Мещерский 48.15 — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
(Решение частного случая)
Строка 30: Строка 30:
 
<math>\frac{d}{dt}(\frac{dT}{d\dot{φ}}) = \frac{m}{2}(2 l^2 \dot{φ} + 2 l \dot{ξ} cos(φ-α))</math>
 
<math>\frac{d}{dt}(\frac{dT}{d\dot{φ}}) = \frac{m}{2}(2 l^2 \dot{φ} + 2 l \dot{ξ} cos(φ-α))</math>
 
Подставим полученные производные в уравнение Лагранжа:
 
Подставим полученные производные в уравнение Лагранжа:
<math>m(l^2 \dot\dot{φ} + l \dot\dot{ξ} cos(φ-α)) = -m g l sinφ</math> , поделим обе части уравнения на <math>l^2</math>  и получим  
+
<math>m(l^2 {φ&#776;} + l \dot{ξ} cos(φ-α)) = -m g l sinφ</math> , поделим обе части уравнения на <math>l^2</math>  и получим  
  
<math>\dot\dot{φ} + \frac{\dot\dot{ξ}}{l} cos(φ-α)) + \frac{g}{l} sinφ = 0</math>
+
<math>\dot{φ} + \frac{\dot{ξ}}{l} cos(φ-α)) + \frac{g}{l} sinφ = 0</math>

Версия 11:24, 22 декабря 2017

Задача: С помощью языка программирования JavaScript смоделировать колебания маятника, точка подвеса которого движется по заданному закону.


Решение


Возможности программы

  • изменение угла наклона прямой

Решение частного случая

Условия задачи:

Точка подвеса маятника, состоящего из материальной точки массы [math]m[/math] на нерастяжимой нити длины [math]l[/math], движется по заданному закону [math]ξ=ξ0(t)[/math] по наклонной прямой, образующей угол [math]α[/math] с горизонтом. Составить уравнение движения маятника.

Решение:

Кинетическая энергия маятника [math]T = \frac{m{V}^2}{2}[/math] , где [math]\overline{V} = \overline{V_e} + \overline{V_r}[/math]. Здесь [math]V_e = \dot{ξ}, V_r = \dot{φ}l[/math]. Тогда квадрат скорости равен [math]{V}^2 = \dot{ξ}^2 + l^2\dot{φ}^2 + 2 l \dot{φ} \dot{ξ} cos(φ-α)[/math] и кинетическая энергия равна соответственно [math]T = \frac{m}{2}(\dot{ξ}^2 + l^2\dot{φ}^2 + 2 l \dot{φ} \dot{ξ} cos(φ-α))[/math] Потенциальная энергия будет равна [math]U = -m g l (1-cosφ)[/math] Уравнение Лагранжа для системы с одной степенью свободы имеет вид: [math]\frac{d}{dt}(\frac{dT}{d\dot{φ}}) - \frac{dT}{d{φ}}= Q[/math] Вычисляем производные, входящие в это уравнение: [math]\frac{dT}{d\dot{φ}} = \frac{m}{2}(2 l^2 \dot{φ} + 2 l \dot{ξ} cos(φ-α))[/math] [math]\frac{dT}{dφ} = 0[/math] [math]Q = \frac{dU}{dφ} = -m g l sinφ[/math] [math]\frac{d}{dt}(\frac{dT}{d\dot{φ}}) = \frac{m}{2}(2 l^2 \dot{φ} + 2 l \dot{ξ} cos(φ-α))[/math] Подставим полученные производные в уравнение Лагранжа: [math]m(l^2 {φ̈} + l \dot{ξ} cos(φ-α)) = -m g l sinφ[/math] , поделим обе части уравнения на [math]l^2[/math] и получим

[math]\dot{φ} + \frac{\dot{ξ}}{l} cos(φ-α)) + \frac{g}{l} sinφ = 0[/math]