Мещерский 48.36 — различия между версиями
(→Решение задачи) |
(→Решение задачи) |
||
Строка 23: | Строка 23: | ||
: | : | ||
<math>{E_\text{kD}} = \frac{m_2\dot x^2}{2} + \frac{m_2l^2\dot\varphi^2}{2} + m_2l\dot x\dot\varphi\cos\varphi \left(2\right)</math> | <math>{E_\text{kD}} = \frac{m_2\dot x^2}{2} + \frac{m_2l^2\dot\varphi^2}{2} + m_2l\dot x\dot\varphi\cos\varphi \left(2\right)</math> | ||
+ | |||
+ | Из (1) и (2) имеем: | ||
: | : | ||
− | <math>\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial E_k}{\partial\dot x}\right) = {d}{dt}\left(\left(m_1 + m_2\right)\dot x + m_2l\dot\varphi\cos\varphi\right) = \left(m_1 + m_2\right)\ddot x + m_2l\ddot \varphi\cos\varphi - m_2l\dot \varphi\sin\varphi \left(3\right)</math> | + | <math>\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial E_k}{\partial\dot x}\right) = \frac{d}{dt}\left(\left(m_1 + m_2\right)\dot x + m_2l\dot\varphi\cos\varphi\right) = \left(m_1 + m_2\right)\ddot x + m_2l\ddot \varphi\cos\varphi - m_2l\dot \varphi^2\sin\varphi \left(3\right)</math> |
+ | : | ||
+ | <math>\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial E_k}{\partial\dot\varphi}\right) = \frac{d}{dt}/left(m_2l^2\dot\varphi + m_2l\dot x\cos\varphi\right) = m_2l^2\ddot\varphi + m_2l\ddot x\cos\varphi - m_2l\dot x\dot\varphi\sin\varphi \left(4\right)</math> | ||
+ | : | ||
+ | <math>\frac{\partial E_k}{\partial\varphi} = - m_2l\dot x\dot\varphi\sin\varphi \left(5\right)</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | 2. Найдём потенциальную энергию системы: | ||
+ | : | ||
+ | <math>E_P = E_\text{PA} + E_\{PD}</math> | ||
+ | : | ||
+ | <math>E_\text{PA} = \frac{cx^2}{2}</math> | ||
+ | : | ||
+ | <math>E_\text{PD} = m_2gl\left(1 - \cos\varphi\right)</math> | ||
+ | |||
+ | Из последних трёх равенств получим | ||
+ | : | ||
+ | <math> - \frac{\partial E_P}{\partial x} = - cx \left(6\right)</math> | ||
+ | : | ||
+ | <math> - \frac{\partial E_P}{\partial\varphi} = - m_2gl\sin\varphi \left(7\right)</math> | ||
+ | |||
+ | 3. Имея в виду, что | ||
+ | : | ||
+ | <math> - \frac{\partial E_P}{\partial q_i} = Q_i</math> | ||
+ | и | ||
+ | : | ||
+ | <math>\frac{\partial E_k}{\partial x} = 0</math>, | ||
+ | |||
+ | подставим равенства (3) - (7) в уравнения Лагранжа 2-го рода: | ||
+ | : | ||
+ | <math>\left(m_1 + m_2\right)\ddot x + m_2l\ddot \varphi\cos\varphi - m_2l\dot \varphi^2\sin\varphi = - cx /left(8/right)</math> | ||
+ | : | ||
+ | <math>m_2l^2\ddot\varphi + m_2l\ddot x\cos\varphi - m_2l\dot x\dot\varphi\sin\varphi + m_2l\dot x\dot\varphi\sin\varphi = - m_2gl\sin\varphi</math>, т.е. | ||
+ | : | ||
+ | <math>m_2l^2\ddot\varphi + m_2l\ddot x\cos\varphi = - m_2gl\sin\varphi \left(9\right)</math> | ||
+ | |||
+ | '''(8), (9) и есть искомые уравнения движения.''' | ||
+ | |||
+ | 4. Теперь найдём период колебаний груза T. В условиях малых колебаний дифференциальные уравнения движения примут следующий вид: | ||
+ | : | ||
+ | <math>/left(m_1 + m_2/right)/ddot x + m_2l\ddot\varphi = 0</math> | ||
+ | : | ||
+ | <math>\ddot x + l\ddot varphi = - g\varphi</math> | ||
+ | |||
+ | Путём несложных алгебраических образований отсюда можно получить такое дифференциальное уравнение: | ||
+ | : | ||
+ | <math>\ddot\varphi - \frac{g\left(m_1 + m_2\right)}{lm_1}\varphi = 0 \left(10\right)</math> | ||
+ | |||
+ | (10) - уравнение гармонических колебаний. Следовательно, | ||
+ | : | ||
+ | <math>T = 2\pi\sqrt{\frac{lm_1}{g/left(m_1 + m_2/right)}</math> |
Версия 20:03, 23 декабря 2017
Задача №48.36 из сборника задач Мещерского. Требуется смоделировать систему, состоящую из тележки и прикреплённого к ней стержня с грузом с помощью языка программирования JavaScript.
Формулировка задачи
При наезде тележки {A} на упругий упор
начинаются колебания подвешенного на стержне груза . Составить дифференциальные уравнения движения материальной системы, если - масса тележки, - масса груза, длина стержня, - коэффициент жёсткости пружины упора . Массой колёс и всеми силами сопротивления пренебречь. Начало отсчёта оси взять в левом конце недеформированной пружины. Определить период малых колебаний груза при отсутствии упора . Массой стержня пренебречь. Указание. Пренебречь членом, содержащим множитель , считать , , .Решение задачи
Дифференциальные уравнения движения системы можно найти, воспользовавшись уравнениями Лагранжа 2-го рода
, где
- кинетическая энергия системы,
- обобщённые координаты,
- обобщённые силы.
Начнём с определения кинетической энергии:
(здесь и далее индексами "А", "D" обозначаются величины, относящиеся к тележке и грузу соответственно).
Из (1) и (2) имеем:
2. Найдём потенциальную энергию системы:
Из последних трёх равенств получим
3. Имея в виду, что
и
,
подставим равенства (3) - (7) в уравнения Лагранжа 2-го рода:
, т.е.
(8), (9) и есть искомые уравнения движения.
4. Теперь найдём период колебаний груза T. В условиях малых колебаний дифференциальные уравнения движения примут следующий вид:
Путём несложных алгебраических образований отсюда можно получить такое дифференциальное уравнение:
(10) - уравнение гармонических колебаний. Следовательно,