Простой гармонический одномерный кристалл — различия между версиями
Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
(→top) |
|||
| (не показано 18 промежуточных версий 5 участников) | |||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| − | [[ТМ|Кафедра ТМ]] > [[Научный справочник]] > [[Механика]] > [[Механика дискретных сред | МДС]] >[[Одномерный кристалл]]> | + | [[ТМ|Кафедра ТМ]] > [[Научный справочник]] > [[Механика]] > [[Механика дискретных сред | МДС]] >[[Одномерный кристалл]]>'''Простой гармонический''' |
| − | ''Одномерный кристалл с линейным взаимодействием между частицами, в котором все частицы и связи одинаковы. Наиболее простая модель в механике дискретных сред, обнаруживающая, однако, очень непростое поведение, прежде всего в задачах распространения тепла.'' | + | ''Также: кристалл Гука. Одномерный кристалл с линейным взаимодействием между ближайшими частицами, в котором все частицы и связи одинаковы. Наиболее простая модель в механике дискретных сред, обнаруживающая, однако, очень непростое поведение, прежде всего в задачах распространения тепла.'' |
== Уравнение движения == | == Уравнение движения == | ||
| − | + | Классическая динамика рассматриваемого кристалла описывается следующим линейным дифференциально-разностным уравнением второго порядка | |
| − | :<math>m\ddot u_k = C(u_{k+1}-2u_{k}+u_{k-1}),</math> | + | :<math>m\ddot u_k = C(u_{k+1}-2u_{k}+u_{k-1}) + f_k,</math> |
| − | где <math>m</math> — масса | + | где <math>m</math> — масса атома, <math>C</math> — жесткость связи, <math>u_k</math> — перемещение атома, <math>f_k</math> — внешняя сила, <math>k</math> — номер атома, точкой обозначена производная по времени. |
| + | |||
| + | == Виртуальная лаборатория == | ||
| + | |||
| + | *[[Динамика одномерного кристалла]] | ||
| + | *[[Распространение тепла в гармоническом одномерном кристалле]] | ||
== Публикации по теме == | == Публикации по теме == | ||
| − | * Z. Rieder, J. L. Lebowitz and E. Lieb. '''Properties of a Harmonic Crystal in a Stationary Nonequilibrium State.''' J. Math. Phys. 8, 1073 | + | === Тепловые процессы === |
| + | |||
| + | * [https://www.icts.res.in/people/1/details/90/ A. Dhar], R. Dandekar. '''Heat transport and current fluctuations in harmonic crystals.''' Physica A: Statistical Mechanics and its Applications (2015), Volume 418, 49-64. [http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0378437114004671?np=y Abstract]. | ||
| + | |||
| + | * [[A.M. Krivtsov]]. '''On unsteady heat conduction in a harmonic crystal'''. 2015, ArXiv:1509.02506 ([http://arxiv.org/abs/1509.02506 abstract], [http://arxiv.org/pdf/1509.02506v2.pdf pdf], [[Heat transfer in a 1D harmonic crystal|simulation]]) ''(Аналитически получены аналоги уравнения теплопроводности и закона Фурье).'' | ||
| + | <!-- | ||
| + | * [[А.М. Кривцов]]. '''Распространение тепла в бесконечном одномерном гармоническом кристалле'''. Доклады Академии Наук (2015), том 464, № 2, C. 162-166. (Скачать pdf: [[Медиа: Krivtsov_2015 DAN rus proof.pdf|93 Kб]])'' | ||
| + | --> | ||
| + | |||
| + | * [[А.М. Кривцов]]. '''Колебания энергий в одномерном кристалле'''. Доклады Академии Наук (2014), том 458, № 3, 279-281. (Скачать pdf: [[Медиа: Krivtsov_2014_DAN_rus_corrected.pdf| 180 Kb]]). English version: [[A.M. Krivtsov]]. '''Energy Oscillations in a One-Dimensional Crystal'''. Doklady Physics (2014), Volume 59, No. 9, 427–430. (Download pdf: [[Медиа: Krivtsov_2014_DAN_eng_corrected.pdf| 162 Kb]]) ''(Аналитически описан процесс выхода на тепловое равновесие для пространственно-однородного состояния кристалла).'' | ||
| + | |||
| + | * D. Roy, [https://www.icts.res.in/people/1/details/90/ A. Dhar]. '''Heat Transport in Ordered Harmonic Lattices.''' J Stat Phys (2008), Volume 131, Issue 3, 535–541. ([http://link.springer.com/article/10.1007%2Fs10955-008-9487-1 Abstract], [https://home.icts.res.in/~abhi/Papers/39-harmlatt-II.pdf pdf]) ''(Получена точная формула для теплового потока в гармонической цепочке, в частных случаях воспроизводящая результаты Rieder et al. (1967) и Nakazawa (1970), исследуется также квантовый случай).'' | ||
| + | |||
| + | * H. Nakazawa. '''On the Lattice Thermal Conduction.''' Prog. Theor. Phys. Supplement (1970), Volume 45, 231-262. [http://ptps.oxfordjournals.org/content/45/231.abstract?sid=59ff5cd6-c8c3-4e9d-9e4b-263cffb39a40 Abstract] ''(Результаты Rieder at al (1967) аналитически распространяются на другие граничные условия и пространственный гармонический кристалл, для ангармонической цепочки численно показано, что тепловое сопротивление растет с увеличением нелинейности).'' | ||
| + | |||
| + | * Z. Rieder, [https://en.wikipedia.org/wiki/Joel_Lebowitz J. L. Lebowitz] and [https://en.wikipedia.org/wiki/Elliott_H._Lieb E. Lieb]. '''Properties of a Harmonic Crystal in a Stationary Nonequilibrium State.''' J. Math. Phys. (1967), Volume 8, Issue 5, 1073. [http://scitation.aip.org/content/aip/journal/jmp/8/5/10.1063/1.1705319 Abstract] ''(Впервые показано, что для гармонической цепочки тепловой поток не зависит от количества частиц, а равновесная температура везде, кроме окрестности краев, равна полусумме температур краевых точек).'' | ||
