Кристаллические решетки — различия между версиями
м |
|||
| (не показано 13 промежуточных версий 2 участников) | |||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| + | [[ТМ|Кафедра ТМ]] > [[Научный справочник]] > [[Кристаллические решетки]] <HR> | ||
| + | |||
== Общие сведения == | == Общие сведения == | ||
| − | Кристаллической решеткой называется множество точек | + | Кристаллической решеткой называется множество математических точек, |
расположение которых в пространстве характеризуется периодической симметрией. | расположение которых в пространстве характеризуется периодической симметрией. | ||
При таком определении кристаллическая решетка является чисто математическим (геометрическим) объектом. Часто, однако, под кристаллической решеткой понимается также физический объект (кристалл), структурные элементы которого (атомы, молекулы, частицы, зерна) периодически упорядочены в пространстве (по крайней мере, в недеформированном состоянии кристалла). | При таком определении кристаллическая решетка является чисто математическим (геометрическим) объектом. Часто, однако, под кристаллической решеткой понимается также физический объект (кристалл), структурные элементы которого (атомы, молекулы, частицы, зерна) периодически упорядочены в пространстве (по крайней мере, в недеформированном состоянии кристалла). | ||
| − | Приведем более строгое математическое определение трехмерной кристаллической решетки, | + | Приведем более строгое математическое определение трехмерной кристаллической решетки, |
| − | может быть распространено на пространство произвольной | + | при необходимости оно может быть очевидным образом распространено на пространство произвольной |
размерности, в том числе на одно- и двухмерные пространства. | размерности, в том числе на одно- и двухмерные пространства. | ||
| − | '''Кристаллической решеткой''' называется множество точек (узлов) в | + | |
| − | трехмерном пространстве, для которого существует такая тройка | + | :'''''Кристаллической решеткой''' называется множество точек (узлов) в трехмерном пространстве, для которого существует такая тройка некомпланарных векторов, что смещение этого множества на любой из них есть тождественное преобразование.'' |
| − | некомпланарных векторов, что смещение этого множества на любой из | + | |
| − | них есть тождественное преобразование. Очевидно, что подобное | + | Очевидно, что подобное |
множество должно быть неограниченным в пространстве. Если | множество должно быть неограниченным в пространстве. Если | ||
указанная тройка векторов существует, то она может быть выбрана не | указанная тройка векторов существует, то она может быть выбрана не | ||
единственным образом. В качестве основной тройки выбирается такая, | единственным образом. В качестве основной тройки выбирается такая, | ||
чтобы параллелепипед, построенный на ее векторах, имел минимальный | чтобы параллелепипед, построенный на ее векторах, имел минимальный | ||
| − | объем. Эти векторы называются основными, а параллелепипед — | + | объем. Эти векторы называются '''основными''', а параллелепипед — |
| − | '''элементарной ячейкой'''. Основные векторы также определены | + | '''элементарной ячейкой'''.<REF>В случае узлов, находящихся на границе ячейки, |
| + | требуется следующее уточнение: элементарной ячейкой называется | ||
| + | объединение внутренней области соответствующего параллелепипеда с | ||
| + | такой частью его границы, чтобы перемещая ее на основные векторы | ||
| + | можно было заполнить все пространство без перекрытий.</REF> | ||
| + | Основные векторы также определены | ||
неоднозначно, однако всегда можно выделить какую-нибудь одну | неоднозначно, однако всегда можно выделить какую-нибудь одну | ||
тройку из возможных. | тройку из возможных. | ||
| Строка 24: | Строка 31: | ||
одного узла композициями перемещений на основные векторы, | одного узла композициями перемещений на основные векторы, | ||
называется '''решеткой Браве''' данной кристаллической решетки. Решетка, | называется '''решеткой Браве''' данной кристаллической решетки. Решетка, | ||
| − | совпадающая со своей решеткой Браве, называется [[простой]], не | + | совпадающая со своей решеткой Браве, называется [[Простые кристаллические решетки|простой]], не |
| − | совпадающая — [[сложной]]. Сложная решетка состоит из нескольких | + | совпадающая — [[Сложные кристаллические решетки|сложной]]. Сложная решетка состоит из нескольких |
вставленных друг в друга одинаковых решеток Браве. Иными словами, | вставленных друг в друга одинаковых решеток Браве. Иными словами, | ||
простой называется решетка, для которой перемещение на вектор, | простой называется решетка, для которой перемещение на вектор, | ||
соединяющий любые два узла, есть тождественное преобразование. | соединяющий любые два узла, есть тождественное преобразование. | ||
Элементарная ячейка простой решетки содержит один узел, сложной | Элементарная ячейка простой решетки содержит один узел, сложной | ||
| − | — несколько. | + | — несколько. Если решетке соответствует плотная упаковка шаров, |
| + | то такую решетку называют '''плотноупакованной'''. | ||
Рассмотрим некоторый узел решетки, который будем называть | Рассмотрим некоторый узел решетки, который будем называть | ||
