +
    var a2 = a * a;                      // ___в целях оптимизации___
 +
    var D = a2 * Cball / 72;              // энергия связи между частицами
 +
    var LJCoeff = 12 * D / a2;            // коэффициент для расчета потенциала Л-Дж
 +
 
 +
    var Ka = K * a;                      // ___в целях оптимизации___
 +
    var K2a2 = K * K * a2;                // ___в целях оптимизации___
 +
 +
    var w = canvas.width / scale;          // ширина окна в расчетных координатах
 +
    var h = canvas.height / scale;          // высота окна в расчетных координатах
 +
 +
    // Работа с массивом
 +
 +
    var balls = [];                            // массив шаров
 +
    var addNewBall =  function(x, y) {
 +
        // проверка - не пересекается ли новый шар со стенами или уже существующими шарами
 +
        if (x - r < 0 || x + r > w || y - r < 0 || y + r > h) return null;
 +
        for (var i = 0; i < balls.length; i++) {
 +
            var rx = balls[i].x - x;
 +
            var ry = balls[i].y - y;
 +
            var rLen2 = rx * rx + ry * ry;
 +
            if (rLen2 < 4 * r2) return null;
 +
        }
 +
        var b = [];
 +
 +
        b.x = x;                b.y = y;        // расчетные координаты шара
 +
        b.fx = 0;              b.fy = 0;      // сила, действующая на шар
 +
        b.vx = 0;              b.vy = 0;      // скорость
 +
 +
        balls[balls.length] = b;                // добавить элемент в конец массива
 +
        return b;
 +
    };
 +
 +
    // Основной цикл программы
 +
 +
    function control() {
 +
        physics();
 +
        draw();
 +
    }
 +
 +
    // Расчетная часть программы
 +
 +
    function physics() {                        // то, что происходит каждый шаг времени
 +
        for (var s = 1; s <= spf; s++) {
 +
 +
            // пересчет сил идет отдельным массивом, т.к. далее будут добавляться силы взаимодействия между шарами
 +
            for (var i0 = 0; i0 < balls.length; i0++) {
 +
                balls[i0].fx = - B * balls[i0].vx;
 +
                balls[i0].fy = - B * balls[i0].vy;
 +
            }
 +
 +
            for (var i = 0; i < balls.length; i++) {  // пеерсчет взаимодействия между шарами
 +
 +
 +
    //попадание в лузу
 +
   
 +
      if ((balls[i].x >= (300/scale-r/2))  && (balls[i].y >= (300/scale-r/2)) && (balls[i].y <= (300/scale+r/2))) {balls.splice(i, 1)}; // когда координаты шара совпадают с координатами, записанными в условии цикла, шар удаляется с поля при помощи balls.splice
 +
    if ((balls[i].x >= (300/scale-r/2))  && (balls[i].y <= (r/2))) {balls.splice(i, 1)};
 +
    if ((balls[i].x >= (300/scale-r/2))  && (balls[i].y >= (600/scale -r/2))) {balls.splice(i, 1)};
 +
    if ((balls[i].x <= (r/2))  && (balls[i].y >= (600/scale -r/2))) {balls.splice(i, 1)};
 +
    if ((balls[i].x <= (r/2))  && (balls[i].y >= (300/scale-r/2)) && (balls[i].y <= (300/scale+r/2))) {balls.splice(i, 1)};
 +
    if ((balls[i].x <= (r/2))  && (balls[i].y <= (r/2))) {balls.splice(i, 1)}; 
 +
 +
                // расчет взаимодействия производится со всеми следующими шарами в массиве,
 +
                // чтобы не считать каждое взаимодействие дважды
 +
                var b = balls[i];
 +
                for (var j = i + 1; j < balls.length; j++) {
 +
                    var b2 = balls[j];
 +
                    var rx = b.x - b2.x;  var ry = b.y - b2.y;        // вектор смотрит на первый шар (b)
 +
                    var r2 = rx * rx + ry * ry;                        // квадрат расстояния между шарами
 +
                    if (r2 > aCut2) continue;                          // проверка на радиус обрезания
 +
                    var rLen = (Math.sqrt(r2));
 +
       
 +
 +
                    // если расстояние между частицами мало, силы будут посчитаны для K * a
 +
                    if (r2 < K2a2) {
 +
                        if (rLen > 0.00001) {                          // проверка, чтобы избежать деления на 0
 +
                            rx = rx / rLen * Ka;
 +
                            ry = ry / rLen * Ka;
 +
                        }
 +
                        r2 = K2a2;
 +
                        rLen = Ka;                                      // корень K2a2
 +
                    }
 +
 +
                    // сила взаимодействия
 +
                    var s2 = a2 / r2;        var s4 = s2 * s2;        // ___в целях оптимизации___
 +
                    var F = LJCoeff * s4 * s4 * (s4 * s2 - 1);          // сила взаимодействия Леннарда-Джонса
 +
 +
                    var Fx = F * rx;        var Fy = F * ry;
 +
                    b.fx += Fx;            b.fy += Fy;
 +
                    b2.fx -= Fx;            b2.fy -= Fy;
 +
                }
 +
 +
                if (b.y + r > h) { b.fy += -Cwall * (b.y + r - h) - Bwall * b.vy; }    // рассчет взаимодействия со стенками : когда координаты шара совпадают с координатами в условии цикла, шару придается скорость и направление
 +
                if (b.y - r < 0) { b.fy += -Cwall * (b.y - r) - Bwall * b.vy;}
 +
                if (b.x + r > w) { b.fx += -Cwall * (b.x + r - w) - Bwall * b.vx; }
 +
                if (b.x - r < 0) { b.fx += -Cwall * (b.x - r) - Bwall * b.vx; }
 +
 +
                b.vx += b.fx / m * dt;        b.vy += b.fy / m * dt;
 +
                b.x += b.vx * dt;            b.y += b.vy * dt;
 +
            }
 +
        }
 +
    }
 +
 +
    // Рисование
 +
 +
    var rScale13 = r * scale * 1.3;        // ___в целях оптимизации___
 +
    var rScaleShift = r * scale / 5;        // ___в целях оптимизации___
 +
  var line ;
 +
  var radi = 30;              // линия которая показывает предполагаему траекторию "битка"
 +
 
