Устойчивость протопланетного облака системы "Земля - Луна" часть 3 — различия между версиями
Al-Efesbi (обсуждение | вклад) м |
Al-Efesbi (обсуждение | вклад) м (→Задача 5) |
||
(не показаны 84 промежуточные версии этого же участника) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
− | ''' | + | == '''Задача 1''' == |
− | |||
− | Требуется подсчитать силу, с которой | + | '''Пусть имеется тело радиуса <math>R</math> (площадь поверхности <math>S_1=4\pi R^2</math>)с поверхности которого отделяются частицы. На расстоянии <math>r</math> от первого тела находится сферическое тело площадью <math>S_2</math>'''. |
+ | |||
+ | Требуется подсчитать силу, с которой это тело взаимодействует с частицей. | ||
Исходим из следующих соображений. | Исходим из следующих соображений. | ||
Строка 20: | Строка 21: | ||
Запишем уравнение непрерывности для среды с источником излучения. | Запишем уравнение непрерывности для среды с источником излучения. | ||
− | <math>(1):\frac{\partial | + | <math>(1):\frac{\partial w}{\partial t}+\bigtriangledown \cdot (w \vec V_0)=4\pi R^2 I \delta^3(r)</math>, |
где | где | ||
− | <math> | + | <math>w</math>-концентрация частиц, |
<math>I</math>-Интенсивность испарения сферы <math>\frac{partical}{sek \cdot sm^2}</math> | <math>I</math>-Интенсивность испарения сферы <math>\frac{partical}{sek \cdot sm^2}</math> | ||
Строка 32: | Строка 33: | ||
Первое слагаемое в силу стационарности-ноль. | Первое слагаемое в силу стационарности-ноль. | ||
− | <math>(2): | + | <math>(2):w V_0 \cdot 4\pi r^2=4\pi R^2 I</math> |
− | <math>(3): | + | <math>(3):w=\frac{R^2 I}{r^2 V_0}</math> |
− | Рассмотрим | + | Рассмотрим частичку площадью <math>4\pi a^2</math>, ( площадь поперечного сечения, именно она является характеристикой взаимодействия, <math>S_2=\pi a^2</math>) находящеюся на расстоянии <math>r</math>, от излучающего тела. Тогда переданный импульс при абсолютно-упругом ударе за время <math>\Delta t</math> будет |
− | <math>(4):\Delta p=\frac{2 m \Delta t V_0 \pi a^2 R^2 I}{r^2}</math>, | + | <math>(4):\Delta p=\frac{2 m \Delta t V_0 2\pi a^2 R^2 I}{r^2}</math>, |
отсюда | отсюда | ||
− | <math>(5):F=\frac{\Delta p}{\Delta t}= | + | <math>(5):F=\frac{\Delta p}{\Delta t}=4\pi m V_0 I\frac{a^2 R^2 }{r^2}=\frac{m V_0 I}{4\pi}\frac{S_1 S_2 }{r^2}</math> |
+ | |||
+ | == '''Задача 2''' == | ||
+ | '''При условиях прошлой задачи, учесть эффект экранирования'''. | ||
+ | |||
+ | '''Решение''' | ||
+ | |||
+ | Если среда, где распространяется излучение, не пустая, присутствует экранирующий эффект, тогда , в соответствии с [[http://tm.spbstu.ru/%D0%A3%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B9%D1%87%D0%B8%D0%B2%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%82%D0%BE%D0%BF%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BE%D0%B1%D0%BB%D0%B0%D0%BA%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B_%22%D0%97%D0%B5%D0%BC%D0%BB%D1%8F_-_%D0%9B%D1%83%D0%BD%D0%B0%22_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C_2 работой]], концентрация отделившихся частиц на расстоянии <math>r</math> запишется как | ||
+ | |||
+ | <math>(6):w=\frac{R^2 I}{r^2 V_0} exp(-n S r ) </math>, где | ||
+ | |||
+ | <math>n=n(r)</math> -концентрация экранирующих тел. | ||
+ | |||
+ | <math>S</math> -площадь поперечного сечения экранирующих тел (в случае сферических тел, полагая их площадь есть <math>4S</math>). | ||
+ | |||
+ | <math>(7):F=\frac{\Delta p}{\Delta t}= \frac{m V_0 I}{4\pi}\frac{S_1 S_2 }{r^2}exp(-\rho S r )=K\frac{ S_1 S_2 }{r^2}exp(-\rho S r )</math> | ||
+ | |||
+ | == '''Задача 3''' == | ||
