Моделирование упругого шарика об стенку — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
(→‎Математическая модель)
 
(не показана 1 промежуточная версия этого же участника)
Строка 10: Строка 10:
 
Требуется смоделировать удар воздушного шарика о твердую стенку в двумерной постановке. Воздушный шарик представляет из себя оболочку, состоящую из материальный точек, каждая из которых соединена пружиной.
 
Требуется смоделировать удар воздушного шарика о твердую стенку в двумерной постановке. Воздушный шарик представляет из себя оболочку, состоящую из материальный точек, каждая из которых соединена пружиной.
 
Отскакивание воздушного шара от стенки моделируется при помощи потенциала Ленарда-Джонса.
 
Отскакивание воздушного шара от стенки моделируется при помощи потенциала Ленарда-Джонса.
 +
 +
==Математическая модель==
 +
 +
<math>
 +
  m\underline{\ddot{x}}_i(t)=\underline{F}_{R_1}+\underline{F}_{R_2}+\underline{F}_{D_1}+\underline{F}_{D_2}+\underline{P}+\underline{F}_{Wall}\\
 +
  \underline{x}_i(0)=\underline{x}_i^0,~\underline{v}_i(0)=v_i^0~~~i=1,\ldots,n
 +
</math>
 +
 +
 +
где
 +
<math>
 +
  \underline{F}_{R_1}, \underline{F}_{R_2}\\
 +
</math> - силы упругости действующие на <math>i</math>-ую частицу со стороны <math>i-1</math> и <math>i+1</math> соответственно;
 +
 +
<math>
 +
  \underline{F}_{D_1},\underline{F}_{D_2}\\
 +
</math> - силы демпфирования пружины действующие на <math>i</math>-ую частицу со стороны <math>i-1</math> и <math>i+1</math> соответственно;
 +
 +
<math>
 +
  \underline{P}
 +
</math> - давление создаваемое газом;
 +
 +
<math>
 +
\underline{F}_{Wall}\\
 +
</math> - сила взаимодействия между воздушным шаром и стеной;
 +
 +
Сила упругости, возникающая в пружине соединяющей частицу 1 и 2, вычисляется по следующей формуле:
 +
 +
<math>
 +
  \underline{F}_{R}= -(||\underline{r}_2-\underline{r}_1|| - l_0)k_R \frac{(\underline{r}_2-\underline{r}_1)}{||\underline{r}_2-\underline{r}_1||}
 +
</math>,  где <math>k_R</math> - коэффициент жесткости пружины.
 +
 +
Сила демпфирования:
 +
 +
<math>
 +
  \underline{F}_{D}= (\underline{v}_2-\underline{v}_1)\cdot\frac{\underline{r}_2-\underline{r}_1}{||\underline{r}_2-\underline{r}_1||}k_D\frac{(\underline{r}_2-\underline{r}_1)}{||\underline{r}_2-\underline{r}_1||}
 +
</math>, где <math>k_D</math> - коэффициент демпфирования пружины.
 +
 +
Давление рассчитывается по следующей формуле:
 +
 +
<math>P = k(\frac{V_0}{V} - 1)</math>
 +
 +
Площадь шара вычисляется при помощи формулы площади Гаусса, позволяющей вычислить площадь произвольного многоугольника:
 +
 +
<math>\begin{align}
 +
\mathbf{S} &= \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n-1} x_i y_{i+1} + x_n y_1 - \sum_{i=1}^{n-1} x_{i+1} y_i - x_1 y_n \right| = \\
 +
            &= \frac{1}{2} |x_1 y_2 + x_2 y_3 + \dots + x_{n-1} y_n + x_n y_1 - x_2 y_1 - x_3 y_2 - \dots - x_n y_{n-1} - x_1 y_n|,
 +
\end{align}</math>
 +
 +
Взаимодействие частиц со стенкой реализовано с помощью потенциала Леннарда-Джонса:
 +
 +
<math>
 +
U(r) = 4\varepsilon \left[ \left(\frac{\sigma}{r}\right)^{12} - \left(\frac{\sigma}{r}\right)^{6} \right],
 +
</math>
  