 +
    function draw() {
 +
        context.clearRect(0, 0, w * scale, h * scale);      // очистить экран
 +
        for (var i = 1; i < balls.length; i++){
 +
            var xS = balls[i].x * scale;          var yS = balls[i].y * scale;
 +
            // расчет градиента нужно проводить для каждого шара
 +
            var gradient = context.createRadialGradient(xS, yS, rScale13, xS - rScaleShift, yS + rScaleShift, 0);
 +
            gradient.addColorStop(0, "#fdebeb");
 +
            gradient.addColorStop(1, "#fffcfc");
 +
            context.fillStyle = gradient;
 +
 +
            context.beginPath();
 +
            context.arc(xS, yS, r * scale, 0, 2 * Math.PI, false);
 +
            context.closePath();
 +
            context.fill();
 +
        }
 +
    for (var i = 0; i < 1; i++){
 +
            var xS = balls[i].x * scale;          var yS = balls[i].y * scale;
 +
            // расчет градиента нужно проводить для каждого шара
 +
            var gradient = context.createRadialGradient(xS, yS, rScale13, xS - rScaleShift, yS + rScaleShift, 0);
 +
            gradient.addColorStop(0, "#cd0000");
 +
            gradient.addColorStop(1, "#fffcfc");
 +
            context.fillStyle = gradient;
 +
 +
            context.beginPath();
 +
            context.arc(xS, yS, r * scale, 0, 2 * Math.PI, false);
 +
            context.closePath();
 +
            context.fill();
 +
        }
 +
 +
   
 +
   
 +
      context.lineWidth="3";
 +
      context.strokeStyle="#fff506";
 +
            context.beginPath();
 +
            context.moveTo(balls[0].x * scale, balls[0].y * scale);                                                                                                                                                       
 +
      context.lineTo(radi*v0*Math.cos(q*Pi/180) + balls[0].x * scale,radi*v0*Math.sin(q*Pi/180)+balls[0].y * scale);
 +
            context.stroke();
 +
   
 +
 +
    // прорисовка луз
 +
    // verh lev
 +
  context.lineWidth="3";
 +
    context.strokeStyle="#ffffff ";
 +
    context.beginPath();
 +
    context.moveTo(0, 0);                                                                                                                                                       
 +
    context.lineTo(0,14 +2.5 );
 +
    context.stroke();
 +
 
 +
  context.lineWidth="3";
 +
    context.strokeStyle="#ffffff";
 +
    context.beginPath();
 +
    context.moveTo(0, 0);                                                                                                                                                       
 +
    context.lineTo(14 +2.5,0 );
 +
    context.stroke();
 +
 
 +
      // verh prav
 +
  context.lineWidth="3";
 +
    context.strokeStyle="#ffffff";
 +
    context.beginPath();
 +
    context.moveTo(286 - 2.5, 0);                                                                                                                                                       
 +
    context.lineTo(300,0 );
 +
    context.stroke();
 +
 
 +
  context.lineWidth="3";
 +
    context.strokeStyle="##ffffff";
 +
    context.beginPath();
 +
    context.moveTo(300, 0);                                                                                                                                                       
 +
    context.lineTo(300,14 +2.5 );
 +
    context.stroke();
 +
 
 +
        // niz lev
 +
  context.lineWidth="3";
 +
    context.strokeStyle="#ffffff";
 +
    context.beginPath();
 +
    context.moveTo(0, 600);                                                                                                                                                       
 +
    context.lineTo(14 +2.5,600 );
 +
    context.stroke();
 +
 
 +
  context.lineWidth="3";
 +
    context.strokeStyle="#ffffff";
 +
    context.beginPath();
 +
    context.moveTo(0, 586 - 2.5);                                                                                                                                                       
 +
    context.lineTo(0,600 );
 +
    context.stroke();
 +
   
 +
   
 +
    // niz prav
 +
  context.lineWidth="3";
 +
    context.strokeStyle="#ffffff";
 +
    context.beginPath();
 +
    context.moveTo(300, 600);                                                                                                                                                       
 +
    context.lineTo(300,586 - 2.5);
 +
    context.stroke();
 +
 
 +
  context.lineWidth="3";
 +
    context.strokeStyle="#ffffff";
 +
    context.beginPath();
 +
    context.moveTo(300, 600);                                                                                                                                                       
 +
    context.lineTo(286 - 2.5,600 );
 +
    context.stroke();
 +
 
 +
  //sered lev
 +
  context.lineWidth="3";
 +
    context.strokeStyle="#ffffff";
 +
    context.beginPath();
 +
    context.moveTo(0, 289);                                                                                                                                                       
 +
    context.lineTo(0,311);
 +
    context.stroke();
 +
 
 +
  //sered prav
 +
 
 +
  context.lineWidth="3";
 +
    context.strokeStyle="#ffffff";
 +
    context.beginPath();
 +
    context.moveTo(300, 289);                                                                                                                                                       
 +
    context.lineTo(300,311 );
 +
    context.stroke();
 +
   
 +
 
 +
    }
 +
 
 +
 +
    // Запуск системы
 +
                      // добавляем 20 частиц, сдвинув их от стен
 +
    addNewBall(16*w/32, 16*h/32 );
 +
    addNewBall(16*w/32, 8*h/32 ); 
 +
    addNewBall(16*w/32 - r,  8*h/32 - 1.7321*r); 
 +
    addNewBall(16*w/32 + r,  8*h/32 - 1.7321*r );
 +
    addNewBall(16*w/32,    8*h/32 - 2*1.7321*r );   
 +
    addNewBall(16*w/32 - 2*r,  8*h/32 - 2*1.7321*r );
 +
    addNewBall(16*w/32 + 2*r,  8*h/32 - 2*1.7321*r );
 +
    addNewBall(16*w/32 + r,  8*h/32 - 3*1.7321*r );
 +
    addNewBall(16*w/32 - r,  8*h/32 - 3*1.7321*r );
 +
    addNewBall(16*w/32 + 3*r,  8*h/32 - 3*1.7321*r );
 +
    addNewBall(16*w/32 - 3*r,  8*h/32 - 3*1.7321*r );
 +
    addNewBall(16*w/32,    8*h/32 - 4*1.7321*r );
 +
    addNewBall(16*w/32 - 2*r,  8*h/32 - 4*1.7321*r );
 +
    addNewBall(16*w/32 + 2*r,  8*h/32 - 4*1.7321*r );
 +
    addNewBall(16*w/32 - 4*r,  8*h/32 - 4*1.7321*r );
 +
    addNewBall(16*w/32 + 4*r,  8*h/32 - 4*1.7321*r );
 +
    addNewBall(16*w/32, 16*h/32 ); 
 +
   
 +
  this.setSlider_01 = function(c) { q=-c ;}; // функция для слайдера угла
 +
  this.setSlider_02 = function(c) { v0=c ;}; // функция для слайдера угла
 +
 +
// Настройка интерфейса
 +
 +
    slider_01.min = 0;              slider_01.max =360;
 +
    slider_01.step = 0.5;
 +
    slider_01.value = q;          // начальное значение ползунка должно задаваться после min и max
 +
    text_01.value = Math.abs(q);
 +
    slider_02.min = 0;              slider_02.max = 10;
 +
    slider_02.step = 0.5;
 +
    slider_02.value = v0;                // начальное значение ползунка должно задаваться после min и max
 +
    text_02.value = v0;
 +
 
