Устойчивость протопланетного облака системы "Земля - Луна" часть 3 — различия между версиями
Al-Efesbi (обсуждение | вклад) м (→Постановка задачи) |
Al-Efesbi (обсуждение | вклад) м (→Задача 5) |
||
(не показаны 4 промежуточные версии этого же участника) | |||
Строка 45: | Строка 45: | ||
<math>(5):F=\frac{\Delta p}{\Delta t}=4\pi m V_0 I\frac{a^2 R^2 }{r^2}=\frac{m V_0 I}{4\pi}\frac{S_1 S_2 }{r^2}</math> | <math>(5):F=\frac{\Delta p}{\Delta t}=4\pi m V_0 I\frac{a^2 R^2 }{r^2}=\frac{m V_0 I}{4\pi}\frac{S_1 S_2 }{r^2}</math> | ||
− | == ''' | + | == '''Задача 2''' == |
− | + | '''При условиях прошлой задачи, учесть эффект экранирования'''. | |
− | |||
− | |||
'''Решение''' | '''Решение''' | ||
Строка 62: | Строка 60: | ||
<math>(7):F=\frac{\Delta p}{\Delta t}= \frac{m V_0 I}{4\pi}\frac{S_1 S_2 }{r^2}exp(-\rho S r )=K\frac{ S_1 S_2 }{r^2}exp(-\rho S r )</math> | <math>(7):F=\frac{\Delta p}{\Delta t}= \frac{m V_0 I}{4\pi}\frac{S_1 S_2 }{r^2}exp(-\rho S r )=K\frac{ S_1 S_2 }{r^2}exp(-\rho S r )</math> | ||
− | == ''' | + | == '''Задача 3''' == |
− | + | '''Для испаряющейся с интенсивностью <math>I</math> сферической частицы площадью <math>4S_1</math>, в среде с частицами с концентрацией <math>w</math> и площадью <math>4S</math> написать выражение для созданного ей отталкивающего потенциала на расстоянии r'''. | |
− | Для испаряющейся с интенсивностью <math>I</math> сферической частицы площадью <math>4S_1</math>, в среде с частицами с концентрацией <math>w</math> и площадью <math>4S</math> написать выражение для созданного ей отталкивающего потенциала на расстоянии r. | ||
Строка 74: | Строка 71: | ||
<math>(8:)\varphi=K S_1\left( \frac{exp(-n S r)}{r}-n S \cdot Ei(1,n S r)\right)</math> | <math>(8:)\varphi=K S_1\left( \frac{exp(-n S r)}{r}-n S \cdot Ei(1,n S r)\right)</math> | ||
− | == ''' | + | == ''' Задача 4''' == |
− | + | '''Для однородного шара с концентрацией частиц <math>n </math> найти функцию потенциала.''' | |
− | Для однородного шара с концентрацией частиц <math>n </math> найти функцию потенциала. | ||
'''Решение''' | '''Решение''' | ||
Строка 120: | Строка 116: | ||
<math>nS^2</math> следует читать, как <math>(nS)^2</math> | <math>nS^2</math> следует читать, как <math>(nS)^2</math> | ||
− | == '''Потенциал во внутренней точке шара''' | + | == '''Задача 5''' == |
+ | '''Потенциал во внутренней точке шара''' | ||
+ | |||
+ | '''Решение''' | ||
Проведем через точку сферу так, что она разделит шар на внутренний шар с радиусом <math>r</math> и шаровой слой толщиной <math>R-r</math>. Материальная точка будет взаимодействовать только внутренним шаром, так как шаровой слой, внутреннюю точку не отталкивает. Поэтому радиационная сила в точке направлена от центра шара и равна | Проведем через точку сферу так, что она разделит шар на внутренний шар с радиусом <math>r</math> и шаровой слой толщиной <math>R-r</math>. Материальная точка будет взаимодействовать только внутренним шаром, так как шаровой слой, внутреннюю точку не отталкивает. Поэтому радиационная сила в точке направлена от центра шара и равна |
Текущая версия на 14:34, 13 апреля 2014
Содержание
Задача 1[править]
Пусть имеется тело радиуса
(площадь поверхности )с поверхности которого отделяются частицы. На расстоянии от первого тела находится сферическое тело площадью .Требуется подсчитать силу, с которой это тело взаимодействует с частицей.