 
==Результаты моделирования==
 
==Результаты моделирования==

Текущая версия на 10:15, 20 января 2022

Курсовой проект по Механике дискретных сред

Исполнитель: Черницына Анна

Группа: 5030103/80101

Семестр: осень 2021

Постановка задачи[править]

Требуется смоделировать удар воздушного шарика о твердую стенку в двумерной постановке. Воздушный шарик представляет из себя оболочку, состоящую из материальный точек, каждая из которых соединена пружиной. Отскакивание воздушного шара от стенки моделируется при помощи потенциала Ленарда-Джонса.

Математическая модель[править]

[math] m\underline{\ddot{x}}_i(t)=\underline{F}_{R_1}+\underline{F}_{R_2}+\underline{F}_{D_1}+\underline{F}_{D_2}+\underline{P}+\underline{F}_{Wall}\\ \underline{x}_i(0)=\underline{x}_i^0,~\underline{v}_i(0)=v_i^0~~~i=1,\ldots,n [/math]


где [math] \underline{F}_{R_1}, \underline{F}_{R_2}\\ [/math] - силы упругости действующие на [math]i[/math]-ую частицу со стороны [math]i-1[/math] и [math]i+1[/math] соответственно;

[math] \underline{F}_{D_1},\underline{F}_{D_2}\\ [/math] - силы демпфирования пружины действующие на [math]i[/math]-ую частицу со стороны [math]i-1[/math] и [math]i+1[/math] соответственно;

[math] \underline{P} [/math] - давление создаваемое газом;

[math] \underline{F}_{Wall}\\ [/math] - сила взаимодействия между воздушным шаром и стеной;

Сила упругости, возникающая в пружине соединяющей частицу 1 и 2, вычисляется по следующей формуле:

[math] \underline{F}_{R}= -(||\underline{r}_2-\underline{r}_1|| - l_0)k_R \frac{(\underline{r}_2-\underline{r}_1)}{||\underline{r}_2-\underline{r}_1||} [/math], где [math]k_R[/math] - коэффициент жесткости пружины.

Сила демпфирования:

[math] \underline{F}_{D}= (\underline{v}_2-\underline{v}_1)\cdot\frac{\underline{r}_2-\underline{r}_1}{||\underline{r}_2-\underline{r}_1||}k_D\frac{(\underline{r}_2-\underline{r}_1)}{||\underline{r}_2-\underline{r}_1||} [/math], где [math]k_D[/math] - коэффициент демпфирования пружины.

Давление рассчитывается по следующей формуле:

[math]P = k(\frac{V_0}{V} - 1)[/math]

Площадь шара вычисляется при помощи формулы площади Гаусса, позволяющей вычислить площадь произвольного многоугольника:

[math]\begin{align} \mathbf{S} &= \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n-1} x_i y_{i+1} + x_n y_1 - \sum_{i=1}^{n-1} x_{i+1} y_i - x_1 y_n \right| = \\ &= \frac{1}{2} |x_1 y_2 + x_2 y_3 + \dots + x_{n-1} y_n + x_n y_1 - x_2 y_1 - x_3 y_2 - \dots - x_n y_{n-1} - x_1 y_n|, \end{align}[/math]

Взаимодействие частиц со стенкой реализовано с помощью потенциала Леннарда-Джонса:

[math] U(r) = 4\varepsilon \left[ \left(\frac{\sigma}{r}\right)^{12} - \left(\frac{\sigma}{r}\right)^{6} \right], [/math]

Результаты моделирования[править]

Результаты моделирования и исходный код можно посмотреть на GitHub: https://github.com/Aneyaka/obolochka

Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=Моделирование_упругого_шарика_об_стенку&oldid=59029»