 +
  this.setSlider_01(q);
 +
  this.setSlider_02(v0);
 +
   
 +
    this.newSystem = function() {
 +
    balls[0].vx = v0* Math.cos(q*Pi/180);
 +
        balls[0].vy = v0* Math.sin(q*Pi/180);
 +
  }
 +
 +
  this.newSystem1 = function() {
 +
  for (var i = 20; i >= 0; i--)
 +
  {balls.splice(i, 1)};
 +
  addNewBall(16*w/32, 16*h/32 );
 +
    addNewBall(16*w/32, 8*h/32 ); 
 +
    addNewBall(16*w/32 - r,  8*h/32 - 1.7321*r); 
 +
    addNewBall(16*w/32 + r,  8*h/32 - 1.7321*r );
 +
    addNewBall(16*w/32,    8*h/32 - 2*1.7321*r );   
 +
    addNewBall(16*w/32 - 2*r,  8*h/32 - 2*1.7321*r );
 +
    addNewBall(16*w/32 + 2*r,  8*h/32 - 2*1.7321*r );
 +
    addNewBall(16*w/32 + r,  8*h/32 - 3*1.7321*r );
 +
    addNewBall(16*w/32 - r,  8*h/32 - 3*1.7321*r );
 +
    addNewBall(16*w/32 + 3*r,  8*h/32 - 3*1.7321*r );
 +
    addNewBall(16*w/32 - 3*r,  8*h/32 - 3*1.7321*r );
 +
    addNewBall(16*w/32,    8*h/32 - 4*1.7321*r );
 +
    addNewBall(16*w/32 - 2*r,  8*h/32 - 4*1.7321*r );
 +
    addNewBall(16*w/32 + 2*r,  8*h/32 - 4*1.7321*r );
 +
    addNewBall(16*w/32 - 4*r,  8*h/32 - 4*1.7321*r );
 +
    addNewBall(16*w/32 + 4*r,  8*h/32 - 4*1.7321*r );
 +
    addNewBall(16*w/32, 16*h/32 ); 
 +
 
 +
}
 +
    setInterval(control, 1000 / fps);
 +
}
 +
 +
 +
 +
 +
</syntaxhighlight>
 +
Файл '''"Billyard1version.html"'''
 +
<syntaxhighlight lang="javascript" line start="1" enclose="div">
 +
<!DOCTYPE html>
 +
<html>
 +
<head>
 +
    <title>Billyard</title>
 +
    <script src="Billyard1version.js"></script>
 +
</head>
 +
<body>
 +
    <canvas id="canvasBalls" width="300" height="600" style="border:1px none #000000;background: #008000"></canvas>
 +
<br>
 +
    <div>Угол:
 +
        <input type="range" id="slider_01" style="width: 150px;" oninput="app.setSlider_01(this.value); document.getElementById('text_01').value = this.value;">
 +
      q =
 +
        <input id="text_01" style="width: 5ex;" required pattern="[-+]?([0-9]*\.[0-9]+|[0-9]+)"  oninput="
 +
            // если введено не число - строка не пройдет валидацию по паттерну выше, и checkValidity() вернет false
 +
            if (!this.checkValidity()) return;
 +
            app.setSlider_01(this.value);
 +
            document.getElementById('slider_01').value = this.value;
 +
        ">
 +
    </div><br>
 +
 +
    <div>Начальная скорость:
 +
        <input type="range" id="slider_02" style="width: 150px;" oninput="app.setSlider_02(this.value); document.getElementById('text_02').value = this.value;">
 +
      v0 =
 +
        <input id="text_02" style="width: 5ex;" required pattern="[-+]?([0-9]*\.[0-9]+|[0-9]+)" oninput="
 +
            // если введено не число - строка не пройдет валидацию по паттерну выше, и checkValidity() вернет false
 +
            if (!this.checkValidity()) return;
 +
            app.setSlider_02(this.value);
 +
            document.getElementById('slider_02').value = this.value;
 +
        ">
 +
    </div><br>
 +
 
 +
 
 +
  <input type="button" style="width: 50px" name="" onclick="app.newSystem();return false;" value="PLAY"/>
 +
 
 +
 
 +
<script type="text/javascript">var app = new MainBalls(
 +
            document.getElementById('slider_01'),
 +
            document.getElementById('text_01'),
 +
            document.getElementById('slider_02'),
 +
            document.getElementById('text_02')
 +
    );</script>
 +
</body>
 +
</html>
 +
</syntaxhighlight>
 +
</div>
 +
 +
 +
 +
[[Файл:WHVJA1.png|thumb|рис.1.Траектория разлета шаров при центральном разбиении пирамиды.|слева|250px]]
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
  
  
−
== Программа для игры в Бильярд ==
 
  
  
  
 
== Решение ==
 
== Решение ==
−
'''''Задача:''''' Рассчитать силу и угол направления удара, при котором оба шара (рис.1) окажутся в верхних лузах.[[Файл:pravilo_udara_rezka (1).gif|thumb|250px]]
 
  
 +
'''''Задача:''''' Рассчитать скорость и угол направления удара, а так же возможные расположения шаров, при которых оба шара (рис.2) окажутся в верхних лузах.
 +
[[Файл:pravilo_udara_rezka (1).gif|thumb| Удар "резка". |250px]]
 +
 +
На рис.2, один из шаров(биток) смещен с оси прямого удара, таким образом появляется резка. Нужно попасть битком в точку на прицельном шаре, от которой через математический центр прицельного шара до центра лузы проходит прямая линия. При малой резке эта точка на прицельном шаре еще видна, но по мере увеличения резки она становится практически невидимой.
 +
 +
{{начало цитаты}}'''''Правило 90°:''''' когда "биток" ударяет прицельный шар, скользя по сукну без переднего или заднего вращения, шары разлетаются под углом 90° друг к другу. Правило работает независимо от угла резки.{{конец цитаты}}
 +
{{начало цитаты}} <big><math> v_{1},v_{2} </math></big> - скорость "битка" до и после соударения.
 +
 +
<big><math> v_{2}' </math></big> - скорость прицельного шара после соударения.
 +
 +
Из ЗСИ:
 +
 +
<big><math> v_{1} = v_{1}' + v_{2}'</math></big>  (1)
 +
 +
Из ЗСЭ:
 +
 +
<big><math> v_{1}^2 = v_{1}' ^2 + v_{2}' ^2</math></big>  (2)
 +
 +
Скалярное произведине ур-ния (1) самого на себя дает:
 +
 +
<big><math> v_{1}^2 = v_{1}' ^2 + 2v_{1}'v_{2}'\cos\left(θ\right) + v_{2} '^2</math></big>  (3)
 +
 +
(3) - (2):
 +
 +
<big><math>  2v_{1}'v_{2}'\cos\left(θ\right) = 0 </math></big>, а это возможно, если <big><math>  v_{1}' = 0 </math></big>(что соответствует прямому удару), или при <big><math> θ = 90° </math></big>
 +
 +
''Примечание :''Вывод правила 90° основан на двух существенных допущениях: трение между шарами равно нулю и столкновение шаров – абсолютно упругое.
  
