Мещерский 48.36 — различия между версиями
(→Решение задачи) |
(→Решение задачи) |
||
Строка 35: | Строка 35: | ||
2. Найдём потенциальную энергию системы: | 2. Найдём потенциальную энергию системы: | ||
: | : | ||
− | <math> | + | <math>E_\text{P} = E_\text{PA} + E_\{PD}</math> |
: | : | ||
<math>E_\text{PA} = \frac{cx^2}{2}</math> | <math>E_\text{PA} = \frac{cx^2}{2}</math> | ||
Строка 57: | Строка 57: | ||
: | : | ||
<math>\left(m_1 + m_2\right)\ddot x + m_2l\ddot \varphi\cos\varphi - m_2l\dot \varphi^2\sin\varphi = - cx /left(8/right)</math> | <math>\left(m_1 + m_2\right)\ddot x + m_2l\ddot \varphi\cos\varphi - m_2l\dot \varphi^2\sin\varphi = - cx /left(8/right)</math> | ||
− | |||
− | |||
: | : | ||
<math>m_2l^2\ddot\varphi + m_2l\ddot x\cos\varphi = - m_2gl\sin\varphi \left(9\right)</math> | <math>m_2l^2\ddot\varphi + m_2l\ddot x\cos\varphi = - m_2gl\sin\varphi \left(9\right)</math> | ||
Строка 76: | Строка 74: | ||
(10) - уравнение гармонических колебаний. Следовательно, | (10) - уравнение гармонических колебаний. Следовательно, | ||
: | : | ||
− | <math>T = 2\pi\sqrt{\frac{lm_1}{g | + | <math>T = 2\pi\sqrt{\frac{lm_1}{g(m_1 + m_2)}}</math> |
Версия 20:09, 23 декабря 2017
Задача №48.36 из сборника задач Мещерского. Требуется смоделировать систему, состоящую из тележки и прикреплённого к ней стержня с грузом с помощью языка программирования JavaScript.
Формулировка задачи
При наезде тележки {A} на упругий упор
начинаются колебания подвешенного на стержне груза . Составить дифференциальные уравнения движения материальной системы, если - масса тележки, - масса груза, длина стержня, - коэффициент жёсткости пружины упора . Массой колёс и всеми силами сопротивления пренебречь. Начало отсчёта оси взять в левом конце недеформированной пружины. Определить период малых колебаний груза при отсутствии упора . Массой стержня пренебречь. Указание. Пренебречь членом, содержащим множитель , считать , , .Решение задачи
Дифференциальные уравнения движения системы можно найти, воспользовавшись уравнениями Лагранжа 2-го рода
, где
- кинетическая энергия системы,
- обобщённые координаты,
- обобщённые силы.
Начнём с определения кинетической энергии:
(здесь и далее индексами "А", "D" обозначаются величины, относящиеся к тележке и грузу соответственно).
Из (1) и (2) имеем:
2. Найдём потенциальную энергию системы:
Из последних трёх равенств получим
3. Имея в виду, что
и
,
подставим равенства (3) - (7) в уравнения Лагранжа 2-го рода:
(8), (9) и есть искомые уравнения движения.
4. Теперь найдём период колебаний груза T. В условиях малых колебаний дифференциальные уравнения движения примут следующий вид:
Путём несложных алгебраических образований отсюда можно получить такое дифференциальное уравнение:
(10) - уравнение гармонических колебаний. Следовательно,