Моделирование удара шарика об стенку — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
(→‎Результаты моделирования)
(→‎Результаты моделирования)
 
(не показано 20 промежуточных версий 7 участников)
Строка 40: Строка 40:
  
 
<math>
 
<math>
−
   \underline{F}_{R}= -(||\underline{r}_2-\underline{r}_1|| - l_0)k_R
+
   \underline{F}_{R}= -(||\underline{r}_2-\underline{r}_1|| - l_0)k_R \frac{(\underline{r}_2-\underline{r}_1)}{||\underline{r}_2-\underline{r}_1||}
 
</math>,  где <math>k_R</math> - коэффициент жесткости пружины.
 
</math>,  где <math>k_R</math> - коэффициент жесткости пружины.
  
Строка 46: Строка 46:
  
 
<math>
 
<math>
−
   \underline{F}_{D}= (\underline{v}_2-\underline{v}_1)\cdot\frac{\underline{r}_2-\underline{r}_1}{||\underline{r}_2-\underline{r}_1||}k_D
+
   \underline{F}_{D}= (\underline{v}_2-\underline{v}_1)\cdot\frac{\underline{r}_2-\underline{r}_1}{||\underline{r}_2-\underline{r}_1||}k_D\frac{(\underline{r}_2-\underline{r}_1)}{||\underline{r}_2-\underline{r}_1||}
 
</math>, где <math>k_D</math> - коэффициент демпфирования пружины.
 
</math>, где <math>k_D</math> - коэффициент демпфирования пружины.
  
Строка 60: Строка 60:
 
   \underline{F}_{Wall}=-\nabla \Pi(r)
 
   \underline{F}_{Wall}=-\nabla \Pi(r)
 
</math>,  где  <math>\Pi(r)=4\varepsilon[(\frac{a}{r})^{12}-(\frac{a}{r})^6]</math>
 
</math>,  где  <math>\Pi(r)=4\varepsilon[(\frac{a}{r})^{12}-(\frac{a}{r})^6]</math>
 +
 +
Интегрирование уравнений движения осуществляется при помощи метода Верле.
  
 
==Результаты моделирования==
 
==Результаты моделирования==
−
[[File:modeling2.gif]]
+
Результаты моделирования и исходный код можно посмотреть на GitHub:
 +
https://github.com/DmitryPashkovsky/balloon_modeling_2D
 +
 
 +
В первом случае начальная скорость (-3.65, 0.0), а начальное положение (12.0, 10.0).
 +
 
 +
[[File:Experiment_1.gif]]
 +
 
 +
Во втором случае начальная скорость (-3.65, -1.5), а начальное положение (12.0, 15.0).
 +
 
 +
[[File:Experiment_2.gif]]

Текущая версия на 11:03, 20 января 2022

Курсовой проект по Механике дискретных сред

Исполнитель: Пашковский Дмитрий

Группа: 5030103/80101

Семестр: осень 2021

Постановка задачи[править]

Требуется смоделировать удар воздушного шарика о твердую стенку в двумерной постановке. Воздушный шарик представляет из себя оболочку, состоящую из материальный точек, каждая из которых соединена пружиной. Отскакивание воздушного шара от стенки моделируется при помощи потенциала Ленарда-Джонса.

Математическая модель[править]

Уравнение движение для каждой из материальных точек записывается следующим образом:

[math] m\underline{\ddot{x}}_i(t)=\underline{F}_{R_1}+\underline{F}_{R_2}+\underline{F}_{D_1}+\underline{F}_{D_2}+\underline{P}+\underline{F}_{Wall}\\ \underline{x}_i(0)=\underline{x}_i^0,~\underline{v}_i(0)=v_i^0~~~i=1,\ldots,n [/math]


где [math] \underline{F}_{R_1}, \underline{F}_{R_2}\\ [/math] - силы упругости действующие на [math]i[/math]-ую частицу со стороны [math]i-1[/math] и [math]i+1[/math] соответственно;

[math] \underline{F}_{D_1},\underline{F}_{D_2}\\ [/math] - силы демпфирования пружины действующие на [math]i[/math]-ую частицу со стороны [math]i-1[/math] и [math]i+1[/math] соответственно;

[math] \underline{P} [/math] - давление создаваемое газом;

[math] \underline{F}_{Wall}\\ [/math] - сила взаимодействия между воздушным шаром и стеной;

Сила упругости, возникающая в пружине соединяющей частицу 1 и 2, вычисляется по следующей формуле:

[math] \underline{F}_{R}= -(||\underline{r}_2-\underline{r}_1|| - l_0)k_R \frac{(\underline{r}_2-\underline{r}_1)}{||\underline{r}_2-\underline{r}_1||} [/math], где [math]k_R[/math] - коэффициент жесткости пружины.

Сила демпфирования:

[math] \underline{F}_{D}= (\underline{v}_2-\underline{v}_1)\cdot\frac{\underline{r}_2-\underline{r}_1}{||\underline{r}_2-\underline{r}_1||}k_D\frac{(\underline{r}_2-\underline{r}_1)}{||\underline{r}_2-\underline{r}_1||} [/math], где [math]k_D[/math] - коэффициент демпфирования пружины.

Давление:

[math] \underline{P}=\frac{1}{V}l_{12} P \underline{n} [/math], где [math] V [/math] - актуальный объем шара, [math] l_{12}[/math] - актуальная длина пружина, [math] P [/math] - модуль давления, [math] \underline{n}[/math] - нормаль к пружине, направленная наружу.

Взаимодействие шара со стеной:

[math] \underline{F}_{Wall}=-\nabla \Pi(r) [/math], где [math]\Pi(r)=4\varepsilon[(\frac{a}{r})^{12}-(\frac{a}{r})^6][/math]

Интегрирование уравнений движения осуществляется при помощи метода Верле.

Результаты моделирования[править]

Результаты моделирования и исходный код можно посмотреть на GitHub: https://github.com/DmitryPashkovsky/balloon_modeling_2D

В первом случае начальная скорость (-3.65, 0.0), а начальное положение (12.0, 10.0).

Experiment 1.gif

Во втором случае начальная скорость (-3.65, -1.5), а начальное положение (12.0, 15.0).

Experiment 2.gif

Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=Моделирование_удара_шарика_об_стенку&oldid=59059»