−
На рис.1, один из шаров(биток) смещен с оси прямого удара, таким образом появляется резка. Нужно попасть битком в точку на прицельном шаре, от которой через математический центр прицельного шара до центра лузы проходит прямая линия. При малой резке эта точка на прицельном шаре еще видна, но по мере увеличения резки она становится практически невидимой.
+
{{конец цитаты}}
  
 
Будем считать, что шары однородные и совершенно сферической формы.
 
Будем считать, что шары однородные и совершенно сферической формы.
  
−
<math> θ_{1}, θ_{2} </math> - углы отклонения первого и второго шаров после столкновения по отношению к направлению удара. χ - угол поворота первого шара в системе центра инерции.
+
<math> θ_{1}, θ_{2} </math> - углы отклонения первого и второго шаров после столкновения по отношению к направлению удара.<math> χ</math> - угол поворота первого шара в системе центра инерции.
 +
 
 +
<big><math> θ_{1} =\frac{χ}{2} </math></big>  <math>\qquad</math> <big><math> θ_{2} =\frac{π - χ}{2} </math></big>
  
−
<math> θ_{1} =\frac{χ}{2} </math> , <math> θ_{2} =\frac{π - χ}{2} </math>
+
<big><math> ú_{1} , ú_{2} </math></big> - абсолютные величины скоростей шаров после столкновения.
  
−
<math> ú_{1} , ú_{2} </math> - абсолютные величины скоростей шаров после столкновения.
+
<big><math> ú_{1} = \cos\left(\frac{θ}{2}\right) v </math></big> <math>\qquad</math> <big><math> ú_{2} = \sin\left(\frac{θ}{2}\right)v </math></big> , <math>\qquad</math>где <big><math> v = v_{2} - v_{1} </math></big>
  
−
<math> ú_{1} = \cos(\frac{θ}{2}\)*v </math> , <math> ú_{2} = \sin(\frac{θ}{2}\)*v </math> , где <math> v = v_{2} - v_{1} </math>
 
  
−
Рассмотрим частный случай:  
+
'''''Рассмотрим частный случай''''' (рис.2):  
−
<math> l_{1} = 560 </math>мм. - расстояние от прицельного шара до верхней левой лузы.<math> l_{2} = 969 </math>мм. - расстояние от битка до верхней правой лузы, в момент соприкосновения шаров.<math> l = 700</math>мм. - расстояние между шарами в начальный момент времени.
+
<math> l_{1} = 560 </math>мм. - расстояние от прицельного шара до верхней левой лузы, <math> l_{2} = 969 </math>мм. - расстояние от битка до верхней правой лузы, в момент соприкосновения шаров, <math> l = 700</math>мм. - расстояние между шарами в начальный момент времени.
  
−
<math> χ = \frac{π}{3}\ </math>
+
Угол разлета шаров после удара 90°, значит можем рассчитать <big><math> θ_{1}, θ_{2} </math></big>
  
 
<math>\Downarrow </math>
 
<math>\Downarrow </math>
  
−
<math> θ_{1} =\frac{π}{6}\ </math> , <math> θ_{2} =\frac{π}{3}\ </math>
+
<big><math> θ_{1} =\frac{π}{6}\ </math> </big> <math>\qquad</math> <big><math> θ_{2} =\frac{π}{3}\ </math></big>
 +
 
 +
В таком случае, после соударения шаров, они приобретут скорости:
 +
 
 +
<big><math> ú_{1} =\frac{\sqrt3}{2}\ v </math></big> <math>\qquad</math> <big><math> ú_{2} =\frac{1}{2}\ v </math></big> ,<math>\qquad</math> где искомая скорость <big><math> v = v_{2} </math></big>, т.к. в нашем случае прицельный шар в начальный момент времени неподвижен.
  
−
<math> ú_{1} =\frac{\sqrt3}{2}\ *v </math> , <math> ú_{2} =\frac{1}{2}\ *v </math> , <math> v = v_{2} </math>, т.к. в нашем случае прицельный шар в начальный момент времени неподвижен.
+
В рассмотренном случае угол, под которым производится удар, по отношению к оси OX равен <big><math> \frac{π}{2}\ </math></big>. В  общем случае этот угол зависит от расположения битка.
  
 
== Обсуждение результатов и выводы ==
 
== Обсуждение результатов и выводы ==
 +
[[Файл:RaspolpzhenieBitka.PNG|справа|600px]]
 +
Таким образом, в ходе работы над проектом была написана программа, моделирующая процесс игры в бильярд, а так же смоделирован рассматриваемый удар, целью, которого являются оба шара. Были рассчитаны скорость и угол направления удара в рассматриваемом случае.
 +
Установлены возможные положения шаров, когда целью удара является один или оба шара (рис.3 и рис.4). А на рис.5 указана область расположения для прицельного шара, когда стоит задача загнать в верхние лузы оба шара.
  
  
 
<br>
 
<br>
−
Скачать отчет:
+
Скачать отчет:[[Медиа:KursStepanovBilliard.docx|docx]]
 
<br>
 
<br>
−
Скачать презентацию:
+
Скачать презентацию:[[Медиа:Presentation.pptx|pptx]]
  
 
== Ссылки по теме ==
 
== Ссылки по теме ==
−
Математическая теория явлений бильярдной игры - Г. Кориолис.
+
* [http://publ.lib.ru/ARCHIVES/K/KORIOLIS_Gaspar_Gyustav/_Koriolis_G.G..html, Математическая теория явлений бильярдной игры - Г. Кориолис.]
 +
* [http://inis.jinr.ru/sl/vol2/Physics/%D0%9A%D1%83%D1%80%D1%81%D1%8B/%D0%9B%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%B0%D1%83,%D0%9B%D0%B8%D1%84%D1%88%D0%B8%D1%86/%D0%9B%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%B0%D1%83%20%D0%9B.%D0%94.,%20%D0%9B%D0%B8%D1%84%D1%88%D0%B8%D1%86%20%D0%95.%D0%9C.,%20%D0%9C%D0%B5%D1%85%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0,%20%D0%A2%D0%A4%20%D1%821,%201988.pdf, Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Механика]
 +
* [[Потенциал_Леннард-Джонса|потенциала Леннарда-Джонса]]
 +
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/Бильярд бильярд]
 +
*  [http://mathoverflow.net/questions/156263/perfectly-centered-break-of-a-perfectly-aligned-pool-ball-rack/156407#156407,_Джимом-Бэлк Джимом Белк]
  
 
== См. также ==
 
== См. также ==

Текущая версия на 10:32, 3 июня 2015

А.М. Кривцов > Теоретическая механика > Курсовые проекты ТМ 2015 > Прицельный бильярд
Стол для русского бильярда.

