Определение упругих модулей материала — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
(→‎Введение)
(→‎Компьютерный эксперимент с конкретным материалом)
 
(не показано 37 промежуточных версий 4 участников)
Строка 1: Строка 1:
 +
 +
'''''Курсовой проект по [[Механика дискретных сред|Механике дискретных сред]]'''''
 +
 +
'''Исполнитель:''' [[Фомичева Мария]]
 +
 +
'''Группа:''' [[Группа 10|10]] (43604/1)
 +
 +
'''Семестр:''' осень 2017
 +
 
== Введение ==
 
== Введение ==
  
−
В настоящее время большое внимание уделяется исследованию упругих свойств различных материалов.  
+
[[Файл:Материал для определения упругих модулей.png|thumb|Рис.1. Исследуемый материал]]
 +
В настоящее время большое внимание уделяется исследованию упругих свойств разных материалов. Эти исследования позволяют определить поведение материала при различных деформациях и напряжениях.
  
−
В данной работе рассматриваются два упругих модуля - коэффициент Пуассона и модуль Юнга. Вычисление модулей упругости материала ведется с помощью компьютерного эксперимента. При вычислении используется метод молекулярной динамики (ММД).  
+
В данной работе проводится исследование материала на его упругие характеристики - коэффициента Пуассона и модуля Юнга. Вычисление модулей ведется с помощью компьютерного эксперимента. Пример материала, для которого производились расчеты, показан на Рис.1. При вычислении упругих коэффициентов используется метод молекулярной динамики (ММД). Кроме того, в задаче ставятся фиксированные граничные условия: левая грань материала фиксируется, правая грань растягивается вдоль горизонтально оси, все остальные грани - свободные.
  
 
== Алгоритм компьютерного эксперимента ==
 
== Алгоритм компьютерного эксперимента ==
  
−
На первом этапе вычисления находится положение равновесия решетки в растянутом состоянии.
+
Весь компьютерный эксперимент можно условно разделить на три этапа.
−
При этом задается либо растяжение вдоль двух осей симметрии решетки (рис. 1),
+
 
−
либо сдвиговая деформация вдоль одной из осей. На этом этапе решается динамическая задача
+
''На первом этапе'' находится положение равновесия материала в растянутом состоянии.
−
достижения положения равновесия. Компьютерный эксперимент производится посредством вычисления
+
При этом задается растяжение вдоль одной из осей симметрии материала (оси X). Компьютерный эксперимент производится посредством нахождения
 
радиус векторов и векторов скорости частиц в зависимости от времени. Интегрирование
 
радиус векторов и векторов скорости частиц в зависимости от времени. Интегрирование
−
ведется методом центральных разностей. Метод состоит в том, что координаты и силы вычисляются
+
ведется методом центральных разностей. Данный метод состоит в том, что координаты и силы вычисляются
−
во временных точках, разделенных интервалами, равными шагу интегрирования, а скорости
+
во временных точках, разделенных интервалами равными шагу интегрирования, а скорости
 
вычисляются во временных точках, находящихся в серединах вышеупомянутых интервалов:
 
вычисляются во временных точках, находящихся в серединах вышеупомянутых интервалов:
  
Строка 22: Строка 32:
 
где <math>\tau</math> – шаг интегрирования. Ускорение <math>\underline{w}(t)</math>
 
где <math>\tau</math> – шаг интегрирования. Ускорение <math>\underline{w}(t)</math>
 
вычисляется через приложенную к частице силу.
 
вычисляется через приложенную к частице силу.
 +
Кроме того, на первом этапе вычисляется средняя деформация материала после его растяжения.
  
−
Для нахождения силы, приложенной к одной частице, рассматриваемая область разбивается
+
''Второй этап'' представляет собой определение слагаемых сил, действующих на один атом системы и на
−
на квадратные ячейки со стороной, не меньшей <math>R + D</math>. Рассматриваются все
+
соседние с ним атомы. Зная силы, механические напряжения в решетке можно вычислить по формулам:
−
частицы, находящиеся в одной ячейке, либо в соседних ячейках к ячейке, где находится
 
−
частица, для которой вычисляется приложенная сила.
 