+ | '''Для испаряющейся с интенсивностью <math>I</math> сферической частицы площадью <math>4S_1</math>, в среде с частицами с концентрацией <math>w</math> и площадью <math>4S</math> написать выражение для созданного ей отталкивающего потенциала на расстоянии r'''. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''Решение''' | ||
+ | Характеристикой испарения, при одинаковой интенсивности является площадь частицы. Использую метод пробной сферической частицы,площадью поверхности <math>2 S_2</math> внесенной в отталкивающее поле (тогда на наблюдателя будет обращена поверхность <math>S_2</math> ), получим связь силы и потенциала: | ||
+ | |||
+ | <math>\varphi=-\int \frac{F}{4 S_2} dr=K S_1 \rho S \left(\frac{exp(-n S r)}{n S r}-Ei(1,n S r)\right)</math> | ||
+ | |||
+ | <math>(8:)\varphi=K S_1\left( \frac{exp(-n S r)}{r}-n S \cdot Ei(1,n S r)\right)</math> | ||
+ | |||
+ | == ''' Задача 4''' == | ||
+ | '''Для однородного шара с концентрацией частиц <math>n </math> найти функцию потенциала.''' | ||
+ | |||
+ | '''Решение''' | ||
+ | По антологии с гравитационным потенциалом можно показать, что на внутреннею точку полый шар не действует. | ||
+ | |||
+ | '''Потенциал на поверхности шара''' | ||
+ | |||
+ | Представим себе, что точка <math>P</math> находится на поверхности шара. Соединим эту точку с центром шара (точка О), полученный радиус-вектор обозначим через <math>r</math> . Радиус-вектор элемента объёма <math>dV</math> будем обозначать буквой <math>r'</math> . Следовательно расстояние между элементом объёма и точкой <math>P</math> , которое мы обозначили греческой буквой <math>\rho</math>, будет иметь вид <math>\rho=\sqrt{r'^2+r^2-2rr'cos\phi}</math> , где <math>\phi</math>-- угол с вершиной в центре шара, образованный радиус-векторами <math>r</math>, . Наконец, объем элементарно малого параллелепипеда со сторонами <math>dr'</math>, <math>r'd\phi</math>, и <math>r'sin\phi dA</math> . Здесь мы введена еще одна степень свободы -- поворот вокруг оси OP на угол <math>dA</math>. | ||
+ | |||
+ | Для бесконечно-малого объёма надо ввести эквиваленту площадь поверхности, равной суммарной площади всех находящихся в нём частиц. | ||
+ | |||
+ | <math>dN=ndV</math> | ||
+ | |||
+ | <math>dS_{ekv}=dN\cdot S=ndVS</math> | ||
+ | |||
+ | Теперь следует проинтегрировать по всем объёмам, чтобы найти суммарный потенциал. | ||
+ | |||
+ | <math>(9):\varphi(r)=K \int_0^R dr'\int_0^{\pi} d\phi\int_0^{2\pi}dA \left(\frac{exp(-ns\rho)}{\rho} - n S Ei(1,nS\rho)\right)nS r'^2sin\phi </math> | ||
+ | |||
+ | Заменим переменную интегрирования <math>\phi</math> на <math>\rho</math>. Определим пределы интегрирования. Очевидно, что вместо 0 и <math>\pi</math> нужно взять <math>К-r'</math> и <math>К+r'</math>, а <math>\rho d\rho=Rr'sin\phi d\phi</math>. | ||
+ | |||
+ | Имеем: | ||
+ | |||
+ | <math>(10):\varphi(r)=2\pi K n S\int_0^R dr' \int_{R-r'}^{R+r'}d\rho\left(\frac{exp(-ns\rho)}{R} r' | ||
+ | - n S \frac{\rho r'}{R} Ei(1,nS\rho)\right)</math> | ||
+ | |||
+ | После интегрирования, получим | ||
+ | |||
+ | <math>(11):</math> | ||
+ | |||
+ | [[Файл: PSI2.png|thumb|left|700px]] | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | <math>nS^2</math> следует читать, как <math>(nS)^2</math> | ||
+ | |||
+ | == '''Задача 5''' == | ||
+ | '''Потенциал во внутренней точке шара''' | ||
+ | |||
+ | '''Решение''' | ||
+ | |||
+ | Проведем через точку сферу так, что она разделит шар на внутренний шар с радиусом <math>r</math> и шаровой слой толщиной <math>R-r</math>. Материальная точка будет взаимодействовать только внутренним шаром, так как шаровой слой, внутреннюю точку не отталкивает. Поэтому радиационная сила в точке направлена от центра шара и равна | ||
+ | |||
