Колебания одномерной цепочки — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
(→‎Анализ результатов)
(→‎Решение задачи)
 
(не показано 36 промежуточных версий этого же участника)
Строка 1: Строка 1:
−
'''''Курсовой проект по Механике дискретных сред'''''
+
[[ Курсовые_работы_по_ВМДС:_2018-2019 | Курсовые работы 2018-2019 учебного года]] > '''Колебания одномерной цепочки''' <HR>
  
−
'''Исполнитель:''' [[Лобанов Илья]]  
+
'''''Курсовой проект по [[Механика дискретных сред|Механике дискретных сред]]'''''
 +
 
 +
'''Исполнитель:''' [[Лобанов Илья]]
  
 
'''Группа:''' 43604/1
 
'''Группа:''' 43604/1
  
 +
'''Семестр:''' осень 2018
 +
 +
===Постановка задачи===
 +
Рассматривается цепочка из N материальных частиц P0, P1, ... Pn, ..., PN–1, каждая из которых обладает одинаковой массой m. Частицы соединены пружинками. Рассматриваются продольные колебания образующих цепочку частиц, при условии, что взаимодействие задается с помощью потенциала Леннарда-Джонса.
  
−
== Постановка задачи==
+
Период одного колебания:  <math> {T}_{o} = 2{\pi}\sqrt\frac {m}{C} </math>
−
Рассматривается цепочка из N материальных частиц P0, P1, ... Pn, ..., PN–1, каждая из которых обладает одинаковой массой m. Частицы соединены линейными пружинками. Рассматриваются продольные колебания образующих цепочку частиц под действием сил взаимодействия между частицами цепочки, а также параллельных направлению цепочки внешних сил. Движение частицы с номером n описывается зависимостью от времени t её смещения Un относительно положения равновесия этой частицы (узла цепочки с номером n). В начальный момент времени цепочка растянута.
 
  
−
==Решение задачи==
+
===Решение задачи===
−
Рассмотрим модель колебаний одномерной многоатомной цепочки равных масс. Пусть в этой цепочке находится N атомов. Обозначим смещение n-го атома un, а атома, отстоящего от него на p узлов, – un+p. Примем в качестве положительных смещения атомов вправо от положения равновесия, а отрицательных – влево.
+
Рассмотрим модель колебаний одномерной многоатомной цепочки равных масс. Пусть в этой цепочке находится N атомов. Обозначим смещение n-го атома <math> u_{n} </math>, а атома, отстоящего от него на p узлов, <math> u_{n+p} </math> . Примем в качестве положительных смещения атомов вправо от положения равновесия, а отрицательных – влево.
  
−
Каждый атом смещается только вдоль цепочки, что следует из требования одномерности модели. Пусть атомы связаны между собой упругой силой F с коэффициентом упругости с. Найдем уравнение движения n-го и n+1-го атома в цепи. В равновесном положении силы, действующие на атомы, равны нулю. При произвольных смещениях на каждый n-й атом будет действовать сила со стороны соседних атомов. В соответствии с элементарным законом Гука эту силу можно представить в виде:
+
Каждый атом смещается только вдоль цепочки, что следует из требования одномерности модели. Пусть атомы связаны между собой упругой силой, соответствующей потенциалу Леннарда-Джонса с коэффициентом упругости С.
 +
::<math>
 +
F(r) = \frac{12D}{a}\left[-\left(\frac{a}{r}\right)^{13} + \left(\frac{a}{r}\right)^{7}\right].
 +
</math>
 +
Найдем уравнение движения n-го и n+1-го атома в цепи. В равновесном положении силы, действующие на атомы, равны нулю. При смещениях на каждый n-й атом будет действовать сила со стороны соседних атомов.  
  
−
В качестве начальных условий заданы случайные начальные скорости таким образом, что средняя скорость всех частиц равна 0. Перемещения всех частиц в начальный момент времени равны нулю. Также заданы периодические граничные условия на перемещения.
+
::<math>
 +
m\ddot{r}_{i}=-\nablaП_{i}
 +
</math>
  
−
Для решения данного дифференциального уравнения использовали метод Верле
+
В качестве начальных условий имеем растянутую цепочку,перемещения всех частиц в начальный момент времени равны 1,11.
  
−
[[File:Energy12.jpg|thumb]]
+
===Результаты===
−
==Анализ результатов==
 
  
−
'''График продольных колебаний'''
+
[[File:Webp.net-gifmaker_(5).gif]]
  
−
[[File:rWqGLWc-jcg.jpg]]
+
== См. также ==
  
−
[[File:Energy12.jpg|thumb|График изменения энергии в системе]]
+
*[[Кафедра "Теоретическая механика"]]
 +
*[[Курсовые работы по ВМДС: 2018-2019]]
 +
*[[Введение в механику дискретных сред]]

Текущая версия на 02:25, 1 марта 2019

Курсовые работы 2018-2019 учебного года > Колебания одномерной цепочки

Курсовой проект по Механике дискретных сред

Исполнитель: Лобанов Илья

Группа: 43604/1

Семестр: осень 2018

Постановка задачи[править]

Рассматривается цепочка из N материальных частиц P0, P1, ... Pn, ..., PN–1, каждая из которых обладает одинаковой массой m. Частицы соединены пружинками. Рассматриваются продольные колебания образующих цепочку частиц, при условии, что взаимодействие задается с помощью потенциала Леннарда-Джонса.

Период одного колебания: [math] {T}_{o} = 2{\pi}\sqrt\frac {m}{C} [/math]

Решение задачи[править]

Рассмотрим модель колебаний одномерной многоатомной цепочки равных масс. Пусть в этой цепочке находится N атомов. Обозначим смещение n-го атома [math] u_{n} [/math], а атома, отстоящего от него на p узлов, [math] u_{n+p} [/math] . Примем в качестве положительных смещения атомов вправо от положения равновесия, а отрицательных – влево.

Каждый атом смещается только вдоль цепочки, что следует из требования одномерности модели. Пусть атомы связаны между собой упругой силой, соответствующей потенциалу Леннарда-Джонса с коэффициентом упругости С.

[math] F(r) = \frac{12D}{a}\left[-\left(\frac{a}{r}\right)^{13} + \left(\frac{a}{r}\right)^{7}\right]. [/math]

Найдем уравнение движения n-го и n+1-го атома в цепи. В равновесном положении силы, действующие на атомы, равны нулю. При смещениях на каждый n-й атом будет действовать сила со стороны соседних атомов.

[math] m\ddot{r}_{i}=-\nablaП_{i} [/math]

В качестве начальных условий имеем растянутую цепочку,перемещения всех частиц в начальный момент времени равны 1,11.

Результаты[править]

Webp.net-gifmaker (5).gif

См. также[править]

Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=Колебания_одномерной_цепочки&oldid=52780»