Моделирование падения сложенной вдвое цепочки — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «'''''Курсовой проект по Введение в механику дискретных сред|Введению в механику дискретн…»)
 
(→‎Исходный код программы)
 
(не показано 8 промежуточных версий этого же участника)
Строка 8: Строка 8:
  
 
==Постановка задачи==
 
==Постановка задачи==
−
Имеется сложенная вдвое цепочка, находящаяся в статическом равновесии. Один из её концов открепляется. Требутся смоделировать падение цепочки, состоящей из частиц, имеющих линейные упругие связи и находящейся под воздействем силы тяжести. Исследовать зависимость ускорения крайней свободной частицы от времени и сравнить с ускорением свободно падающей частицы.
+
Сложенная вдвое цепочка состоит из частиц, имеющих линейные упругие связи, и находится в статическом равновесии.
 +
Требутся смоделировать падение под действем силы тяжести одного из концов цепочки и исследовать зависимость ускорения крайней свободной частицы от времени и сравнить с ускорением свободно падающей частицы.
 +
 
 +
==Математическая модель==
 +
 
 +
Уравнение динамики:
 +
 
 +
<math>
 +
  m\underline{\ddot{r}}_i(t)=\underline{F}_{R_1}+\underline{F}_{R_2} + \underline{F}_{g}\\
 +
  \underline{r}_i(0)=\underline{r}_i^0,~\underline{v}_i(0)=0~~~i=1,\ldots,n
 +
</math>
 +
 
 +
 
 +
где
 +
<math>
 +
  \underline{F}_{R_1}, \underline{F}_{R_2}\\
 +
</math> - силы упругости действующие на <math>i</math>-ую частицу со стороны <math>i-1</math> и <math>i+1</math> соответственно;
 +
 
 +
<math>
 +
  \underline{F}_{g} = -mg\underline{k} \\
 +
</math> - сила тяжести;
 +
 
 +
Сила упругости, возникающая в пружине соединяющей частицу 1 и 2, вычисляется по следующей формуле:
 +
 
 +
<math>
 +
  \underline{F}_{R}= c(||\underline{r}_2-\underline{r}_1|| - l_0)\frac{(\underline{r}_2-\underline{r}_1)}{||\underline{r}_2-\underline{r}_1||}
 +
</math>,  где <math>c</math> - коэффициент жесткости пружины.
 +
 
 +
Обезразмеренное уравнение имеет вид:
 +
 
 +
<math>
 +
  \underline{\ddot{r}}_i(t)= \frac{cl_0}{mg}(||\underline{r}_{i+1}-\underline{r}_i|| - 1)\frac{(\underline{r}_{i+1}-\underline{r}_i)}{||\underline{r}_{i+1}-\underline{r}_i||} + \frac{cl_0}{mg}(||\underline{r}_{i-1}-\underline{r}_i|| - 1)\frac{(\underline{r}_{i-1}-\underline{r}_i)}{||\underline{r}_{i-1}-\underline{r}_i||} - \underline{k}\\
 +
 
 +
</math>
  
 
==Результаты==
 
==Результаты==
−
Связь координаты крайней частицы и координаты свободно падающей частицы линейна.
+
Построен график зависомости ускорения правой частицы от времени. Максимальное ускорение наблюдается в начале и в момент распрямления цепочки.
−
Обгон крайней частицы свободно падающей частицы происходит в начальный момент времени в результате сильного натяжения между частицами цепочки.
+
Обгон крайней частицы отпущенного конца свободно падающей частицы происходит в начальный момент времени в результате сильного натяжения между частицами цепочки. Связь координаты крайней частицы и координаты свободно падающей частицы линейна.
  
 
==Исходный код программы==
 
==Исходный код программы==

Текущая версия на 11:58, 25 января 2023

Курсовой проект по Введению в механику дискретных сред

Исполнитель: Быкова Софья

Группа: 5030103/90101

Семестр: осень 2022

Постановка задачи[править]

Сложенная вдвое цепочка состоит из частиц, имеющих линейные упругие связи, и находится в статическом равновесии. Требутся смоделировать падение под действем силы тяжести одного из концов цепочки и исследовать зависимость ускорения крайней свободной частицы от времени и сравнить с ускорением свободно падающей частицы.

Математическая модель[править]

Уравнение динамики:

[math] m\underline{\ddot{r}}_i(t)=\underline{F}_{R_1}+\underline{F}_{R_2} + \underline{F}_{g}\\ \underline{r}_i(0)=\underline{r}_i^0,~\underline{v}_i(0)=0~~~i=1,\ldots,n [/math]


где [math] \underline{F}_{R_1}, \underline{F}_{R_2}\\ [/math] - силы упругости действующие на [math]i[/math]-ую частицу со стороны [math]i-1[/math] и [math]i+1[/math] соответственно;

[math] \underline{F}_{g} = -mg\underline{k} \\ [/math] - сила тяжести;

Сила упругости, возникающая в пружине соединяющей частицу 1 и 2, вычисляется по следующей формуле:

[math] \underline{F}_{R}= c(||\underline{r}_2-\underline{r}_1|| - l_0)\frac{(\underline{r}_2-\underline{r}_1)}{||\underline{r}_2-\underline{r}_1||} [/math], где [math]c[/math] - коэффициент жесткости пружины.

Обезразмеренное уравнение имеет вид:

[math] \underline{\ddot{r}}_i(t)= \frac{cl_0}{mg}(||\underline{r}_{i+1}-\underline{r}_i|| - 1)\frac{(\underline{r}_{i+1}-\underline{r}_i)}{||\underline{r}_{i+1}-\underline{r}_i||} + \frac{cl_0}{mg}(||\underline{r}_{i-1}-\underline{r}_i|| - 1)\frac{(\underline{r}_{i-1}-\underline{r}_i)}{||\underline{r}_{i-1}-\underline{r}_i||} - \underline{k}\\ [/math]

Результаты[править]

Построен график зависомости ускорения правой частицы от времени. Максимальное ускорение наблюдается в начале и в момент распрямления цепочки. Обгон крайней частицы отпущенного конца свободно падающей частицы происходит в начальный момент времени в результате сильного натяжения между частицами цепочки. Связь координаты крайней частицы и координаты свободно падающей частицы линейна.

Исходный код программы[править]

Исходный код программы в MATLAB можно найти на GitHub:

https://github.com

Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=Моделирование_падения_сложенной_вдвое_цепочки&oldid=59870»