| Строка 45: | Строка 53: | ||
ряде случаев ограничиваться одной или двумя сферами. | ряде случаев ограничиваться одной или двумя сферами. | ||
| − | == Одномерные == | + | == Примеры кристаллических решеток == |
| + | |||
| + | === Одномерные === | ||
* [[Простая цепочка|Цепочка]] | * [[Простая цепочка|Цепочка]] | ||
| − | == Двухмерные == | + | === Двухмерные === |
* [[Треугольная кристаллическая решетка|Треугольная]] | * [[Треугольная кристаллическая решетка|Треугольная]] | ||
* [[Квадратная кристаллическая решетка|Квадратная]] | * [[Квадратная кристаллическая решетка|Квадратная]] | ||
* [[Шестиугольная кристаллическая решетка|Шестиугольная (графена)]] | * [[Шестиугольная кристаллическая решетка|Шестиугольная (графена)]] | ||
| − | == Трехмерные == | + | === Трехмерные === |
* [[ГЦК]] | * [[ГЦК]] | ||
* [[ОЦК]] | * [[ОЦК]] | ||
| Строка 59: | Строка 69: | ||
* [[ГПУ]] | * [[ГПУ]] | ||
* [[Кристаллическая решетка алмаза|Алмаза]] | * [[Кристаллическая решетка алмаза|Алмаза]] | ||
| + | |||
| + | == Примечания == | ||
| + | <references> </references> | ||
| + | |||
| + | == См. также == | ||
| + | |||
| + | *[[Проект "Кристалл"]] | ||
| + | |||
| + | == Литература == | ||
| + | |||
| + | *[[А.М. Кривцов]]. Теоретическая механика. [[Упругие свойства одноатомных и двухатомных кристаллов]]: учеб. пособие. - СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2009. - 126 c. | ||
| + | [[Category:Научный справочник]] | ||
[[Category: Кристаллические решетки]] | [[Category: Кристаллические решетки]] | ||
Текущая версия на 02:41, 30 сентября 2013
Кафедра ТМ > Научный справочник > Кристаллические решеткиСодержание
Общие сведения[править]
Кристаллической решеткой называется множество математических точек, расположение которых в пространстве характеризуется периодической симметрией. При таком определении кристаллическая решетка является чисто математическим (геометрическим) объектом. Часто, однако, под кристаллической решеткой понимается также физический объект (кристалл), структурные элементы которого (атомы, молекулы, частицы, зерна) периодически упорядочены в пространстве (по крайней мере, в недеформированном состоянии кристалла).
Приведем более строгое математическое определение трехмерной кристаллической решетки, при необходимости оно может быть очевидным образом распространено на пространство произвольной размерности, в том числе на одно- и двухмерные пространства.
- Кристаллической решеткой называется множество точек (узлов) в трехмерном пространстве, для которого существует такая тройка некомпланарных векторов, что смещение этого множества на любой из них есть тождественное преобразование.
Очевидно, что подобное множество должно быть неограниченным в пространстве. Если указанная тройка векторов существует, то она может быть выбрана не единственным образом. В качестве основной тройки выбирается такая, чтобы параллелепипед, построенный на ее векторах, имел минимальный объем. Эти векторы называются основными, а параллелепипед — элементарной ячейкой.[1] Основные векторы также определены неоднозначно, однако всегда можно выделить какую-нибудь одну тройку из возможных.
Совокупность узлов, которая может быть получена из некоторого одного узла композициями перемещений на основные векторы, называется решеткой Браве данной кристаллической решетки. Решетка, совпадающая со своей решеткой Браве, называется простой, не совпадающая — сложной. Сложная решетка состоит из нескольких вставленных друг в друга одинаковых решеток Браве. Иными словами, простой называется решетка, для которой перемещение на вектор, соединяющий любые два узла, есть тождественное преобразование. Элементарная ячейка простой решетки содержит один узел, сложной — несколько. Если решетке соответствует плотная упаковка шаров, то такую решетку называют плотноупакованной.
Рассмотрим некоторый узел решетки, который будем называть исходным. Сферы с центром в исходном узле и проходящие через другие узлы решетки, называются координационными. Их принято нумеровать в порядке возрастания радиуса, причем первой считается координационная сфера, на которой находятся узлы, ближайшие к исходному. Координационным числом называется число узлов, лежащих на координационной сфере. Если номер сферы не указывается, то подразумевается первая, а координационное число дает число узлов, соседствующих с исходным. Часто предполагается, что межатомное взаимодействие достаточно быстро убывает на расстоянии, что позволяет рассматривать конечное число координационных сфер, а в ряде случаев ограничиваться одной или двумя сферами.
Примеры кристаллических решеток[править]
Одномерные[править]
Двухмерные[править]
Трехмерные[править]
Примечания[править]
- ↑ В случае узлов, находящихся на границе ячейки, требуется следующее уточнение: элементарной ячейкой называется объединение внутренней области соответствующего параллелепипеда с такой частью его границы, чтобы перемещая ее на основные векторы можно было заполнить все пространство без перекрытий.
См. также[править]
Литература[править]
- А.М. Кривцов. Теоретическая механика. Упругие свойства одноатомных и двухатомных кристаллов: учеб. пособие. - СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2009. - 126 c.