Курсовой проект по Теоретической механике

Исполнитель: Степанов Матвей

Группа: 09 (23604)

Семестр: весна 2015

Аннотация проекта[править]

Проект направлен на изучение динамики взаимодействия шаров при игре в бильярд. В ходе работы над проектом рассмотрен удар под названием "резка", написана программа, на языке JavaScript, моделирующая игровой процесс.

Формулировка задачи[править]

- Написать программу, моделирующую динамику взаимодействия шаров при игре в Бильярд. Взаимодействие между шарами описывается с помощью потенциала Леннарда-Джонса.
- Реализовать сложные комбинации при игре в Бильярд.

Общие сведения по теме[править]

Бильярдный шар около угловой лузы.

Характерной особенностью всех бильярдных игр является передвижение шаров с помощью кия. Основные характерные особенности: шары, незначительно уступающие по размерам створу лузы (диаметр шара 68-68,5 мм., а вес около 285 г.) ширина створа угловой лузы 72-73 мм, средней лузы 82-83 мм).


При реализации данной задачи используется стол с размерами игрового поля 2240 х 1120 мм, диаметром шара 68 мм и размерами луз 72 и 82 мм соответственно.

Программа для игры в Бильярд[править]

Ниже приведена программа( созданная совместно с Булдаковым Павлом на основании программы Динамика взаимодействующих частиц), в которой видно, что траектория разлета шаров схожа с расчетными траекториями полученными профессором Джимом Белк (рис.1). Взаимодействие между шарами описывается с помощью потенциала Леннарда-Джонса.

[math]\varPi(r) = D\left[\left(\frac{a}{r}\right)^{12}-2\left(\frac{a}{r}\right)^{6}\right][/math]

[math] \left\{ \begin{array}{ll} F(r) = \frac{12D}{a}\left[\left(\frac a r\right)^{13}-\left(\frac a r\right)^{7}\right], \qquad & r\lt d; \\ F(r) = 0, \qquad & r \gt d; \\ \end{array} \right. [/math]

где

[math]r[/math] — расстояние между частицами,

[math]D[/math] — энергия связи,

[math]a[/math] — длина связи.

Текст программы на языке JavaScript:

Файл "Billyard1version.js" 

