Моделирование удара хлыста — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
(→‎Математическая модель)
 
(не показаны 24 промежуточные версии 2 участников)
Строка 6: Строка 6:
  
 
'''Семестр:''' осень 2023
 
'''Семестр:''' осень 2023
 +
  
 
==Постановка задачи==
 
==Постановка задачи==
 
Необходимо смоделировать удар, закрепленного с левой стороны, гибкого хлыста в двумерной постановке.  
 
Необходимо смоделировать удар, закрепленного с левой стороны, гибкого хлыста в двумерной постановке.  
−
Хлыст состоит из частиц n-ого количества частиц различной массы и n-1 соединенных пружин, имеющих одинаковую жесткость.
+
Хлыст состоит из n частиц и n-1 соединенных пружин, имеющих одинаковую жесткость.
  
 
==Математическая модель==
 
==Математическая модель==
−
 
−
[[File:656569|thumb|Схема модели]]
 
  
 
Начальные условия:  
 
Начальные условия:  
 
<math>
 
<math>
−
   m\underline{\ddot{r}}_i(t)=\underline{F}_{i-1}(t)+\underline{F}_{i+1}+m_ig\underline{j}\\
+
    
 
   \underline{r}_i(0)=\underline{r}_i^0,~\underline{v}_i(0)=v_i^0~~~i=1,\ldots,n
 
   \underline{r}_i(0)=\underline{r}_i^0,~\underline{v}_i(0)=v_i^0~~~i=1,\ldots,n
 
</math>
 
</math>
  
−
Запишем уравнение движения для каждой из материальных точек::
+
Для двумерной задачи будем использовать декартову систему координат, тогда: <math>
 +
\underline{r} = x\underline{i} + y\underline{j}; \quad \underline{\dot{r}} = \upsilon\underline{i} + u\underline{j} \
 +
</math>
 +
 
 +
Запишем уравнение движения для каждой из материальных точек:
  
 
<math>
 
<math>
−
   \underline{i}, \underline{j}, \underline{k}
+
   m\underline{\ddot{r}}_i(t)=\underline{F}_{i-1}(t)+\underline{F}_{i+1}(t)+m_ig\underline{j}, \\
−
</math>
+
 
 +
</math> где
 +
 
 +
<math> 
 +
\underline{F}_{i-1}(t), \underline{F}_{i+1}(t)\
 +
 
 +
</math>
 +
- силы упругости действующие на <math>i</math>-ую частицу со стороны соседних точек;
  
−
где
+
<math>
−
<math>
+
m_ig\underline{j}\\  
−
  \underline{F}_{i-1}, \underline{F}_{i+1}\\
 
−
</math> - силы упругости действующие на <math>i</math>-ую частицу со стороны <math>i-1</math> и <math>i+1</math> соответственно;
 
  
−
<math>
 
−
  m_ig\underline{j}\\
 
 
</math> - сила тяжести, действующая на <math>i</math>-ую частицу;
 
</math> - сила тяжести, действующая на <math>i</math>-ую частицу;
  
−
Сила упругости, возникающая в пружине соединяющей частицу <math>i</math> и <math>i+1</math>, вычисляется по следующей формуле:
+
Чтобы узнать, как материальные точки взаимодействуют друг с другом, найдем значения сил упругостей пружин:
 +
 +
Сила упругости для пружины, соединяющей <math>i</math>-ую и <math>(i+1)</math>-ую частицы:
  
 
<math>
 
<math>
−
   \underline{F}_{R}= -(||\underline{r}_ {i+1}-\underline{r}_{i}|| - \frac{l}{n})c \frac{(\underline{r}_{i+1}-\underline{r}_{i})}{||\underline{r}_{i+1}-\underline{r}_{i}||}
+
   \underline{F}_{R}= -(||\underline{r}_ {i+1}-\underline{r}_{i}|| - \frac{l}{n})k \frac{(\underline{r}_{i+1}-\underline{r}_{i})}{||\underline{r}_{i+1}-\underline{r}_{i}||}
−
</math>,  где <math>c</math> - коэффициент жесткости пружины.
 
