Исследование потери устойчивости стержня при динамическом нагружении сжимающей силой — различия между версиями
Ty4ka (обсуждение | вклад) (Новая страница: «Выполнил: Клак М.А. Научный руководитель: [[Иванова Елена Александровна|Иван...») |
Ty4ka (обсуждение | вклад) |
||
(не показаны 2 промежуточные версии этого же участника) | |||
Строка 15: | Строка 15: | ||
<math>\underline{M}'(s, t) + \underline{R}'(s, t)\times \underline{N}(s, t) = 0</math> | <math>\underline{M}'(s, t) + \underline{R}'(s, t)\times \underline{N}(s, t) = 0</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Определяющее уравнение для момента | ||
+ | |||
+ | <math>\underline{M} = (C_3-C_1)(\underline{t}\cdot\underline{\underline{P}}^T\cdot\underline{\Phi})(\underline{\underline{P}}\cdot\underline{t}) + C_1\underline{\Phi}</math> | ||
+ | |||
+ | '''Вектора деформации''' | ||
Связь вектор деформации изгиба кручения с тензором поворота | Связь вектор деформации изгиба кручения с тензором поворота | ||
− | <math>\underline{\underline{P}}'=\underline{\Phi} \times \underline{P}</math> | + | <math>\underline{\underline{P}}'=\underline{\Phi} \times \underline{\underline{P}}</math> |
+ | |||
+ | Вектор деформации растяжения сдвига | ||
+ | |||
+ | <math>\underline{\varepsilon} = \underline{R}'-\underline{\underline{P}}\cdot\underline{t}</math> | ||
+ | |||
+ | Задача решается в классической теории стержней: <math>\underline{\varepsilon}=0</math>, следовательно: <math>\underline{R}'=\underline{\underline{P}}\cdot{t}</math> | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | '''Граничные условия''' | ||
+ | |||
+ | Условие жесткой заделки на нижнем конце: | ||
+ | Отсутствие перемещений | ||
+ | <math>\underline{R}|_{s=0}=0</math> , | ||
+ | Отсутствие поворота | ||
+ | <math>\underline{\underline{P}}|_{s=0}=\underline{\underline{E}}</math> | ||
+ | |||
+ | Условия на верхнем конце стержня: | ||
+ | уравнение движения груза: <math>m(\underline{t}\cdot\underline{R}^{\cdot\cdot})|_{s=l}=-F(t)-mg-(\underline{t}\cdot\underline{N}|_{s=l})</math> | ||
+ | |||
+ | Отсутствие перемещений в плоскости | ||
+ | <math>\underline{R}|_{s=l}\cdot(\underline{\underline{E}}-\underline{t}\underline{t})=0</math> | ||
+ | |||
+ | Возникновение сил реакций | ||
+ | <math>\underline{N}|_{s=l}\cdot(\underline{\underline{E}}-\underline{t}\underline{t})=\underline{F}^*</math> | ||
+ | |||
+ | Т.к. груз шарнирно прикреплен к стержню | ||
+ | <math>\underline{M}|_{s=l}=0</math> | ||
+ | |||
+ | == Решение уравнений статики стержня == | ||
+ | Вектор силы <math>\underline{N}=\underline{N}|_{s=l}</math> | ||
+ | |||
+ | Вектор деформации: <math>\underline{\Phi}=\underline{R}'\times \underline{R}''</math> | ||
+ | |||
+ | Вектор момента: <math>\underline{M}=C_1\underline{\Phi}</math>, принимая во внимание ранее полученное выражение для вектора деформации <math>\underline{M}=C_1\underline{R}'\times\underline{R}''</math> | ||
+ | |||
+ | Доказывается, что конфигурация изогнутого стержня - плоская | ||
+ | <math>\underline{\underline{P}}=\underline{\underline{P}}(\psi\underline{b})</math> | ||
+ | Тогда можно найти радиус вектор <math>\underline{R}'</math> | ||
+ | |||
+ | <math>\underline{R}'=cos\psi\underline{t}+sin\psi\underline{n}</math> | ||
+ | |||
+ | В результате итоговое выражение для момента будет выглядеть <math>\underline{M}=C_1\psi\underline{b}</math> | ||
+ | |||
+ | == Краевая задача для '''<math>\psi</math>''' == | ||
+ | Дифференциальное уравнение | ||
+ | <math>C_1\psi(s)+(\underline{n}\cdot\underline{N})cos\psi-(\underline{N}\cdot\underline{t})sin\psi=0</math> | ||
+ | |||
+ | Граничные условия для переменной <math>\psi</math>: | ||
+ | <math>\psi|_{s=0}=0</math> | ||
+ | |||
+ | <math>\psi'|_{s=l}=0</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Введем новые обозначения: <math>\underline{N}=N\underline{n}</math>, | ||
+ | <math>\underline{e}\cdot\underline{n}=-sin\beta</math>, | ||
+ | <math>\underline{e}\cdot\underline{t}=-cos\beta</math> | ||
+ | |||
+ | Произведем замену переменных | ||
+ | <math>\tilde\psi~=\psi-\beta</math> | ||
+ | |||
