Совершенствование алгоритмов численного моделирования в методе динамики частиц — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
(Модифицированный метод Рунге-Кутты)
(Модифицированный метод Рунге-Кутты)
Строка 7: Строка 7:
 
* Рассмотрим задачу Коши
 
* Рассмотрим задачу Коши
  
<math> dx/dt=f(x,t) </math>
+
<math> dx/dt=f(x,t) </math>  <math> (1) </math>
  
<math> x(0)=x_0   (1) </math>
+
<math> x(0)=x_0 </math>
  
 
* Для неизвестной вектор-функции x(t), в качестве которой для примера может быть взят вектор <math> (r,v) = (x,y,z,u,v,w) </math> координат позиции и скорости тела. Данная задача может быть решена численно классическим методом Рунге-Кутты четвёртого порядка.  
 
* Для неизвестной вектор-функции x(t), в качестве которой для примера может быть взят вектор <math> (r,v) = (x,y,z,u,v,w) </math> координат позиции и скорости тела. Данная задача может быть решена численно классическим методом Рунге-Кутты четвёртого порядка.  
Строка 21: Строка 21:
 
<math> k_4=Δtf(x_n+k_3,t_n+Δt) </math>
 
<math> k_4=Δtf(x_n+k_3,t_n+Δt) </math>
  
<math> x_(n+1)=x_n+1/6 (k_1+2k_2+2k_3+k_4 )  (2) </math>
+
<math> x_(n+1)=x_n+1/6 (k_1+2k_2+2k_3+k_4 ) </math>
  
 
* По сравнению с методами Эйлера, Лагранжа и Верле, данный метод имеет более высокий порядок точности. Однако классический метод Рунге-Кутты четвёртого порядка имеет одну особенность, связанную с необходимостью вычислять функцию <math> f(x,t) </math> четыре раза за одну временную итерацию. Потому этот метод становится неэффективным в вычислительных задачах, где основное расчётное время тратится на вычисление правой части системы дифференциальных уравнений, как, например, это имеет место в случае расчёта молекулярно-динамической задачи множества частиц. Вследствие данной особенности применение метода Рунге-Кутты становится неэффективным и даже его исключительная точность теряет свою значимость.
 
* По сравнению с методами Эйлера, Лагранжа и Верле, данный метод имеет более высокий порядок точности. Однако классический метод Рунге-Кутты четвёртого порядка имеет одну особенность, связанную с необходимостью вычислять функцию <math> f(x,t) </math> четыре раза за одну временную итерацию. Потому этот метод становится неэффективным в вычислительных задачах, где основное расчётное время тратится на вычисление правой части системы дифференциальных уравнений, как, например, это имеет место в случае расчёта молекулярно-динамической задачи множества частиц. Вследствие данной особенности применение метода Рунге-Кутты становится неэффективным и даже его исключительная точность теряет свою значимость.
 +
 
* Ниже приводится модификация метода Рунге-Кутты 4 порядка, где с помощью одного хитрого приёма удаётся избежать многократного вычисления функцию <math> f(x,t) </math> на одном временном шаге и в то же время сохранить высокий порядок по времени.
 
* Ниже приводится модификация метода Рунге-Кутты 4 порядка, где с помощью одного хитрого приёма удаётся избежать многократного вычисления функцию <math> f(x,t) </math> на одном временном шаге и в то же время сохранить высокий порядок по времени.
 +
 +
* Идея заключается в разложении функций <math> f(x_n+k_i/2,t_n+Δt/2) </math> в ряд Тейлора в окрестности точки <math> (x_n,t_n) </math>.
 +
 +
<math> f(x_n+k_i/2,t_n+Δt/2)=∂f/∂x (x_n,t_n )∙k_i/2+  ∂f/∂t (x_n,t_n )  Δt/2+⋯ </math>
 +
 +
* Здесь присутствуют малоприятные производные, однако, как потом окажется, с ними можно будет легко разобраться. Сколько членов в разложении нужно оставить, чтобы в схеме сохранился четвёртый порядок? – До <math> (Δt)^4 </math> и <math> (k_i )^4 </math> или меньше?
 +
 +
* Для слагаемых с локальными производными по времени ответ очевиден – необходимо удерживать всё вплоть до <math> (Δt)^4 </math>, ибо в противном случае мы потеряем наш 4-й порядок по времени для схемы в целом. Однако для <math> k_i </math> на самом деле достаточно только первой производной.
 +
* В случае, когда правая часть (1) не зависит явно от времени, (3) предельно упрощается.
 +
f(x_n+k_i/2,t_n+Δt/2)=∂f/∂x (x_n,t_n )∙k_i/2 (4)
 +
Данная ситуация имеет место при молекулярно-динамическом моделировании, поскольку потенциал взаимодействия, как правило, является функцией только координат и скоростей частиц.
  
