Траектория тела, брошенного под углом к горизонту — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
м
 
(не показано 13 промежуточных версий 4 участников)
Строка 29: Строка 29:
 
Таким образом, траектория является параболой, отображенной на интерактивном графике ниже. Сравнивается траектория, соответствующая <math>\alpha = 60^o</math> и оптимальная траектория, реализующаяся при <math>\alpha = 45^o</math> и обеспечивающая максимальную дальность броска. Перемещение слайдера позволяет наблюдать влияние угла броска на форму траектории (модуль начальной скорости при этом остается неизменным).   
 
Таким образом, траектория является параболой, отображенной на интерактивном графике ниже. Сравнивается траектория, соответствующая <math>\alpha = 60^o</math> и оптимальная траектория, реализующаяся при <math>\alpha = 45^o</math> и обеспечивающая максимальную дальность броска. Перемещение слайдера позволяет наблюдать влияние угла броска на форму траектории (модуль начальной скорости при этом остается неизменным).   
  
−
<addscript src=mg/>
+
 
−
<htmlet nocache="yes">mg_TM</htmlet>
+
<htmlet nocache="yes">Krivtsov/mg_TM</htmlet>
−
Текст программы построения графиков на языке JavaScript: <toggledisplay status=hide showtext="Показать↓" hidetext="Скрыть↑" linkstyle="font-size:default">  
+
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%" >
 +
'''Текст программы построения графиков на языке JavaScript:''' <div class="mw-collapsible-content">
 
Файл '''"mg.js"'''
 
Файл '''"mg.js"'''
−
<source lang="javascript" first-line="1">
+
<syntaxhighlight lang="javascript" line start="1" enclose="div">
 
// Движение тела, брошенного под углом к горизонту
 
// Движение тела, брошенного под углом к горизонту
 
// Разработчик А.М. Кривцов  
 
// Разработчик А.М. Кривцов  
 
// 01.06.2014  
 
// 01.06.2014  
 +
// 06.11.2014 коррекция - удаление const (Цветков)
 
// Интернет: tm.spbstu.ru/mg
 
// Интернет: tm.spbstu.ru/mg
  
Строка 43: Строка 45:
 
     // Предварительные установки
 
     // Предварительные установки
  
−
const deg = Math.PI / 180; // Угловой градус (degree)
+
var deg = Math.PI / 180; // Угловой градус (degree)
  
−
const X_max = canvas.width;
+
var X_max = canvas.width;
−
  const Y_max = canvas.height;
+
  var Y_max = canvas.height;
 
 
 
     // Размерные параметры
 
     // Размерные параметры
  
−
     const g = 1.;    // ускорение свободного падения
+
     var g = 1.;    // ускорение свободного падения
−
     const v0 = 1.;    // начальная скорость
+
     var v0 = 1.;    // начальная скорость
 
 
 
     // Расчет констант  
 
     // Расчет констант  
 
 
−
const h = v0 * v0 / 2 / g;
+
var h = v0 * v0 / 2 / g;
 
 
 
     // Задание начальных значений параметров
 
     // Задание начальных значений параметров
Строка 62: Строка 64:
 
      
 
      
 
// Область построения графика
 
// Область построения графика
−
     const x_min = 0;   
+
     var x_min = 0;   
−
     const x_max = 2 * h;
+
     var x_max = 2 * h;
−
     const y_min = 0;     
+
     var y_min = 0;     
−
     const y_max = h;       
+
     var y_max = h;       
  
−
  const N = X_max;                // число точек по оси x
+
  var N = X_max;                // число точек по оси x
−
const dx = x_max / N;            // шаг по оси x
+
var dx = x_max / N;            // шаг по оси x
−
const sx = X_max / x_max;        // масштаб по оси x
+
var sx = X_max / x_max;        // масштаб по оси x
  
 
var sy; // масштаб по оси y
 
var sy; // масштаб по оси y
Строка 152: Строка 154:
 
     }     
 
     }     
 
}
 
}
−
</source>
+
</syntaxhighlight>
 
Файл '''"mg.html"'''
 
Файл '''"mg.html"'''
−
<source lang="html" first-line="1">
+
<syntaxhighlight lang="html5" line start="1" enclose="div">
 
<!DOCTYPE html>
 
<!DOCTYPE html>
 
<html>
 
<html>
Строка 163: Строка 165:
 
</head>
 
</head>
 
<body>
 
<body>
−
     <canvas id="canvasGraph" width="400" height="200" style="border:1px solid #000000;"></canvas>
+
     <canvas id="canvasGraph" width="400" height="упцупцупцупorder:1px solid #000000;"></canvas>
  