+ | <math>(12):F(r)=2\pi \frac{K n S}{r^2}\int_0^r dr' \int_{r-r'}^{r+r'}d\rho\left(\frac{exp(-ns\rho)}{R} r' | ||
+ | - n S \frac{\rho r'}{R} Ei(1,nS\rho)\right)</math> | ||
+ | <math>=\frac{ 2\pi K}{r^2}\cdot\chi(r)</math> | ||
+ | |||
+ | Поскольку <math>F(r)=\frac{d\varphi(r)}{dr}</math> , то для потенциала во внутренней точке шара получим | ||
+ | |||
+ | <math>\frac{d\varphi(r)}{dr}=\frac{2\pi K}{r^2}\chi(r)</math> | ||
+ | |||
+ | <math>d\varphi(r)=2\pi K \int_0^r \frac{\chi(r)}{r^2}dr +C</math>, где <math>C</math> константа интегрирования. <math>C</math> находится из граничного условия <math>V(R)=\varphi(R)</math>, где в правую часть нужно подставить выражение из <math>(11)</math> | ||
+ | |||
+ | Форма получившейся кривой на рисунке ниже | ||
+ | |||
+ | [[Файл: itog2.png|thumb|left|700px]] | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | Выбранные параметры | ||
+ | <math>K=1</math> | ||
+ | |||
+ | <math>n\cdot S=10^{-4}</math> | ||
+ | |||
+ | <math>R=10^{4}</math> | ||
+ | |||
+ | В нуле функция принимает конечное значение. | ||
+ | |||
+ | ==Цифры== | ||
+ | Объём и площадь сферы связаны соотношением <math>V=\frac{2}{3\sqrt{4\pi}}S^{3/2}</math>, масса ледяных пылинок | ||
+ | |||
+ | поэтому <math>m= 0.917 \cdot \frac{2}{3\sqrt{4\pi}}S^{3/2} \approx 0.17 S^{3/2} </math> | ||
+ | |||
+ | Если теперь положить, что радиус системы Земля-Луна на начальных этапах своей эволюции был в 2 раза больше расстояния между Луной и Землёй сегодня (<math>R=7\cdot 10^{10} Sm</math>), а масса была равна суммы масс Земли и Луны, то получим | ||
+ | <math>n=\frac{M}{Vm}=\frac{6.04\cdot 10^{27}}{2.37\cdot10^{32}\cdot 0.17 S^{3/2}}\frac{1}{sm^3}</math> | ||
+ | |||
+ | Если половина площади частиц примерно ровна <math>600 sm^2</math>, что соответствует радиусу 10 см, то получим | ||
+ | |||
+ | <math>n=8.25\cdot 10^{-10}\frac{1}{sm^3}</math>, что примерно соответствует 1 частице в кубе 10х10 метров. | ||
+ | |||
+ | ==Некоторые уравнения== | ||
+ | Для простоты рассматриваем бесстолкновительные системы | ||
− | + | Функция распределения должна удовлетворять кинетическому уравнению Больцмана | |
− | + | <math> | |
+ | \frac{\partial f}{\partial t} | ||
+ | + \mathbf{v}\cdot \frac{\partial f}{\partial \mathbf{r}} | ||
+ | + \mathbf{F}\cdot m\cdot \frac{\partial f}{\partial \mathbf{v}} | ||
+ | = \left. \frac{\partial f}{\partial t} \right|_{\mathrm{coll}} | ||
+ | </math> | ||
− | + | Здесь '''F'''('''r''', ''t'') — поле сил, действующее на частицы в жидкости или газе, а ''m'' — масса частиц. Слагаемое в правой части уравнения добавлено для учёта столкновений между частицами и называется интеграл столкновений. Если оно равно нулю, то частицы не сталкиваются вовсе. | |
− | + | Поэтому | |
− | <math>\ | + | <math> |
+ | \mathbf{v}\cdot \frac{\partial f}{\partial \mathbf{r}} | ||
+ | + \mathbf{F}\cdot m\cdot \frac{\partial f}{\partial \mathbf{v}} | ||
+ | = 0 | ||
+ | </math> | ||
− | + | ==См. Также== | |
+ | * [[Устойчивость протопланетного облака системы "Земля - Луна"| Устойчивость протопланетного облака системы "Земля - Луна". Часть 1]] | ||
+ | * [[Устойчивость протопланетного облака системы "Земля - Луна" часть 2| Устойчивость протопланетного облака системы "Земля - Луна". Часть 2]] | ||
− | + | [[Category: Проект "Земля - Луна"]] | |
+ | [[Category: Студенческие проекты]] |
Текущая версия на 14:34, 13 апреля 2014
Содержание
Задача 1[править]
Пусть имеется тело радиуса
(площадь поверхности )с поверхности которого отделяются частицы. На расстоянии от первого тела находится сферическое тело площадью .Требуется подсчитать силу, с которой это тело взаимодействует с частицей.
