Задача 48.44 — различия между версиями

Текущая версия на 21:23, 25 января 2018

Решение задачи 48.44 из Мещерского[править]

Визуализация 3D-задачи по динамике на JavaScript

Исполнитель: Санькова Татьяна

Группа 23632/2 Кафедра Теоретической механики

Условие задачи[править]

Один конец нерастяжимой тонкой нити обмотан вокруг однородного круглого цилиндра радиуса R, второй конец прикреплен к неподвижной точке O. Цилиндр, разматывая нить, опускается вниз, одновременно раскачиваясь вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку подвеса нити. Пренебрегая массой нити, составить дифференциальные уравнения движения цилиндра.

Решение[править]

Рисунок

Уравнение Лагранжа второго рода:

[math]\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot q}\right) - \frac{\partial L}{\partial q} = 0 [/math]

[math]L = T - Π [/math]

Система имеет две степени свободы: длина нити ρ и угол между нитью и вертикальной осью φ.

[math] q1 = ρ, q2 = φ [/math]

Движение цилиндра плоское, его кинетическая энергия:

[math] T = \frac{1}{2}mv^{2} + \frac{1}{2}Ϳω^{2} [/math]

Где V - скорость центра масс, распишем ее как

[math]V = Vпер - Vотн [/math]

[math]Vпер = \dot φOC [/math], [math] OC = \sqrt{R^{2} + ρ^{2}} [/math], [math] Vотн = \dot ρ [/math]

[math]V^{2} = \dot φ^{2}(R^{2} + ρ^{2}) + \dot ρ^{2} - 2\dot ρ\dot φ\sqrt{R^{2} + ρ^{2}}cosα[/math]

где

[math]cosα = \frac{R}{OC} = \frac{R}{\sqrt{R^{2} + ρ^{2}}}[/math]

Учитывая что

[math]Ϳ = \frac{1}{2}mR^{2}, ω = \frac{Vотн}{R} - \dot φ = \frac{\dot ρ}{R} -\dot φ[/math]

получаем выражение:

[math]T = \frac{1}{2}m(\dot φ^{2} (R^{2} + ρ^{2}) + \dot ρ^{2} - 2\dot ρ\dot φR) + \frac{1}{4}m(\frac{\dot ρ}{R} - \dot φ)^{2}[/math]

Потенциальная энергия:

[math]Π = -mg(ρcosφ - Rsinφ)[/math]

Находим

[math]\frac{\partial L}{\partial \dot ρ} = m(\dot ρ - \dot φ R + \frac{1}{2}(\dot ρ - R\dot φ) [/math]

[math]\frac{\partial L}{\partial \dot φ} = m(\dot φ^{2} (R^{2} + ρ^{2}) - \dot ρ R - \frac{1}{2}(\dot ρ - R\dot φ) [/math]

[math]\frac{\partial L}{\partial ρ} = m(ρ\dot φ^{2} + gcosφ) [/math]

[math]\frac{\partial L}{\partial φ} = -mg(ρsinφ - Rcosφ) [/math]

Ответ:

[math]\ddot ρ - \ddot φ R - \frac{2}{3}ρ\dot φ - \frac{2}{3}gcosφ = 0[/math]

[math]ρ^{2}\ddot φ + 2\dot φ\dot ρ ρ - Rρ\dot φ^{2} + gρsinφ = 0[/math]

Визуализация[править]