 
  <!--Выбор графика (чекбоксы)-->
 
  <!--Выбор графика (чекбоксы)-->
Строка 194: Строка 196:
 
</body>
 
</body>
 
</html>  
 
</html>  
−
</source>
+
</syntaxhighlight>
−
</toggledisplay>
+
</div>
−
 
+
</div>
  
 
== См. также ==
 
== См. также ==
  
 
* [[Пример: баллистическое движение|Баллистическое движение]]
 
* [[Пример: баллистическое движение|Баллистическое движение]]
 +
 +
[[Category: Виртуальная лаборатория]]

Текущая версия на 11:01, 1 марта 2019

Виртуальная лаборатория > Траектория тела, брошенного под углом к горизонту


Рассмотрим движение материальной точки, брошенной под углом к горизонту в поле силы тяжести. Сопротивление воздуха не учитывается. Уравнение движения рассматриваемой системы и начальные условия имеют вид:

[math] m\ddot{\bf r} = m{\bf g};\qquad \left.\dot{\bf r}\right|_{t=0} = {\bf v}_0,\qquad \left.{\bf r}\right|_{t=0} = 0, [/math]

где [math]m[/math] и [math]{\bf r}[/math] — масса и радиус-вектор материальной точки, [math]m{\bf g}[/math] — сила тяжести, [math]{\bf v}_0[/math] — начальная скорость, [math]t[/math] — время, точкой обозначена производная по времени, векторы выделены жирным шрифтом. Интегрирование уравнения движения по времени с учетом начальных условий дает

[math] {\bf r} = {\bf v}_0\, t + {\bf g}\,\frac{t^2}2. [/math]

Проецируя полученное векторное уравнение на горизонтальную и вертикальную оси [math]x[/math] и [math]y[/math] получим

[math] x = (v_0 \cos\alpha)\,t,\qquad y = (v_0 \sin\alpha)\,t - g\,\frac{t^2}2, [/math]

где [math]\alpha[/math] — угол между направлением начальной скорости и горизонтальным направлением (угол броска). После исключения времени из этих уравнений получим уравнение траектории

[math] y = x\mathop{\rm tg}\alpha - \frac{g}{2v_0^2\cos^2\alpha}\,x^2. [/math]

Таким образом, траектория является параболой, отображенной на интерактивном графике ниже. Сравнивается траектория, соответствующая [math]\alpha = 60^o[/math] и оптимальная траектория, реализующаяся при [math]\alpha = 45^o[/math] и обеспечивающая максимальную дальность броска. Перемещение слайдера позволяет наблюдать влияние угла броска на форму траектории (модуль начальной скорости при этом остается неизменным).


Траектория: — актуальная, — оптимальная (α = 45˚)
Угол броска: α = ˚

Текст программы построения графиков на языке JavaScript:

Файл "mg.js" 