  1 window.addEventListener("load", MainBalls, true);
  2 function MainBalls(slider_01, text_01, slider_02, text_02) {
  3 
  4     // Предварительные установки
  5 
  6     var canvas = canvasBalls;
  7     var context = canvas.getContext("2d");                  // на context происходит рисование
  8     canvas.oncontextmenu = function (e) {return false;};    // блокировка контекстного меню
  9 
 10     var Pi = 3.1415926;                   // число "пи"
 11 
 12     var m0 = 1;                           // масштаб массы
 13     var T0 = 1;                           // масштаб времени (период колебаний исходной системы)
 14     var a0 = 1;        // масштаб расстояния (диаметр шара)
 15     var q = 90;                     // угол 
 16   
 17 
 18     var g0 = a0 / T0 / T0;                // масштаб ускорения (ускорение, при котором за T0 будет пройдено расстояние a0)
 19     var k0 = 2 * Pi / T0;                 // масштаб частоты
 20     var C0 = m0 * k0 * k0;                // масштаб жесткости
 21     var B0 = 2 * m0 * k0;                 // масштаб вязкости
 22   var v0 = 1;      //начальная скорость
 23 
 24 
 25     // *** Задание физических параметров ***
 26 
 27     var Ny = 32;                          // число шаров, помещающихся по вертикали в окно (задает размер шара относительно размера окна)
 28     var m = 1 * m0;                       // масса
 29     var Cwall = 10 * C0;                  // жесткость стен
 30     var Cball = 0.1 * Cwall;              // жесткость между частицами
 31     var B = 0.008 * B0;                   // вязкость среды
 32     var Bwall = 0.03 * B0;                // вязкость на стенках
 33     var mg = 0.25 * m * g0;               // сила тяжести
 34     var r = 0.5 * a0;                     // радиус частицы в расчетных координатах
 35     var K = 0.85;                         // сила взаимодействия ограничивается значением, реализующимся при r/a = K
 36     var a = 2 * r;                        // равновесное расстояние между частицами
 37     var aCut = 2.00001 * r;               // радиус обрезания
 38 
 39     // *** Задание вычислительных параметров ***
 40 
 41     var fps = 50;                         // frames per second - число кадров в секунду (качечтво отображения)
 42     var spf = 100;                        // steps per frame   - число шагов интегрирования между кадрами (скорость расчета)
 43     var dt  = 0.045 * T0 / fps;           // шаг интегрирования (качество расчета)
 44 
 45     // Выполнение программы
 46 
 47     var scale = canvas.height / Ny / a0;  // масштабный коэффициент для перехода от расчетных к экранным координатам
 48     var r2 = r * r;                       // ___в целях оптимизации___
 49     var aCut2 = aCut * aCut;              // ___в целях оптимизации___
 50     var a2 = a * a;                       // ___в целях оптимизации___
 51     var D = a2 * Cball / 72;              // энергия связи между частицами
 52     var LJCoeff = 12 * D / a2;            // коэффициент для расчета потенциала Л-Дж
 53   
 54     var Ka = K * a;                       // ___в целях оптимизации___
 55     var K2a2 = K * K * a2;                // ___в целях оптимизации___
 56 
 57     var w = canvas.width / scale;           // ширина окна в расчетных координатах
 58     var h = canvas.height / scale;          // высота окна в расчетных координатах
 59 
 60     // Работа с массивом
 61 
 62     var balls = [];                             // массив шаров
 63     var addNewBall =  function(x, y) {
 64         // проверка - не пересекается ли новый шар со стенами или уже существующими шарами
 65         if (x - r < 0 || x + r > w || y - r < 0 || y + r > h) return null;
 66         for (var i = 0; i < balls.length; i++) {
 67             var rx = balls[i].x - x;
 68             var ry = balls[i].y - y;
 69             var rLen2 = rx * rx + ry * ry;
 70             if (rLen2 < 4 * r2) return null;
 71         }
 72         var b = [];
 73 
 74         b.x = x;                b.y = y;        // расчетные координаты шара
 75         b.fx = 0;               b.fy = 0;      // сила, действующая на шар
 76         b.vx = 0;               b.vy = 0;       // скорость
 77 
 78         balls[balls.length] = b;                // добавить элемент в конец массива
 79         return b;
 80     };
 81 
 82     // Основной цикл программы
 83 
 84     function control() {
 85         physics();
 86         draw();
 87     }
 88 
 89     // Расчетная часть программы
 90 
 91     function physics() {                        // то, что происходит каждый шаг времени
 92         for (var s = 1; s <= spf; s++) {
 93 
 94             // пересчет сил идет отдельным массивом, т.к. далее будут добавляться силы взаимодействия между шарами
 95             for (var i0 = 0; i0 < balls.length; i0++) {
 96                 balls[i0].fx = - B * balls[i0].vx;
 97                 balls[i0].fy = - B * balls[i0].vy;
 98             }
 99 
100             for (var i = 0; i < balls.length; i++) {  // пеерсчет взаимодействия между шарами
101 
102 
103     //попадание в лузу 
104     
105       if ((balls[i].x >= (300/scale-r/2))  && (balls[i].y >= (300/scale-r/2)) && (balls[i].y <= (300/scale+r/2))) {balls.splice(i, 1)}; // когда координаты шара совпадают с координатами, записанными в условии цикла, шар удаляется с поля при помощи balls.splice
106     if ((balls[i].x >= (300/scale-r/2))   && (balls[i].y <= (r/2))) {balls.splice(i, 1)};
107     if ((balls[i].x >= (300/scale-r/2))   && (balls[i].y >= (600/scale -r/2))) {balls.splice(i, 1)};
108     if ((balls[i].x <= (r/2))   && (balls[i].y >= (600/scale -r/2))) {balls.splice(i, 1)};
109     if ((balls[i].x <= (r/2))  && (balls[i].y >= (300/scale-r/2)) && (balls[i].y <= (300/scale+r/2))) {balls.splice(i, 1)};
110     if ((balls[i].x <= (r/2))   && (balls[i].y <= (r/2))) {balls.splice(i, 1)};  
111 
112                 // расчет взаимодействия производится со всеми следующими шарами в массиве,
113                 // чтобы не считать каждое взаимодействие дважды
114                 var b = balls[i];
115                 for (var j = i + 1; j < balls.length; j++) {
116                     var b2 = balls[j];
117                     var rx = b.x - b2.x;   var ry = b.y - b2.y;         // вектор смотрит на первый шар (b)
118                     var r2 = rx * rx + ry * ry;                         // квадрат расстояния между шарами
119                     if (r2 > aCut2) continue;                           // проверка на радиус обрезания
120                     var rLen = (Math.sqrt(r2));
121         
122 
123                     // если расстояние между частицами мало, силы будут посчитаны для K * a
124                     if (r2 < K2a2) {
125                         if (rLen > 0.00001) {                           // проверка, чтобы избежать деления на 0
126                             rx = rx / rLen * Ka;
127                             ry = ry / rLen * Ka;
128                         }
129                         r2 = K2a2;
130                         rLen = Ka;                                      // корень K2a2
131                     }
132 
133                     // сила взаимодействия
134                     var s2 = a2 / r2;         var s4 = s2 * s2;         // ___в целях оптимизации___
135                     var F = LJCoeff * s4 * s4 * (s4 * s2 - 1);          // сила взаимодействия Леннарда-Джонса
136 
137                     var Fx = F * rx;        var Fy = F * ry;
138                     b.fx += Fx;             b.fy += Fy;
139                     b2.fx -= Fx;            b2.fy -= Fy;
140                 }
141 
142                 if (b.y + r > h) { b.fy += -Cwall * (b.y + r - h) - Bwall * b.vy; }    // рассчет взаимодействия со стенками : когда координаты шара совпадают с координатами в условии цикла, шару придается скорость и направление 
143                 if (b.y - r < 0) { b.fy += -Cwall * (b.y - r) - Bwall * b.vy;}
144                 if (b.x + r > w) { b.fx += -Cwall * (b.x + r - w) - Bwall * b.vx; }
145                 if (b.x - r < 0) { b.fx += -Cwall * (b.x - r) - Bwall * b.vx; }
146 
147                 b.vx += b.fx / m * dt;        b.vy += b.fy / m * dt;
148                 b.x += b.vx * dt;             b.y += b.vy * dt;
149             }
150         }
151     }
152 
153     // Рисование
154 
155     var rScale13 = r * scale * 1.3;         // ___в целях оптимизации___
156     var rScaleShift = r * scale / 5;        // ___в целях оптимизации___
157   var line ;
158   var radi = 30;              // линия которая показывает предполагаему траекторию "битка"
159   
160     function draw() {