Исходим из следующих соображений.
- Все частицы имеют одинаковую массу
- Все частицы отделяются от сферического тела
1) В радиальных направлениях
2) С одинаковой начальной скоростью
3) без ускорения
Решение
Запишем уравнение непрерывности для среды с источником излучения.
,
где
-концентрация частиц,
-Интенсивность испарения сферы
-дельта функция Дирака.
Первое слагаемое в силу стационарности-ноль.
Рассмотрим частичку площадью
, ( площадь поперечного сечения, именно она является характеристикой взаимодействия, ) находящеюся на расстоянии , от излучающего тела. Тогда переданный импульс при абсолютно-упругом ударе за время будет,
отсюда
Задача 2[править]
При условиях прошлой задачи, учесть эффект экранирования.
Решение
Если среда, где распространяется излучение, не пустая, присутствует экранирующий эффект, тогда , в соответствии с [работой], концентрация отделившихся частиц на расстоянии запишется как
, где
-концентрация экранирующих тел.
-площадь поперечного сечения экранирующих тел (в случае сферических тел, полагая их площадь есть ).
Задача 3[править]
Для испаряющейся с интенсивностью
сферической частицы площадью , в среде с частицами с концентрацией и площадью написать выражение для созданного ей отталкивающего потенциала на расстоянии r.
Решение
Характеристикой испарения, при одинаковой интенсивности является площадь частицы. Использую метод пробной сферической частицы,площадью поверхности внесенной в отталкивающее поле (тогда на наблюдателя будет обращена поверхность ), получим связь силы и потенциала:
Задача 4[править]
Для однородного шара с концентрацией частиц
найти функцию потенциала.Решение По антологии с гравитационным потенциалом можно показать, что на внутреннею точку полый шар не действует.
Потенциал на поверхности шара
Представим себе, что точка
находится на поверхности шара. Соединим эту точку с центром шара (точка О), полученный радиус-вектор обозначим через . Радиус-вектор элемента объёма будем обозначать буквой . Следовательно расстояние между элементом объёма и точкой , которое мы обозначили греческой буквой , будет иметь вид , где -- угол с вершиной в центре шара, образованный радиус-векторами , . Наконец, объем элементарно малого параллелепипеда со сторонами , , и . Здесь мы введена еще одна степень свободы -- поворот вокруг оси OP на угол .Для бесконечно-малого объёма надо ввести эквиваленту площадь поверхности, равной суммарной площади всех находящихся в нём частиц.
Теперь следует проинтегрировать по всем объёмам, чтобы найти суммарный потенциал.
Заменим переменную интегрирования
на . Определим пределы интегрирования. Очевидно, что вместо 0 и нужно взять и , а .Имеем:
После интегрирования, получим
следует читать, как
Задача 5[править]
Потенциал во внутренней точке шара
Решение
Проведем через точку сферу так, что она разделит шар на внутренний шар с радиусом
и шаровой слой толщиной . Материальная точка будет взаимодействовать только внутренним шаром, так как шаровой слой, внутреннюю точку не отталкивает. Поэтому радиационная сила в точке направлена от центра шара и равна
Поскольку
, то для потенциала во внутренней точке шара получим
, где константа интегрирования. находится из граничного условия , где в правую часть нужно подставить выражение из
Форма получившейся кривой на рисунке ниже
Выбранные параметры
В нуле функция принимает конечное значение.
Цифры[править]
Объём и площадь сферы связаны соотношением
, масса ледяных пылинокпоэтому
Если теперь положить, что радиус системы Земля-Луна на начальных этапах своей эволюции был в 2 раза больше расстояния между Луной и Землёй сегодня (
), а масса была равна суммы масс Земли и Луны, то получимЕсли половина площади частиц примерно ровна
, что соответствует радиусу 10 см, то получим, что примерно соответствует 1 частице в кубе 10х10 метров.
Некоторые уравнения[править]
Для простоты рассматриваем бесстолкновительные системы
Функция распределения должна удовлетворять кинетическому уравнению Больцмана
Здесь F(r, t) — поле сил, действующее на частицы в жидкости или газе, а m — масса частиц. Слагаемое в правой части уравнения добавлено для учёта столкновений между частицами и называется интеграл столкновений. Если оно равно нулю, то частицы не сталкиваются вовсе.
Поэтому