−
 
 
−
Колебания атомов гасятся введением коэффициента трения
 
−
в уравнения движения. При этом достигается однородное деформированное состояние со
 
−
значениями <math>\varepsilon_{11} = 0.001</math> (при растяжении вдоль оси <math>OX_1</math>), и
 
−
<math>\varepsilon_{22} = 0.001</math> (при растяжении вдоль оси <math>OX_2</math>). При вычислении ставятся фиксированные граничные условия.
 
−
 
 
−
Вычислительный процесс разделим на три основные части. Первая часть представляет собой
 
−
вычислительный процесс в целом и включает в себя определение начальных
 
−
параметров задачи, которые могут варьироваться, а также определение начальной
 
−
конфигурации рассчитываемой системы, т.е. границы рассматриваемой области, положение и
 
−
скорости частиц (атомов) кристаллической решетки. Кроме того, вычислительный
 
−
процесс в целом подразумевает последовательность шагов интегрирования по времени и
 
−
получение результатов вычисления. Вторая часть вычислительного процесса представляет
 
−
собой один шаг интегрирования по времени. Результатом этой части
 
−
вычислительного процесса является определение наборов соседних атомов для каждого атома
 
−
системы с учетом граничных условий, т.е. условий периодичности на границе
 
−
рассматриваемой прямоугольной области. Шаг интегрирования по времени состоит из
 
−
определения скоростей атомов при учете действующих сил на каждый атом системы, а также
 
−
определение приращений перемещений атомов системы. Третья часть вычислительного процесса
 
−
представляет собой определение слагаемых сил, действующих на один атом системы и на
 
−
соседние с ним атомы. Эта часть содержит вычисление значения производных от одного
 
−
слагаемого потенциальной энергии системы, т.е. потенциальной энергии, приходящейся на
 
−
один атом.
 
−
 
 
−
На втором этапе механические напряжения в решетке вычисляются по формулам:
 
  
 
<math>
 
<math>
Строка 59: Строка 43:
 
</math>
 
</math>
  
−
иначе
+
Здесь <math>{{\underline{\underline{\tau\hspace{-0.5mm}}}\hspace{0.5mm}}}_i</math> – тензор механических напряжений для частицы с номером <math>i</math>. При однородном поле деформации находится средний тензор напряжений
−
 
+
<math>({{\underline{\underline{\tau\hspace{-0.5mm}}}\hspace{0.5mm}}}_i)</math> по всем частицам. <math>V</math> – объем ячейки периодичности. <math>\underline{A}_{\alpha}^i</math> – вектор относительного
−
<math>
 
−
    {{\underline{\underline{\tau\hspace{-0.5mm}}}\hspace{0.5mm}}}_i =
 
−
    \frac{1}{V} \sum_{\alpha} \frac{\partial \Pi^i}{\partial \underline{A}_{\alpha}^i}
 
−
    (\underline{r}_{\alpha}^i - \underline{r}_i), \quad \Pi^i = \frac{1}{2} \sum_{j (\neq i)} V_{ij}
 
−
</math>
 
−
 
 
−
Здесь <math>{{\underline{\underline{\tau\hspace{-0.5mm}}}\hspace{0.5mm}}}_i</math> – тензор механических напряжений для частицы (атом углерода) с номером <math>i</math>. При однородном поле деформации находится средний тензор напряжений
 
−
<math>({{\underline{\underline{\tau\hspace{-0.5mm}}}\hspace{0.5mm}}}_i)</math> по всем частицам. <math>V</math> – объем ячейки периодичности (в двумерной
 
−
постановке – площадь). <math>\underline{F}_{\alpha}^i</math> – векторный коэффициент, равный
 
−
<math>\displaystyle 2 \frac{\partial \Pi^i}{\partial \underline{A}_{\alpha}^i}</math>, где <math>\alpha</math> – номер
 
−
соседней частицы к частице с номером <math>i</math>. <math>\underline{A}_{\alpha}^i</math> – вектор относительного
 
 
положения соседней частицы: <math>\underline{A}_{\alpha}^i = \underline{r}_{\alpha}^i - \underline{r}_i</math>,
 
положения соседней частицы: <math>\underline{A}_{\alpha}^i = \underline{r}_{\alpha}^i - \underline{r}_i</math>,
 