161         context.clearRect(0, 0, w * scale, h * scale);      // очистить экран
162         for (var i = 1; i < balls.length; i++){
163             var xS = balls[i].x * scale;           var yS = balls[i].y * scale;
164             // расчет градиента нужно проводить для каждого шара
165             var gradient = context.createRadialGradient(xS, yS, rScale13, xS - rScaleShift, yS + rScaleShift, 0);
166             gradient.addColorStop(0, "#fdebeb");
167             gradient.addColorStop(1, "#fffcfc");
168             context.fillStyle = gradient;
169 
170             context.beginPath();
171             context.arc(xS, yS, r * scale, 0, 2 * Math.PI, false);
172             context.closePath();
173             context.fill();
174         }
175     for (var i = 0; i < 1; i++){
176             var xS = balls[i].x * scale;           var yS = balls[i].y * scale;
177             // расчет градиента нужно проводить для каждого шара
178             var gradient = context.createRadialGradient(xS, yS, rScale13, xS - rScaleShift, yS + rScaleShift, 0);
179             gradient.addColorStop(0, "#cd0000");
180             gradient.addColorStop(1, "#fffcfc");
181             context.fillStyle = gradient;
182 
183             context.beginPath();
184             context.arc(xS, yS, r * scale, 0, 2 * Math.PI, false);
185             context.closePath();
186             context.fill();
187         }
188 
189     
190     
191       context.lineWidth="3";
192       context.strokeStyle="#fff506";
193             context.beginPath();
194             context.moveTo(balls[0].x * scale, balls[0].y * scale);                                                                                                                                                         
195       context.lineTo(radi*v0*Math.cos(q*Pi/180) + balls[0].x * scale,radi*v0*Math.sin(q*Pi/180)+balls[0].y * scale);
196             context.stroke();
197     
198 
199     // прорисовка луз
200     // verh lev
201   context.lineWidth="3";
202     context.strokeStyle="#ffffff ";
203     context.beginPath();
204     context.moveTo(0, 0);                                                                                                                                                         
205     context.lineTo(0,14 +2.5 );
206     context.stroke();
207   
208   context.lineWidth="3";
209     context.strokeStyle="#ffffff";
210     context.beginPath();
211     context.moveTo(0, 0);                                                                                                                                                         
212     context.lineTo(14 +2.5,0 );
213     context.stroke();
214   
215       // verh prav
216   context.lineWidth="3";
217     context.strokeStyle="#ffffff";
218     context.beginPath();
219     context.moveTo(286 - 2.5, 0);                                                                                                                                                         
220     context.lineTo(300,0 );
221     context.stroke();
222   
223   context.lineWidth="3";
224     context.strokeStyle="##ffffff";
225     context.beginPath();
226     context.moveTo(300, 0);                                                                                                                                                         
227     context.lineTo(300,14 +2.5 );
228     context.stroke();
229   
230         // niz lev
231   context.lineWidth="3";
232     context.strokeStyle="#ffffff";
233     context.beginPath();
234     context.moveTo(0, 600);                                                                                                                                                         
235     context.lineTo(14 +2.5,600 );
236     context.stroke();
237   
238   context.lineWidth="3";
239     context.strokeStyle="#ffffff";
240     context.beginPath();
241     context.moveTo(0, 586 - 2.5);                                                                                                                                                         
242     context.lineTo(0,600 );
243     context.stroke();
244     
245     
246     // niz prav
247   context.lineWidth="3";
248     context.strokeStyle="#ffffff";
249     context.beginPath();
250     context.moveTo(300, 600);                                                                                                                                                         
251     context.lineTo(300,586 - 2.5);
252     context.stroke();
253   
254   context.lineWidth="3";
255     context.strokeStyle="#ffffff";
256     context.beginPath();
257     context.moveTo(300, 600);                                                                                                                                                         
258     context.lineTo(286 - 2.5,600 );
259     context.stroke();
260   
261   //sered lev
262   context.lineWidth="3";
263     context.strokeStyle="#ffffff";
264     context.beginPath();
265     context.moveTo(0, 289);                                                                                                                                                         
266     context.lineTo(0,311);
267     context.stroke();
268   
269   //sered prav
270   
271   context.lineWidth="3";
272     context.strokeStyle="#ffffff";
273     context.beginPath();
274     context.moveTo(300, 289);                                                                                                                                                         
275     context.lineTo(300,311 );
276     context.stroke();
277     
278   
279     }
280   
281 
282     // Запуск системы
283                       // добавляем 20 частиц, сдвинув их от стен
284     addNewBall(16*w/32, 16*h/32 );
285     addNewBall(16*w/32, 8*h/32 );  
286     addNewBall(16*w/32 - r,   8*h/32 - 1.7321*r);  
287     addNewBall(16*w/32 + r,   8*h/32 - 1.7321*r );
288     addNewBall(16*w/32,     8*h/32 - 2*1.7321*r );    
289     addNewBall(16*w/32 - 2*r,   8*h/32 - 2*1.7321*r );
290     addNewBall(16*w/32 + 2*r,   8*h/32 - 2*1.7321*r );
291     addNewBall(16*w/32 + r,   8*h/32 - 3*1.7321*r );
292     addNewBall(16*w/32 - r,   8*h/32 - 3*1.7321*r );
293     addNewBall(16*w/32 + 3*r,   8*h/32 - 3*1.7321*r );
294     addNewBall(16*w/32 - 3*r,   8*h/32 - 3*1.7321*r );
295     addNewBall(16*w/32,     8*h/32 - 4*1.7321*r );
296     addNewBall(16*w/32 - 2*r,   8*h/32 - 4*1.7321*r );
297     addNewBall(16*w/32 + 2*r,   8*h/32 - 4*1.7321*r );
298     addNewBall(16*w/32 - 4*r,   8*h/32 - 4*1.7321*r );
299     addNewBall(16*w/32 + 4*r,   8*h/32 - 4*1.7321*r );
300     addNewBall(16*w/32, 16*h/32 );  
301     
302   this.setSlider_01 = function(c) { q=-c ;}; // функция для слайдера угла
303   this.setSlider_02 = function(c) { v0=c ;}; // функция для слайдера угла
304 
305  // Настройка интерфейса
306 
307     slider_01.min = 0;               slider_01.max =360;
308     slider_01.step = 0.5;
309     slider_01.value = q;          // начальное значение ползунка должно задаваться после min и max
310     text_01.value = Math.abs(q);
311     slider_02.min = 0;               slider_02.max = 10;
312     slider_02.step = 0.5;
313     slider_02.value = v0;                // начальное значение ползунка должно задаваться после min и max
314     text_02.value = v0;
315   
316   this.setSlider_01(q);
317   this.setSlider_02(v0);
318     
319     this.newSystem = function() {
320     balls[0].vx = v0* Math.cos(q*Pi/180);
321         balls[0].vy = v0* Math.sin(q*Pi/180);
322   }
323 
324   this.newSystem1 = function() {
325   for (var i = 20; i >= 0; i--) 
326   {balls.splice(i, 1)};
327   addNewBall(16*w/32, 16*h/32 );
328     addNewBall(16*w/32, 8*h/32 );  
329     addNewBall(16*w/32 - r,   8*h/32 - 1.7321*r);  
330     addNewBall(16*w/32 + r,   8*h/32 - 1.7321*r );
331     addNewBall(16*w/32,     8*h/32 - 2*1.7321*r );    
332     addNewBall(16*w/32 - 2*r,   8*h/32 - 2*1.7321*r );
333     addNewBall(16*w/32 + 2*r,   8*h/32 - 2*1.7321*r );
334     addNewBall(16*w/32 + r,   8*h/32 - 3*1.7321*r );
335     addNewBall(16*w/32 - r,   8*h/32 - 3*1.7321*r );
336     addNewBall(16*w/32 + 3*r,   8*h/32 - 3*1.7321*r );
337     addNewBall(16*w/32 - 3*r,   8*h/32 - 3*1.7321*r );
338     addNewBall(16*w/32,     8*h/32 - 4*1.7321*r );
339     addNewBall(16*w/32 - 2*r,   8*h/32 - 4*1.7321*r );
340     addNewBall(16*w/32 + 2*r,   8*h/32 - 4*1.7321*r );
341     addNewBall(16*w/32 - 4*r,   8*h/32 - 4*1.7321*r );
342     addNewBall(16*w/32 + 4*r,   8*h/32 - 4*1.7321*r );
343     addNewBall(16*w/32, 16*h/32 );  
344   
345 }
346     setInterval(control, 1000 / fps);
347 }