 
== Обезразмеривание системы как способ уменьшения накопления вычислительной ошибки ==
 
== Обезразмеривание системы как способ уменьшения накопления вычислительной ошибки ==

Версия 15:54, 16 октября 2011

Задача

  • ...

Модифицированный метод Рунге-Кутты

  • Рассмотрим задачу Коши

[math] dx/dt=f(x,t) [/math] [math] (1) [/math]

[math] x(0)=x_0 [/math]

  • Для неизвестной вектор-функции x(t), в качестве которой для примера может быть взят вектор [math] (r,v) = (x,y,z,u,v,w) [/math] координат позиции и скорости тела. Данная задача может быть решена численно классическим методом Рунге-Кутты четвёртого порядка.

[math] k_1=Δtf(x_n,t_n ) [/math]

[math] k_2=Δtf(x_n+k_1/2,t_n+Δt/2) [/math]

[math] k_3=Δtf(x_n+k_2/2,t_n+Δt/2) [/math]

[math] k_4=Δtf(x_n+k_3,t_n+Δt) [/math]

[math] x_(n+1)=x_n+1/6 (k_1+2k_2+2k_3+k_4 ) [/math]

  • По сравнению с методами Эйлера, Лагранжа и Верле, данный метод имеет более высокий порядок точности. Однако классический метод Рунге-Кутты четвёртого порядка имеет одну особенность, связанную с необходимостью вычислять функцию [math] f(x,t) [/math] четыре раза за одну временную итерацию. Потому этот метод становится неэффективным в вычислительных задачах, где основное расчётное время тратится на вычисление правой части системы дифференциальных уравнений, как, например, это имеет место в случае расчёта молекулярно-динамической задачи множества частиц. Вследствие данной особенности применение метода Рунге-Кутты становится неэффективным и даже его исключительная точность теряет свою значимость.
  • Ниже приводится модификация метода Рунге-Кутты 4 порядка, где с помощью одного хитрого приёма удаётся избежать многократного вычисления функцию [math] f(x,t) [/math] на одном временном шаге и в то же время сохранить высокий порядок по времени.
  • Идея заключается в разложении функций [math] f(x_n+k_i/2,t_n+Δt/2) [/math] в ряд Тейлора в окрестности точки [math] (x_n,t_n) [/math].

[math] f(x_n+k_i/2,t_n+Δt/2)=∂f/∂x (x_n,t_n )∙k_i/2+ ∂f/∂t (x_n,t_n ) Δt/2+⋯ [/math]

  • Здесь присутствуют малоприятные производные, однако, как потом окажется, с ними можно будет легко разобраться. Сколько членов в разложении нужно оставить, чтобы в схеме сохранился четвёртый порядок? – До [math] (Δt)^4 [/math] и [math] (k_i )^4 [/math] или меньше?
  • Для слагаемых с локальными производными по времени ответ очевиден – необходимо удерживать всё вплоть до [math] (Δt)^4 [/math], ибо в противном случае мы потеряем наш 4-й порядок по времени для схемы в целом. Однако для [math] k_i [/math] на самом деле достаточно только первой производной.
  • В случае, когда правая часть (1) не зависит явно от времени, (3) предельно упрощается.

f(x_n+k_i/2,t_n+Δt/2)=∂f/∂x (x_n,t_n )∙k_i/2 (4) Данная ситуация имеет место при молекулярно-динамическом моделировании, поскольку потенциал взаимодействия, как правило, является функцией только координат и скоростей частиц.

Обезразмеривание системы как способ уменьшения накопления вычислительной ошибки

  • ...

Frozen Particles & Press Particles

  • ...