  
−
Будем работать в декартовой системе координат: <math>
+
</math>,  где <math>k</math> - коэффициент жесткости пружины.
−
\underline{r} = x\underline{i} + y\underline{j} \\
 
−
\underline{\dot{r}} = \upsilon\underline{i} + u\underline{j} \\
 
  
−
</math>
 
  
−
Для хорошей сходимости задач механики дискретных сред в задачах необходимо привести физические величины к безразмерным:
+
Обезразмеривание:
 
<math>
 
<math>
−
\widetilde{x}_i = \frac{x_i}{l}; \widetilde{y}_i = \frac{y_i}{l}; \widetilde{t}_i = \frac{t_i}{\tau}; \widetilde{\upsilon}_i = \frac{d\widetilde{x}_i}{d\widetilde{t}_i} = \frac{dx_i}{dt_i} \frac{l}{\tau};\widetilde{u}_i = \frac{d\widetilde{y}_i}{d\widetilde{t}_i} = \frac{dy_i}{dt_i} \frac{l}{\tau};
+
\widetilde{x}_i = \frac{x_i}{l}; \widetilde{y}_i = \frac{y_i}{l}; \widetilde{t}_i = \frac{t_i}{\tau}; \widetilde{\upsilon}_i = \frac{d\widetilde{x}_i}{d\widetilde{t}_i} = \frac{dx_i}{dt_i} \frac{l}{\tau};\widetilde{u}_i = \frac{d\widetilde{y}_i}{d\widetilde{t}_i} = \frac{dy_i}{dt_i} \frac{l}{\tau},
 +
 
 
</math>
 
</math>
 +
где <math>\tau =  2\pi \sqrt{\frac{m_i}{k}}</math>
 +
 +
Полученные уравнения движения будем интегрировать согласно методу Верле.
  
−
Интегрирование уравнений движения осуществляется при помощи метода Верле.
+
==Результаты моделирования==
 +
Схему хлыста, результаты моделирования и код программы, выполненный на языке C++ можно посмотреть на GitHub:
 +
https://github.com/Dumplings612/-whip-blow

Текущая версия на 21:27, 14 января 2024

Курсовой проект по Механике дискретных сред

Исполнитель: Еремеева Наталья

Группа: 5030103/00101

Семестр: осень 2023


Постановка задачи[править]

Необходимо смоделировать удар, закрепленного с левой стороны, гибкого хлыста в двумерной постановке. Хлыст состоит из n частиц и n-1 соединенных пружин, имеющих одинаковую жесткость.

Математическая модель[править]

Начальные условия: [math] \underline{r}_i(0)=\underline{r}_i^0,~\underline{v}_i(0)=v_i^0~~~i=1,\ldots,n [/math]

Для двумерной задачи будем использовать декартову систему координат, тогда: [math] \underline{r} = x\underline{i} + y\underline{j}; \quad \underline{\dot{r}} = \upsilon\underline{i} + u\underline{j} \ [/math]

Запишем уравнение движения для каждой из материальных точек:

[math] m\underline{\ddot{r}}_i(t)=\underline{F}_{i-1}(t)+\underline{F}_{i+1}(t)+m_ig\underline{j}, \\ [/math] где

[math] \underline{F}_{i-1}(t), \underline{F}_{i+1}(t)\ [/math] - силы упругости действующие на [math]i[/math]-ую частицу со стороны соседних точек;

[math] m_ig\underline{j}\\ [/math] - сила тяжести, действующая на [math]i[/math]-ую частицу;

Чтобы узнать, как материальные точки взаимодействуют друг с другом, найдем значения сил упругостей пружин:

Сила упругости для пружины, соединяющей [math]i[/math]-ую и [math](i+1)[/math]-ую частицы:

[math] \underline{F}_{R}= -(||\underline{r}_ {i+1}-\underline{r}_{i}|| - \frac{l}{n})k \frac{(\underline{r}_{i+1}-\underline{r}_{i})}{||\underline{r}_{i+1}-\underline{r}_{i}||} [/math], где [math]k[/math] - коэффициент жесткости пружины.


Обезразмеривание: [math] \widetilde{x}_i = \frac{x_i}{l}; \widetilde{y}_i = \frac{y_i}{l}; \widetilde{t}_i = \frac{t_i}{\tau}; \widetilde{\upsilon}_i = \frac{d\widetilde{x}_i}{d\widetilde{t}_i} = \frac{dx_i}{dt_i} \frac{l}{\tau};\widetilde{u}_i = \frac{d\widetilde{y}_i}{d\widetilde{t}_i} = \frac{dy_i}{dt_i} \frac{l}{\tau}, [/math] где [math]\tau = 2\pi \sqrt{\frac{m_i}{k}}[/math]

Полученные уравнения движения будем интегрировать согласно методу Верле.

Результаты моделирования[править]

Схему хлыста, результаты моделирования и код программы, выполненный на языке C++ можно посмотреть на GitHub: https://github.com/Dumplings612/-whip-blow

Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=Моделирование_удара_хлыста&oldid=60676»