Исходим из следующих соображений.
- Все частицы имеют одинаковую массу
- Все частицы отделяются от сферического тела
1) В радиальных направлениях
2) С одинаковой начальной скоростью
3) без ускорения
Решение
Запишем уравнение непрерывности для среды с источником излучения.
,
где
-концентрация частиц,
-Интенсивность испарения сферы
-дельта функция Дирака.
Первое слагаемое в силу стационарности-ноль.
Рассмотрим частичку площадью
, ( площадь поперечного сечения, именно она является характеристикой взаимодействия, ) находящеюся на расстоянии , от излучающего тела. Тогда переданный импульс при абсолютно-упругом ударе за время будет,
отсюда
Задача 2[править]
При условиях прошлой задачи, учесть эффект экранирования.
Решение
Если среда, где распространяется излучение, не пустая, присутствует экранирующий эффект, тогда , в соответствии с [работой], концентрация отделившихся частиц на расстоянии запишется как
, где
-концентрация экранирующих тел.
-площадь поперечного сечения экранирующих тел (в случае сферических тел, полагая их площадь есть ).
Задача 3[править]
Для испаряющейся с интенсивностью
сферической частицы площадью , в среде с частицами с концентрацией и площадью написать выражение для созданного ей отталкивающего потенциала на расстоянии r.
Решение
Характеристикой испарения, при одинаковой интенсивности является площадь частицы. Использую метод пробной сферической частицы,площадью поверхности внесенной в отталкивающее поле (тогда на наблюдателя будет обращена поверхность ), получим связь силы и потенциала:
Задача 4[править]
Для однородного шара с концентрацией частиц
найти функцию потенциала.Решение По антологии с гравитационным потенциалом можно показать, что на внутреннею точку полый шар не действует.
Потенциал на поверхности шара
Представим себе, что точка
находится на поверхности шара. Соединим эту точку с центром шара (точка О), полученный радиус-вектор обозначим через . Радиус-вектор элемента объёма будем обозначать буквой . Следовательно расстояние между элементом объёма и точкой , которое мы обозначили греческой буквой , будет иметь вид , где -- угол с вершиной в центре шара, образованный радиус-векторами , . Наконец, объем элементарно малого параллелепипеда со сторонами , , и . Здесь мы введена еще одна степень свободы -- поворот вокруг оси OP на угол .Для бесконечно-малого объёма надо ввести эквиваленту площадь поверхности, равной суммарной площади всех находящихся в нём частиц.
Теперь следует проинтегрировать по всем объёмам, чтобы найти суммарный потенциал.
Заменим переменную интегрирования
на . Определим пределы интегрирования. Очевидно, что вместо 0 и нужно взять и , а .Имеем:
После интегрирования, получим
следует читать, как
Задача 5[править]
Потенциал во внутренней точке шара
Решение
Проведем через точку сферу так, что она разделит шар на внутренний шар с радиусом
и шаровой слой толщиной . Материальная точка будет взаимодействовать только внутренним шаром, так как шаровой слой, внутреннюю точку не отталкивает. Поэтому радиационная сила в точке направлена от центра шара и равна
Поскольку
, то для потенциала во внутренней точке шара получим
, где константа интегрирования. находится из граничного условия , где в правую часть нужно подставить выражение из
Форма получившейся кривой на рисунке ниже
Выбранные параметры
В нуле функция принимает конечное значение.
Цифры[править]
Объём и площадь сферы связаны соотношением
, масса ледяных пылинокпоэтому
Если теперь положить, что радиус системы Земля-Луна на начальных этапах своей эволюции был в 2 раза больше расстояния между Луной и Землёй сегодня (
), а масса была равна суммы масс Земли и Луны, то получимЕсли половина площади частиц примерно ровна
, что соответствует радиусу 10 см, то получим, что примерно соответствует 1 частице в кубе 10х10 метров.
Некоторые уравнения[править]
Для простоты рассматриваем бесстолкновительные системы
Функция распределения должна удовлетворять кинетическому уравнению Больцмана
Здесь F(r, t) — поле сил, действующее на частицы в жидкости или газе, а m — масса частиц. Слагаемое в правой части уравнения добавлено для учёта столкновений между частицами и называется интеграл столкновений. Если оно равно нулю, то частицы не сталкиваются вовсе.
Поэтому