| + | |||
| + | === Релаксационная динамика === | ||
| + | |||
| + | В случае, когда <math>f_k = -b \dot u_k + \tilde f_k</math> и коэффициент вязкости <math>b</math> достаточно велик, чтобы можно было пренебречь инерционным слагаемым <math>m\ddot u_k</math>, уравнение динамики Ньютона (2-го порядка) преобразуются в уравнения релаксационной динамики (1-го порядка): | ||
| + | :<math>b\dot u_k = C(u_{k+1}-2u_{k}+u_{k-1}) + \tilde f_k.</math> | ||
| + | Подобные модели рассматриваются для описания, в частности, волн заряда-плотности в сверхпроводниках (CDW: charge-density waves). | ||
| + | |||
| + | === Другие вопросы === | ||
| − | * | + | * [http://www.researchgate.net/profile/August_Wierling/info A. Wierling]. '''Dynamic structure factor of linear harmonic chain – A recurrence relation approach.''' The European Physical Journal B (2012), Volume 85, Issue 1, Article number 20. [http://link.springer.com/article/10.1140%2Fepjb%2Fe2011-20571-5 Abstract] ''(Получено рекуррентное соотношение для определения динамического структурного множителя в гармонической цепочке).'' |
| − | + | == См. также == | |
| − | * [[ | + | * [[Перенос тепла в одномерных кристаллах]] |
| + | * [[Нарушение закона Фурье в идеальных кристаллах]] | ||
| − | + | [[Category: Проект "Термокристалл"]] | |
Текущая версия на 07:20, 13 июня 2019
Кафедра ТМ > Научный справочник > Механика > МДС >Одномерный кристалл>Простой гармонический
Также: кристалл Гука. Одномерный кристалл с линейным взаимодействием между ближайшими частицами, в котором все частицы и связи одинаковы. Наиболее простая модель в механике дискретных сред, обнаруживающая, однако, очень непростое поведение, прежде всего в задачах распространения тепла.
Содержание
Уравнение движения[править]
Классическая динамика рассматриваемого кристалла описывается следующим линейным дифференциально-разностным уравнением второго порядка
где — масса атома, — жесткость связи, — перемещение атома, — внешняя сила, — номер атома, точкой обозначена производная по времени.
Виртуальная лаборатория[править]
Публикации по теме[править]
Тепловые процессы[править]
- A. Dhar, R. Dandekar. Heat transport and current fluctuations in harmonic crystals. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications (2015), Volume 418, 49-64. Abstract.
- A.M. Krivtsov. On unsteady heat conduction in a harmonic crystal. 2015, ArXiv:1509.02506 (abstract, pdf, simulation) (Аналитически получены аналоги уравнения теплопроводности и закона Фурье).
- А.М. Кривцов. Колебания энергий в одномерном кристалле. Доклады Академии Наук (2014), том 458, № 3, 279-281. (Скачать pdf: 180 Kb). English version: A.M. Krivtsov. Energy Oscillations in a One-Dimensional Crystal. Doklady Physics (2014), Volume 59, No. 9, 427–430. (Download pdf: 162 Kb) (Аналитически описан процесс выхода на тепловое равновесие для пространственно-однородного состояния кристалла).
- D. Roy, A. Dhar. Heat Transport in Ordered Harmonic Lattices. J Stat Phys (2008), Volume 131, Issue 3, 535–541. (Abstract, pdf) (Получена точная формула для теплового потока в гармонической цепочке, в частных случаях воспроизводящая результаты Rieder et al. (1967) и Nakazawa (1970), исследуется также квантовый случай).
- H. Nakazawa. On the Lattice Thermal Conduction. Prog. Theor. Phys. Supplement (1970), Volume 45, 231-262. Abstract (Результаты Rieder at al (1967) аналитически распространяются на другие граничные условия и пространственный гармонический кристалл, для ангармонической цепочки численно показано, что тепловое сопротивление растет с увеличением нелинейности).
- Z. Rieder, J. L. Lebowitz and E. Lieb. Properties of a Harmonic Crystal in a Stationary Nonequilibrium State. J. Math. Phys. (1967), Volume 8, Issue 5, 1073. Abstract (Впервые показано, что для гармонической цепочки тепловой поток не зависит от количества частиц, а равновесная температура везде, кроме окрестности краев, равна полусумме температур краевых точек).
Релаксационная динамика[править]
В случае, когда и коэффициент вязкости достаточно велик, чтобы можно было пренебречь инерционным слагаемым , уравнение динамики Ньютона (2-го порядка) преобразуются в уравнения релаксационной динамики (1-го порядка):
Подобные модели рассматриваются для описания, в частности, волн заряда-плотности в сверхпроводниках (CDW: charge-density waves).
Другие вопросы[править]
- A. Wierling. Dynamic structure factor of linear harmonic chain – A recurrence relation approach. The European Physical Journal B (2012), Volume 85, Issue 1, Article number 20. Abstract (Получено рекуррентное соотношение для определения динамического структурного множителя в гармонической цепочке).