Файл "Billyard1version.html" 

 1 <!DOCTYPE html>
 2 <html>
 3 <head>
 4     <title>Billyard</title>
 5     <script src="Billyard1version.js"></script>
 6 </head>
 7 <body>
 8      <canvas id="canvasBalls" width="300" height="600" style="border:1px none #000000;background: #008000"></canvas>
 9 <br>
10     <div>Угол:
11         <input type="range" id="slider_01" style="width: 150px;" oninput="app.setSlider_01(this.value); document.getElementById('text_01').value = this.value;">
12        q =
13         <input id="text_01" style="width: 5ex;" required pattern="[-+]?([0-9]*\.[0-9]+|[0-9]+)"  oninput="
14             // если введено не число - строка не пройдет валидацию по паттерну выше, и checkValidity() вернет false
15             if (!this.checkValidity()) return;
16             app.setSlider_01(this.value);
17             document.getElementById('slider_01').value = this.value;
18         ">
19     </div><br>
20 
21     <div>Начальная скорость:
22         <input type="range" id="slider_02" style="width: 150px;" oninput="app.setSlider_02(this.value); document.getElementById('text_02').value = this.value;">
23        v0 =
24         <input id="text_02" style="width: 5ex;" required pattern="[-+]?([0-9]*\.[0-9]+|[0-9]+)" oninput="
25             // если введено не число - строка не пройдет валидацию по паттерну выше, и checkValidity() вернет false
26             if (!this.checkValidity()) return;
27             app.setSlider_02(this.value);
28             document.getElementById('slider_02').value = this.value;
29         ">
30     </div><br> 
31   
32   
33   <input type="button" style="width: 50px" name="" onclick="app.newSystem();return false;" value="PLAY"/>
34   
35   
36  <script type="text/javascript">var app = new MainBalls(
37             document.getElementById('slider_01'),
38             document.getElementById('text_01'),
39             document.getElementById('slider_02'),
40             document.getElementById('text_02')
41     );</script>
42 </body>
43 </html>


рис.1.Траектория разлета шаров при центральном разбиении пирамиды.













Решение[править]

Задача: Рассчитать скорость и угол направления удара, а так же возможные расположения шаров, при которых оба шара (рис.2) окажутся в верхних лузах.

Удар "резка".

На рис.2, один из шаров(биток) смещен с оси прямого удара, таким образом появляется резка. Нужно попасть битком в точку на прицельном шаре, от которой через математический центр прицельного шара до центра лузы проходит прямая линия. При малой резке эта точка на прицельном шаре еще видна, но по мере увеличения резки она становится практически невидимой.

Правило 90°: когда "биток" ударяет прицельный шар, скользя по сукну без переднего или заднего вращения, шары разлетаются под углом 90° друг к другу. Правило работает независимо от угла резки.
[math] v_{1},v_{2} [/math] - скорость "битка" до и после соударения.

[math] v_{2}' [/math] - скорость прицельного шара после соударения.

Из ЗСИ:

[math] v_{1} = v_{1}' + v_{2}'[/math] (1)

Из ЗСЭ:

[math] v_{1}^2 = v_{1}' ^2 + v_{2}' ^2[/math] (2)

Скалярное произведине ур-ния (1) самого на себя дает:

[math] v_{1}^2 = v_{1}' ^2 + 2v_{1}'v_{2}'\cos\left(θ\right) + v_{2} '^2[/math] (3)

(3) - (2):

[math] 2v_{1}'v_{2}'\cos\left(θ\right) = 0 [/math], а это возможно, если [math] v_{1}' = 0 [/math](что соответствует прямому удару), или при [math] θ = 90° [/math]

Примечание :Вывод правила 90° основан на двух существенных допущениях: трение между шарами равно нулю и столкновение шаров – абсолютно упругое.

Будем считать, что шары однородные и совершенно сферической формы.

[math] θ_{1}, θ_{2} [/math] - углы отклонения первого и второго шаров после столкновения по отношению к направлению удара.[math] χ[/math] - угол поворота первого шара в системе центра инерции.

[math] θ_{1} =\frac{χ}{2} [/math] [math]\qquad[/math] [math] θ_{2} =\frac{π - χ}{2} [/math]

[math] ú_{1} , ú_{2} [/math] - абсолютные величины скоростей шаров после столкновения.

[math] ú_{1} = \cos\left(\frac{θ}{2}\right) v [/math] [math]\qquad[/math] [math] ú_{2} = \sin\left(\frac{θ}{2}\right)v [/math] , [math]\qquad[/math]где [math] v = v_{2} - v_{1} [/math]


Рассмотрим частный случай (рис.2): [math] l_{1} = 560 [/math]мм. - расстояние от прицельного шара до верхней левой лузы, [math] l_{2} = 969 [/math]мм. - расстояние от битка до верхней правой лузы, в момент соприкосновения шаров, [math] l = 700[/math]мм. - расстояние между шарами в начальный момент времени.

Угол разлета шаров после удара 90°, значит можем рассчитать [math] θ_{1}, θ_{2} [/math]

[math]\Downarrow [/math]

[math] θ_{1} =\frac{π}{6}\ [/math] [math]\qquad[/math] [math] θ_{2} =\frac{π}{3}\ [/math]

В таком случае, после соударения шаров, они приобретут скорости:

[math] ú_{1} =\frac{\sqrt3}{2}\ v [/math] [math]\qquad[/math] [math] ú_{2} =\frac{1}{2}\ v [/math] ,[math]\qquad[/math] где искомая скорость [math] v = v_{2} [/math], т.к. в нашем случае прицельный шар в начальный момент времени неподвижен.

В рассмотренном случае угол, под которым производится удар, по отношению к оси OX равен [math] \frac{π}{2}\ [/math]. В общем случае этот угол зависит от расположения битка.

Обсуждение результатов и выводы[править]

RaspolpzhenieBitka.PNG

Таким образом, в ходе работы над проектом была написана программа, моделирующая процесс игры в бильярд, а так же смоделирован рассматриваемый удар, целью, которого являются оба шара. Были рассчитаны скорость и угол направления удара в рассматриваемом случае. Установлены возможные положения шаров, когда целью удара является один или оба шара (рис.3 и рис.4). А на рис.5 указана область расположения для прицельного шара, когда стоит задача загнать в верхние лузы оба шара.



Скачать отчет:docx
Скачать презентацию:pptx

Ссылки по теме[править]

См. также[править]

Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=КП:_Прицельный_бильярд&oldid=34383»