+ | Краевая задача в новых обозначениях: | ||
+ | <nath>C_1\tilde\psi''(s)+Nsin\tilde\psi=0</math> | ||
+ | |||
+ | Граничные условия для новой переменной <math>\tilde\psi</math>: | ||
+ | <math>\tilde\psi|_{s=0}=-\beta, \tilde\psi'|_{s=l}=0</math> | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | Первый интеграл | ||
+ | <math>\tilde\psi=\pm2\sqrt{\frac{N}{C_1}[sin^2\frac{\tilde\psi_l}{2}-sin^2\frac{\tilde\psi}{2}]}, </math>где <math>\tilde\psi_l=\tilde\psi|_{s=l}</math> | ||
+ | |||
+ | <math>\underline{N}=N\underline{e} => N > 0 => sin^2\frac{\tilde\psi_l}{2}-sin^2\frac{\tilde\psi}{2} \ge 0</math> | ||
+ | |||
+ | Тогда можем сделать замену: | ||
+ | <math>sin\theta=\frac{sin^2\frac{\tilde\psi}{2}}{sin^2\frac{\tilde\psi_l}{2}}</math> | ||
+ | |||
+ | Дифференциально уравнение для новой переменной: <math>\theta'=\frac{N}{C_1}[1-sin^2\xi sin^2\theta]</math> | ||
+ | Используем оставшееся гр. условие и получим: <math>\theta|_{s=0}=\theta_0</math> | ||
+ | |||
+ | Тогда решение задачи в квадратурах: | ||
+ | <math>\sqrt{\frac{N}{C_1}}s=\int_{\theta_0}^{\theta}\frac{d\tau}{\sqrt{1-sin^2\xi sin^\tau}}</math> | ||
+ | |||
+ | == Критическая сила == | ||
+ | Пусть полученный ранее интеграл - интеграл от параметра | ||
+ | <math>\sqrt{\frac{N}{C_1}}s=J(\xi)</math>, где <math>J(\xi)=\int_{\theta_0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{d\tau}{\sqrt{1-sin^2\xi sin^\tau}}</math> | ||
+ | |||
+ | <math>J(\xi)</math> принимает минимальное значение при <math> \xi=0 </math>, тогда интеграл равен: <math>\frac{\pi}{2}-\theta_0</math> | ||
+ | |||
+ | Следовательно <math>\sqrt{\frac{N}{C_1}}s \ge J(0)</math>, тогда значение критической силы <math>N_cr=\frac{(\pi-2\theta_{0}^{cr})C_1}{4 l^2}</math> | ||
+ | |||
+ | <math>ctg\theta_{0}^{cr}=\frac{\pi}{2}-\theta_{0}^{cr}</math> |
Текущая версия на 02:52, 21 июня 2013
Выполнил: Клак М.А.
Научный руководитель: Иванова Е.А.
Содержание
Введение[править]
В современных конструкциях и сооружениях большое применение имеют детали, являющиеся относительно длинными и тонкими стержнями. Поведение таких стержней под действием осевой сжимающей силой оказывается иным, чем поведение коротких стержней при сжатии. При достижении силой некоторого критического значения прямолинейная форма стержня становится неустойчивой, и стержень начинает искривляться. Это явление называется потерей устойчивости.
Постановка задачи[править]
Рассматривается первоначально прямолинейный безынерционный стержень с массой на верхнем конце. Решается задача о потери устойчивости этого стержня в случае действия на него динамической сжимающей силы.
Уравнения динамики стержня[править]
Определяющее уравнение для момента
Вектора деформации
Связь вектор деформации изгиба кручения с тензором поворота
Вектор деформации растяжения сдвига
Задача решается в классической теории стержней:
, следовательно:Граничные условия
Условие жесткой заделки на нижнем конце: Отсутствие перемещений
, Отсутствие поворотаУсловия на верхнем конце стержня: уравнение движения груза:
Отсутствие перемещений в плоскости
Возникновение сил реакций
Т.к. груз шарнирно прикреплен к стержню
Решение уравнений статики стержня[править]
Вектор силы
Вектор деформации:
Вектор момента:
, принимая во внимание ранее полученное выражение для вектора деформацииДоказывается, что конфигурация изогнутого стержня - плоская
Тогда можно найти радиус вектор
В результате итоговое выражение для момента будет выглядеть
Краевая задача для [править]
Дифференциальное уравнение
Граничные условия для переменной
:
Введем новые обозначения: ,
,
Произведем замену переменных
Краевая задача в новых обозначениях: <nath>C_1\tilde\psi(s)+Nsin\tilde\psi=0</math>
Граничные условия для новой переменной
:Первый интеграл
где
Тогда можем сделать замену:
Дифференциально уравнение для новой переменной:
Используем оставшееся гр. условие и получим:Тогда решение задачи в квадратурах:
Критическая сила[править]
Пусть полученный ранее интеграл - интеграл от параметра
, гдепринимает минимальное значение при , тогда интеграл равен:
Следовательно
, тогда значение критической силы