Математическое моделирование упругого столкновения — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
(длдьд)
(fssadfs)
Строка 12: Строка 12:
  
 
==Математическая модель==
 
==Математическая модель==
−
Уравнение движения для каждой из материальных точек записывается следующим образом:
 
  
−
<math>
+
Давление рассчитывается по следующей формуле:
−
  m\underline{\ddot{x}}_i(t)=\underline{F}_{R_1}+\underline{F}_{R_2}+\underline{F}_{D_1}+\underline{F}_{D_2}+\underline{P}+\underline{F}_{Wall}\\
 
−
  \underline{x}_i(0)=\underline{x}_i^0,~\underline{v}_i(0)=v_i^0~~~i=1,\ldots,n
 
−
</math>
 
  
 +
<math>P = k(\frac{V_0}{V} - 1)</math>
  
−
где
+
Площадь шара вычисляется при помощи формулы площади Гаусса, позволяющей вычислить площадь произвольного многоугольника:
−
<math>
 
−
  \underline{F}_{R_1}, \underline{F}_{R_2}\\
 
−
</math> - силы упругости действующие на <math>i</math>-ую частицу со стороны <math>i-1</math> и <math>i+1</math> соответственно;
 
  
−
<math>
+
<math>\begin{align}
−
  \underline{F}_{D_1},\underline{F}_{D_2}\\
+
\mathbf{S} &= \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n-1} x_i y_{i+1} + x_n y_1 - \sum_{i=1}^{n-1} x_{i+1} y_i - x_1 y_n \right| = \\
−
</math> - силы демпфирования пружины действующие на <math>i</math>-ую частицу со стороны <math>i-1</math> и <math>i+1</math> соответственно;
+
            &= \frac{1}{2} |x_1 y_2 + x_2 y_3 + \dots + x_{n-1} y_n + x_n y_1 - x_2 y_1 - x_3 y_2 - \dots - x_n y_{n-1} - x_1 y_n|,
−
 
+
\end{align}</math>
−
<math>
 
−
  \underline{P}
 
−
</math> - давление создаваемое газом;
 
−
 
 
−
<math>
 
−
\underline{F}_{Wall}\\
 
−
</math> - сила взаимодействия между воздушным шаром и стеной;
 
−
 
 
−
Сила упругости, возникающая в пружине соединяющей частицу 1 и 2, вычисляется по следующей формуле:
 
−
 
 
−
<math>
 
−
  \underline{F}_{R}= -(||\underline{r}_2-\underline{r}_1|| - l_0)k_R
 
−
</math>,  где <math>k_R</math> - коэффициент жесткости пружины.
 
−
 
 
−
Сила демпфирования:
 
−
 
 
−
<math>
 
−
  \underline{F}_{D}= (\underline{v}_2-\underline{v}_1)\cdot\frac{\underline{r}_2-\underline{r}_1}{||\underline{r}_2-\underline{r}_1||}k_D
 
−
</math>, где <math>k_D</math> - коэффициент демпфирования пружины.
 
−
 
 
−
Давление:
 
−
 
 
−
<math>
 
−
  \underline{P}=\frac{1}{V}l_{12} P \underline{n}
 
−
</math>,  где <math> V </math> - актуальный объем шара, <math> l_{12}</math> - актуальная длина пружина, <math> P </math> - модуль давления, <math> \underline{n}</math> - нормаль к пружине, направленная наружу.
 
−
 
 
−
Взаимодействие шара со стеной:
 
−
 
 
−
<math>
 
−
  \underline{F}_{Wall}=-\nabla \Pi(r)
 
−
</math>,  где  <math>\Pi(r)=4\varepsilon[(\frac{a}{r})^{12}-(\frac{a}{r})^6]</math>
 
  
 
==Результаты моделирования==
 
==Результаты моделирования==

Версия 16:09, 19 января 2022

Курсовой проект по Механике дискретных сред

Исполнитель: Дурнев Андрей

Группа: 5030103/80101

Семестр: осень 2021

Постановка задачи

Требуется смоделировать удар воздушного шарика о твердую стенку в двумерной постановке. Воздушный шарик представляет из себя оболочку, состоящую из материальный точек, каждая из которых соединена пружиной. Отскакивание воздушного шара от стенки моделируется при помощи потенциала Ленарда-Джонса.

Математическая модель

Давление рассчитывается по следующей формуле:

[math]P = k(\frac{V_0}{V} - 1)[/math]

Площадь шара вычисляется при помощи формулы площади Гаусса, позволяющей вычислить площадь произвольного многоугольника:

[math]\begin{align} \mathbf{S} &= \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n-1} x_i y_{i+1} + x_n y_1 - \sum_{i=1}^{n-1} x_{i+1} y_i - x_1 y_n \right| = \\ &= \frac{1}{2} |x_1 y_2 + x_2 y_3 + \dots + x_{n-1} y_n + x_n y_1 - x_2 y_1 - x_3 y_2 - \dots - x_n y_{n-1} - x_1 y_n|, \end{align}[/math]

Результаты моделирования

Исходный код можно посмотреть на GitHub: https://github.com/OGthug-coder/math_model_hw


Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=Математическое_моделирование_упругого_столкновения&oldid=58960»