Мещерский 48.25 — различия между версиями
Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
(→Решение задачи) |
(→Решение задачи) |
||
(не показаны 2 промежуточные версии этого же участника) | |||
Строка 7: | Строка 7: | ||
Для решения задачи будем использовать динамическое уравнение эйлера | Для решения задачи будем использовать динамическое уравнение эйлера | ||
: | : | ||
− | <math>A | + | <math>A\dot ω_A + (C-B)ω_Bω_C = M_A</math>, где |
− | <math>A,B,C</math> - главные моменты инерции относительно осей <math>O_1O_2</math> и <math>O_3G</math> | + | |
− | <math> | + | <math>A,B,C</math> - главные моменты инерции относительно осей <math>O_1O_2</math> и <math>O_3G</math>. |
+ | |||
+ | <math>ω_A</math>, <math>ω_B</math> и <math>ω_C</math> - угловые скорости вращения относительно осей с моментами инерции A, В и С соответственно | ||
+ | |||
<math>М_А</math> - момент сил относительно оси с моментом инерции А | <math>М_А</math> - момент сил относительно оси с моментом инерции А | ||
− | Можно заметить, что <math> | + | Можно заметить, что <math>\dot ω_A</math> - это вторая производная угла <math>ϑ</math>, т. е. угла отклонения от горизонтальной части рамки. |
− | Рамка вращается с угловой скоростью <math> | + | Рамка вращается с угловой скоростью <math>ω</math>. Эту скорость можно разложить по составляющим <math>ωCosϑ</math> и <math>ωSinϑ</math> - угловым скоростям вращения относительно осей с моментами инерции В и С. |
Момент сил относительно оси с моментом инерции А - момент силы тяжести, он равен | Момент сил относительно оси с моментом инерции А - момент силы тяжести, он равен | ||
Строка 22: | Строка 25: | ||
Таким образом, получаем уравнение движения тела | Таким образом, получаем уравнение движения тела | ||
: | : | ||
− | <math>A | + | <math>A\ddot ϑ + (C-B)ω^{2}SinϑCosϑ = -mglSinϑ</math>, где |
<math>ϑ</math> - угол отклонения от горизонтальной части рамки | <math>ϑ</math> - угол отклонения от горизонтальной части рамки |
Текущая версия на 20:21, 24 декабря 2017
Условие задачи[править]
Тело массы m может вращаться вокруг горизонтальной оси O1O2, которая в свою очередь вращается с постоянной угловой скоростью w вокруг вертикальной оси ОС. Центр масс тела G лежит на расстоянии l от точки O3 на прямой, перпендикулярной О1О2. Предполагая, что оси О1О2 и О3G являются главными осями инерции тела в точке О3, составить уравнение движения. Моменты инерции тела относительно главных осей равны А, В, С.
Решение задачи[править]
Для решения задачи будем использовать динамическое уравнение эйлера
, где
- главные моменты инерции относительно осей и .
, и - угловые скорости вращения относительно осей с моментами инерции A, В и С соответственно
- момент сил относительно оси с моментом инерции А
Можно заметить, что
- это вторая производная угла , т. е. угла отклонения от горизонтальной части рамки.Рамка вращается с угловой скоростью
. Эту скорость можно разложить по составляющим и - угловым скоростям вращения относительно осей с моментами инерции В и С.Момент сил относительно оси с моментом инерции А - момент силы тяжести, он равен
Таким образом, получаем уравнение движения тела
, где
- угол отклонения от горизонтальной части рамки
Визуализация задачи[править]