где <math>\underline{r}_i</math>
 
где <math>\underline{r}_i</math>
 
– радиус-вектор частицы с номером <math>i</math>, <math>\underline{r}_{\alpha}^i</math> – радиус-вектор соседней
 
– радиус-вектор частицы с номером <math>i</math>, <math>\underline{r}_{\alpha}^i</math> – радиус-вектор соседней
−
частицы (<math>\alpha</math>). <math>V_{ij}</math> – энергия, приходящаяся на одну связь, см. [[Потенциалы Терсоффа, Бреннера|потенциал Терсофа]].
+
частицы (<math>\alpha</math>).
 +
 
  
 +
''Третий этап'' представляет собой нахождение упругих модулей через коэффициенты упругости. Для нахождения коэффициентов упругости воспользуемся формулами их выражения через компоненты тензоров напряжения и деформации.
  
−
В трехмерном ортотропном материале с кубической симметрией (алмаз) коэффициенты упругости
+
В трехмерном материале коэффициенты упругости
 
определяются через следующие выражения:
 
определяются через следующие выражения:
  
Строка 91: Строка 66:
 
</math>
 
</math>
  
−
Модули упругости выражаются по формулам:
+
 
 +
Модули упругости выражаются формулами:
  
 
<math>
 
<math>
 
     \nu = \frac{C_{12}}{C_{11} + C_{12}},\quad
 
     \nu = \frac{C_{12}}{C_{11} + C_{12}},\quad
−
     E = \frac{(C_{11} - C_{12}) (C_{11} + 2 C_{12})}{(C_{11} + C_{12})},\quad
+
     E = \frac{(C_{11} - C_{12}) (C_{11} + 2 C_{12})}{(C_{11} + C_{12})},
−
    K = \frac{1}{3}(C_{11} + 2 C_{12}).
+
</math> где
−
</math>
+
<math> E  </math> - модуль Юнга, 
 +
<math>\nu </math> - коэффициент Пуассона
 +
 
 +
== Компьютерный эксперимент с конкретным материалом ==
 +
 
 +
При компьютерном эксперименте был рассмотрен изотропный материал со следующими параметрами:
 +
 
 +
Расстояние между частицами - <math>d = 0.33,</math>
 +
 
 +
Количество частиц - <math> N = 8000,</math>
 +
 
 +
Радиус обрезания - <math> A_c = 1.3</math>
 +
 
 +
Масса частиц, жесткость частиц и длина ребра материала приняты равными единице.
 +
 +
При растяжении такого материала упругие модули получаются следующими:
 +
<math>E/E* = 0.808,</math> где <math> E/E*</math> - обезразмеренный модуль Юнга
 +
 
 +
<math>\nu = 0.396</math>
  
−
Ячейка периодичности кристаллической решетки алмаза представляет собой куб с гранью <math>4
+
==Ссылки== 
−
a_d / \sqrt{3}</math>, где <math>a_d</math> – межатомное расстояние кристаллической решетки алмаза в
+
*Автор проекта: [[ Фомичева Мария]]
−
равновесном состоянии.
+
*[[Виртуальная лаборатория]]

Текущая версия на 14:10, 23 января 2018

Курсовой проект по Механике дискретных сред

Исполнитель: Фомичева Мария

Группа: 10 (43604/1)

Семестр: осень 2017

Введение[править]

Рис.1. Исследуемый материал

В настоящее время большое внимание уделяется исследованию упругих свойств разных материалов. Эти исследования позволяют определить поведение материала при различных деформациях и напряжениях.

В данной работе проводится исследование материала на его упругие характеристики - коэффициента Пуассона и модуля Юнга. Вычисление модулей ведется с помощью компьютерного эксперимента. Пример материала, для которого производились расчеты, показан на Рис.1. При вычислении упругих коэффициентов используется метод молекулярной динамики (ММД). Кроме того, в задаче ставятся фиксированные граничные условия: левая грань материала фиксируется, правая грань растягивается вдоль горизонтально оси, все остальные грани - свободные.

Алгоритм компьютерного эксперимента[править]

Весь компьютерный эксперимент можно условно разделить на три этапа.