  1 // Движение тела, брошенного под углом к горизонту
  2 // Разработчик А.М. Кривцов 
  3 // 01.06.2014 
  4 // 06.11.2014 коррекция - удаление const (Цветков)
  5 // Интернет: tm.spbstu.ru/mg
  6 
  7 function MainMG(canvas) {
  8 
  9     // Предварительные установки
 10 
 11 	var deg = Math.PI / 180;			// Угловой градус (degree)
 12 
 13 	var X_max = canvas.width;
 14  	var Y_max = canvas.height;
 15 	
 16     // Размерные параметры
 17 
 18     var g = 1.;    // ускорение свободного падения
 19     var v0 = 1.;    // начальная скорость
 20 	
 21     // Расчет констант 
 22 	
 23 	var h = v0 * v0 / 2 / g;
 24 	
 25     // Задание начальных значений параметров
 26 	
 27 	var al = 60 * deg;
 28     
 29 	// Область построения графика
 30     var x_min = 0;  
 31     var x_max = 2 * h;
 32     var y_min = 0;    
 33     var y_max = h;      
 34 
 35  	var N = X_max;                 	// число точек по оси x
 36 	var dx = x_max / N;            	// шаг по оси x
 37 	var sx = X_max / x_max;        	// масштаб по оси x
 38 
 39 	var sy; 							// масштаб по оси y
 40 	var Y0;  							// положение 0 оси y в экранных координатах
 41 	var context;  						// на context происходит рисование
 42 
 43     // настройка слайдеров и текстовых полей
 44 	
 45     Text_01.value = Math.round(al / deg);
 46 	Slider_01.min = 0;       	
 47     Slider_01.max = 90;
 48     Slider_01.step = 1;
 49     Slider_01.value = Text_01.value;     	
 50 	
 51 	draw();
 52 
 53     // функция, запускающаяся при перемещении слайдера
 54     this.set_01 = function(input) { al = input * deg; draw(); }  
 55     
 56 	// Функции, запускающиеся при изменении элементов управления
 57     this.setCheckbox_01 = function(bool) { draw(); }
 58 	this.setCheckbox_02 = function(bool) { draw(); }	
 59 
 60 	// Отображение
 61 	
 62 	function draw() 
 63 	{ 
 64 	   // Расчет параметров графики
 65 		
 66 		sy = Y_max / (y_max - y_min); 			// масштаб по оси y
 67 		Y0 = Y_max + y_min * sy;  				// положение 0 оси y в экранных координатах
 68 
 69 		context = canvas.getContext("2d");  	// на context происходит рисование
 70 		context.clearRect(0, 0, X_max, Y_max); 	// очистить экран
 71         
 72 		// Графики 
 73 
 74 		Graph(F0, 	checkbox_02.checked, 	'lightgrey');		
 75 		Graph(F1, 	checkbox_01.checked, 	'black');
 76 
 77         // Надписи
 78         context.fillStyle = 'black';
 79         context.font = "italic 20px Times";
 80         context.fillText("x", x_max * sx - 15, Y0 - 7);
 81         context.fillText("y", 5, 15);
 82         context.fillText("0", 10, Y0 - 3);
 83 	}
 84 
 85 	// Построение графика функции
 86 	
 87 	function Graph(F, flag, color)
 88 	{
 89 		if (!flag) return;
 90 		
 91 		context.strokeStyle = color;
 92 		context.beginPath();
 93 		for (var x = x_min; x < x_max; x += dx)
 94 		{
 95 			var y = F(x);
 96 			var X = x * sx; 
 97 			var Y = Y0 - y * sy; 
 98 			context.lineTo(X, Y);	
 99 		}
100 		context.stroke();
101 	}	
102 	
103     // Траектории
104     
105     // al = 45 * deg;
106 	function F0(x) 	
107     {
108 		var y = x - g / (v0 * v0) * x * x; 
109 		return y;
110     }    
111 
112     // Произвольное al
113 	function F1(x)
114     {
115 		var t = x / v0 / Math.cos(al) 
116 		var y = v0 * Math.sin(al) * t - g * t * t / 2; 
117 		return y;
118     }    
119 }

Файл "mg.html" 

 1 <!DOCTYPE html>
 2 <html>
 3 <head>
 4     <meta charset="UTF-8" />
 5     <title>mg</title>
 6     <script src="mg.js"></script>
 7 </head>
 8 <body>
 9     <canvas id="canvasGraph" width="400" height="упцупцупцупorder:1px solid #000000;"></canvas>
10 
11  	<!--Выбор графика (чекбоксы)-->
12 	<div>
13         Траектория:
14         <font color="#000000" size="5"><B>—</B></font>
15 		<input type="checkbox" id="checkbox_01" name="" onchange="app.setCheckbox_01(this.checked);" checked/>актуальная,
16 		<font color="CCCCCC" size="5"><B>—</B></font>
17 		<input type="checkbox" id="checkbox_02" name="" onchange="app.setCheckbox_02(this.checked);" checked/>оптимальная (<I>α</I> = 45˚)
18     </div>	
19 
20     <!--Установка параметров взаимодействия (текстовые поля и слайдеры)-->
21     <div>
22 		Угол броска:
23         <font face= "Times New Roman">
24 		<I>α</I> = <input id="Text_01" style="width: 2.2ex;" required pattern="[-+]?([0-9]*\.[0-9]+|[0-9]+)" oninput="
25             // если введено не число - строка не пройдет валидацию по паттерну выше, и checkValidity() вернет false
26             if (!this.checkValidity()) return;
27             app.set_01(this.value);
28             document.getElementById('Slider_01').value = this.value;
29         ">˚
30 		<input type="range" id="Slider_01" style="width: 100px;" oninput="app.set_01(this.value); document.getElementById('Text_01').value = this.value;">
31 		</font>
32 	</div>
33     
34 	<script type="text/javascript">var app = new MainMG(
35 		document.getElementById('canvasGraph')
36 	);</script>
37 
38 </body>
39 </html>

См. также[править]

Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=Траектория_тела,_брошенного_под_углом_к_горизонту&oldid=52785»