Совершенствование алгоритмов численного моделирования в методе динамики частиц — различия между версиями
(→Модифицированный метод Рунге-Кутты) |
(→Модифицированный метод Рунге-Кутты) |
||
| Строка 5: | Строка 5: | ||
== Модифицированный метод Рунге-Кутты == | == Модифицированный метод Рунге-Кутты == | ||
| − | + | Рассмотрим задачу Коши | |
| − | + | <math> dx/dt=f(x,t) \ (1) </math> | |
| − | + | <math> x(0)=x_0 </math> | |
| − | + | Для неизвестной вектор-функции x(t), в качестве которой для примера может быть взят вектор <math> (r,v) = (x,y,z,u,v,w) </math> координат позиции и скорости тела. Данная задача может быть решена численно классическим методом Рунге-Кутты четвёртого порядка. | |
<math> k_1=Δtf(x_n,t_n ) </math> | <math> k_1=Δtf(x_n,t_n ) </math> | ||
| Строка 23: | Строка 23: | ||
<math> x_(n+1)=x_n+1/6 (k_1+2k_2+2k_3+k_4 ) </math> | <math> x_(n+1)=x_n+1/6 (k_1+2k_2+2k_3+k_4 ) </math> | ||
| − | + | По сравнению с методами Эйлера, Лагранжа и Верле, данный метод имеет более высокий порядок точности. Однако классический метод Рунге-Кутты четвёртого порядка имеет одну особенность, связанную с необходимостью вычислять функцию <math> f(x,t) </math> четыре раза за одну временную итерацию. Потому этот метод становится неэффективным в вычислительных задачах, где основное расчётное время тратится на вычисление правой части системы дифференциальных уравнений, как, например, это имеет место в случае расчёта молекулярно-динамической задачи множества частиц. Вследствие данной особенности применение метода Рунге-Кутты становится неэффективным и даже его исключительная точность теряет свою значимость. | |
| − | + | Ниже приводится модификация метода Рунге-Кутты 4 порядка, где с помощью одного хитрого приёма удаётся избежать многократного вычисления функцию <math> f(x,t) </math> на одном временном шаге и в то же время сохранить высокий порядок по времени. | |
| − | + | Идея заключается в разложении функций <math> f(x_n+k_i/2,t_n+Δt/2) </math> в ряд Тейлора в окрестности точки <math> (x_n,t_n) </math>. | |
<math> f(x_n+k_i/2,t_n+Δt/2)=∂f/∂x (x_n,t_n )∙k_i/2+ ∂f/∂t (x_n,t_n ) Δt/2+⋯ </math> | <math> f(x_n+k_i/2,t_n+Δt/2)=∂f/∂x (x_n,t_n )∙k_i/2+ ∂f/∂t (x_n,t_n ) Δt/2+⋯ </math> | ||
| − | + | Здесь присутствуют малоприятные производные, однако, как потом окажется, с ними можно будет легко разобраться. Сколько членов в разложении нужно оставить, чтобы в схеме сохранился четвёртый порядок? – До <math> (Δt)^4 </math> и <math> (k_i )^4 </math> или меньше? | |
| + | |||
| + | Для слагаемых с локальными производными по времени ответ очевиден – необходимо удерживать всё вплоть до <math> (Δt)^4 </math>, ибо в противном случае мы потеряем наш 4-й порядок по времени для схемы в целом. Однако для <math> k_i </math> на самом деле достаточно только первой производной. | ||
| + | |||
| + | В случае, когда правая часть (1) не зависит явно от времени, (3) предельно упрощается. | ||
| + | |||
| + | <math> f(x_n+k_i/2,t_n+Δt/2)=∂f/∂x (x_n,t_n )∙k_i/2 (4) </math> | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
Данная ситуация имеет место при молекулярно-динамическом моделировании, поскольку потенциал взаимодействия, как правило, является функцией только координат и скоростей частиц. | Данная ситуация имеет место при молекулярно-динамическом моделировании, поскольку потенциал взаимодействия, как правило, является функцией только координат и скоростей частиц. | ||
Версия 16:00, 16 октября 2011
Содержание
Задача
- ...
Модифицированный метод Рунге-Кутты
Рассмотрим задачу Коши
Для неизвестной вектор-функции x(t), в качестве которой для примера может быть взят вектор координат позиции и скорости тела. Данная задача может быть решена численно классическим методом Рунге-Кутты четвёртого порядка.
По сравнению с методами Эйлера, Лагранжа и Верле, данный метод имеет более высокий порядок точности. Однако классический метод Рунге-Кутты четвёртого порядка имеет одну особенность, связанную с необходимостью вычислять функцию четыре раза за одну временную итерацию. Потому этот метод становится неэффективным в вычислительных задачах, где основное расчётное время тратится на вычисление правой части системы дифференциальных уравнений, как, например, это имеет место в случае расчёта молекулярно-динамической задачи множества частиц. Вследствие данной особенности применение метода Рунге-Кутты становится неэффективным и даже его исключительная точность теряет свою значимость.
Ниже приводится модификация метода Рунге-Кутты 4 порядка, где с помощью одного хитрого приёма удаётся избежать многократного вычисления функцию на одном временном шаге и в то же время сохранить высокий порядок по времени.
Идея заключается в разложении функций в ряд Тейлора в окрестности точки .
Здесь присутствуют малоприятные производные, однако, как потом окажется, с ними можно будет легко разобраться. Сколько членов в разложении нужно оставить, чтобы в схеме сохранился четвёртый порядок? – До и или меньше?
Для слагаемых с локальными производными по времени ответ очевиден – необходимо удерживать всё вплоть до , ибо в противном случае мы потеряем наш 4-й порядок по времени для схемы в целом. Однако для на самом деле достаточно только первой производной.
В случае, когда правая часть (1) не зависит явно от времени, (3) предельно упрощается.
Данная ситуация имеет место при молекулярно-динамическом моделировании, поскольку потенциал взаимодействия, как правило, является функцией только координат и скоростей частиц.
Обезразмеривание системы как способ уменьшения накопления вычислительной ошибки
- ...
Frozen Particles & Press Particles
- ...