На первом этапе находится положение равновесия материала в растянутом состоянии. При этом задается растяжение вдоль одной из осей симметрии материала (оси X). Компьютерный эксперимент производится посредством нахождения радиус векторов и векторов скорости частиц в зависимости от времени. Интегрирование ведется методом центральных разностей. Данный метод состоит в том, что координаты и силы вычисляются во временных точках, разделенных интервалами равными шагу интегрирования, а скорости вычисляются во временных точках, находящихся в серединах вышеупомянутых интервалов:

[math]\underline{v} (t + \tau / 2) = \underline{v} (t - \tau / 2) + \underline{w} (t) \tau[/math]

[math]\underline{r} (t + \tau) = \underline{r} (t) + \underline{v} (t + \tau / 2) \tau,[/math]

где [math]\tau[/math] – шаг интегрирования. Ускорение [math]\underline{w}(t)[/math] вычисляется через приложенную к частице силу. Кроме того, на первом этапе вычисляется средняя деформация материала после его растяжения.

Второй этап представляет собой определение слагаемых сил, действующих на один атом системы и на соседние с ним атомы. Зная силы, механические напряжения в решетке можно вычислить по формулам:

[math] {{\underline{\underline{\tau\hspace{-0.5mm}}}\hspace{0.5mm}}}_i = \frac{1}{2V} \sum_{\alpha} \underline{F}_{\alpha}^i \underline{A}_{\alpha}^i = \frac{1}{2V} \sum_{\alpha} \underline{F}_{\alpha}^i (\underline{r}_{\alpha}^i - \underline{r}_i), [/math]

Здесь [math]{{\underline{\underline{\tau\hspace{-0.5mm}}}\hspace{0.5mm}}}_i[/math] – тензор механических напряжений для частицы с номером [math]i[/math]. При однородном поле деформации находится средний тензор напряжений [math]({{\underline{\underline{\tau\hspace{-0.5mm}}}\hspace{0.5mm}}}_i)[/math] по всем частицам. [math]V[/math] – объем ячейки периодичности. [math]\underline{A}_{\alpha}^i[/math] – вектор относительного положения соседней частицы: [math]\underline{A}_{\alpha}^i = \underline{r}_{\alpha}^i - \underline{r}_i[/math], где [math]\underline{r}_i[/math] – радиус-вектор частицы с номером [math]i[/math], [math]\underline{r}_{\alpha}^i[/math] – радиус-вектор соседней частицы ([math]\alpha[/math]).


Третий этап представляет собой нахождение упругих модулей через коэффициенты упругости. Для нахождения коэффициентов упругости воспользуемся формулами их выражения через компоненты тензоров напряжения и деформации.

В трехмерном материале коэффициенты упругости определяются через следующие выражения:

[math] \begin{array}{l} \sigma_1 = C_{11} \varepsilon_{11} + C_{12} \varepsilon_{22} + C_{12} \varepsilon_{33},\quad \sigma_2 = C_{12} \varepsilon_{11} + C_{11} \varepsilon_{22} + C_{12} \varepsilon_{33},\\ \sigma_3 = C_{12} \varepsilon_{11} + C_{12} \varepsilon_{22} + C_{11} \varepsilon_{33},\\ \tau_{12} = 2 C_{44} \varepsilon_{12},\quad \tau_{23} = 2 C_{44} \varepsilon_{23},\quad \tau_{31} = 2 C_{44} \varepsilon_{31}. \end{array} [/math]


Модули упругости выражаются формулами:

[math] \nu = \frac{C_{12}}{C_{11} + C_{12}},\quad E = \frac{(C_{11} - C_{12}) (C_{11} + 2 C_{12})}{(C_{11} + C_{12})}, [/math] где [math] E [/math] - модуль Юнга, [math]\nu [/math] - коэффициент Пуассона

Компьютерный эксперимент с конкретным материалом[править]

При компьютерном эксперименте был рассмотрен изотропный материал со следующими параметрами:

Расстояние между частицами - [math]d = 0.33,[/math]

Количество частиц - [math] N = 8000,[/math]

Радиус обрезания - [math] A_c = 1.3[/math]

Масса частиц, жесткость частиц и длина ребра материала приняты равными единице.

При растяжении такого материала упругие модули получаются следующими: [math]E/E* = 0.808,[/math] где [math] E/E*[/math] - обезразмеренный модуль Юнга

[math]\nu = 0.396[/math]

Ссылки[править]

Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=Определение_упругих_модулей_материала&oldid=49728»