Определение эффективных упругих характеристик в материале с трещинами — различия между версиями

Текущая версия на 19:59, 15 июня 2017

МАГИСТЕРСКАЯ РАБОТА
Автор работы: Р. Л. Лапин
Руководитель: доцент кафедры ТМ В. А. Кузькин

Введение[править]

Задачи связанные с учетом трещин в материале исследуются в различных научных областях:

• Механика твердого тела
• Геология
• Механика материалов
• Нефтедобыча и газодобыча

Включения (трещины, поры) могут значительно влиять на эффективные модули материала – уменьшать компоненты тензора жесткости в несколько раз. Определение эффективных характеристик является важной задачей. Первым приближением является приближение невзаимодействия - каждая трещина считается изолированной, и не чувствует влияния соседних трещин. Результаты полученные с помощью данного метода могут значительно отличаться от полученных другими методами. Однако, в приближении невзаимодействия доказано - материал с трещинами при любой конфигурации трещин является ортотропным. Важным вопросом является вопрос - будет ли он ортотропным при учете взаимодействия.

Постановка задачи[править]

Исследуется материал со случайно расположенными трещинами в плоско-деформированной постановке. Характеристикой трещин является плотность [math]\rho = \frac{Nl^2}{4A} [/math], где [math]N [/math] - число трещин, [math]l[/math] - длина трещины, [math] A [/math] - площадь рассматриваемой области. Цель данной работы

• Реализовать метода разрывных смещений на языке С++ для решения задач напряженно-деформированного состояния материала с различными конфигурациями при различных нагрузках.
• Провести серию расчетов для различных постановок, с целью определения отклонения тензора податливости от ортотропного
  • Семейство параллельных трещин
  • Два семейства параллельных трещин при различных наклонах
  • Три семейства параллельных трещин
• Определить углы ортотропии для постановок в которых отсутствует геометрическая ортотропия
• Проанализировать полученные результаты.

Для каждой постановки рассматривается диапазон плотностей [math]\rho = [0.01;0.8][/math]. Для каждой плотности проводится операция усреднения - проводится 450-650 расчетов с различными конфигурациями.

Создание начальных конфигураций[править]

Пример конфигурации трещин

Пример плохой конфигурации трещин с раскрытием трещин

Пример хорошей конфигурации

В ходе работы над задачей возникла проблема создания начальных конфигураций. При близком расположении трещин численный метод (метод разрывных смещений) неустойчив. В виду этого было определено минимальное расстояние достаточное для устойчивости - 0,1 длины трещины. Использование данного ограничения значительно улучшает результаты.

Оценка ортотропности[править]

Отклонения для семейства параллельных трещин

Отклонения для семейства параллельных трещин

Вычисленный тензор податливости может отличаться от ортотропности, для оценки используется оценка [math]\delta = \sqrt{\frac{(S_{ijkl}-S_{ijkl}^{ort})(S_{ijkl}-S_{ijkl}^{ort})}{S_{prqs}S_{prqs}}}[/math]

Результаты отклонения тензора податливости дял семейства параллельных трещин не превышает 3%.

Определение углов ортотропии[править]

Углы ортотропии могут отличаться от начальных осей. Для определения углов ортотропии предполагается минимум отклонения тензора податливости от ортотропного. Для поворота тензора подаливости используется тензор поворота, в матричном виде он имеет вид

[math]F = \begin{pmatrix} \cos \alpha^2 & \sin \alpha^2 & \sin 2\alpha \\ \sin \alpha^2 & \cos \alpha^2 & -\sin 2\alpha \\ -\frac{\sin \alpha}{2} & -\frac{\sin \alpha}{2} & \cos 2\alpha \end{pmatrix}[/math]

Для постановок двух и трех семейств трещин определены углы поворота к осям ортотропии

• Для двух семейств:
  • Для наклоненных под углом [math]30^0[/math] - [math]9.5^0[/math]
  • Для наклоненных под углом [math]15^0[/math] - [math]5^0[/math]
  • Для наклоненных под углом [math]40^0[/math] - [math]18^0[/math]
• Для трех семейств - [math]15^0[/math]

Углы к осям ортотропии для двух семейств трещин, наклоненных под углом 30 градусов

Углы к осям ортотропии для трех семейств трещин

Отклонение тензора податливости для всех постановок не превышает 5%.

Отклонение от ортотропного тензора для двух семейств трещин, наклоненных под углом 30 градусов

Отклонение от ортотропного тензора для трех семейств трещин

Выводы[править]

В ходе работы были решены сразу несколько задач:

В работе над данной задаче были получены следующие результаты:

• Реализован метод разрывных смещений на языке С++ в виде вычислительного модуля для определения эффективных свойств материала с трещинами, позволяющий решать задачи в различных постановках
• Проведено тестирование метода для задачи об одной трещине под растягивающей внешней нагрузкой. Отклонение полученных результатов от аналитического решения для среднего раскрытия не превышает 3%.
• Решена задача создания начальных конфигураций. Определено минимальное расстояние между трещинами, позволяющее повысить устойчивость численного метода. Данное расстояние соответствует 0.1 длины трещины.
• Проведено сравнение численных значений компонент тензора жесткости для задачи о параллельных трещинах с известными решениями [1]. Получено хорошее качественное совпадение.
• Для задачи двух семейств трещин, наклоненных под углом 300, определены углы поворота к осям ортотропии. Полученные результаты хорошо согласуются с известным аналитическим решением [3].
• Определены углы поворота к осям ортотропии для постановок, в которых отсутствует геометрическая ортотропия. В частности, для задачи двух семейств трещин, наклоненных под углом [math]30^0[/math] – угол поворота [math]9^0[/math], наклоненных [math]15^0[/math] – [math]5^0[/math], наклоненных [math]40^0[/math] – [math]18^0[/math]. Для трех семейств трещин угол поворота – [math]15^0[/math].
• Рассмотрены несколько постановок с различными семействами трещин (5 различных постановок) при различных плотностях. Для каждой плотности проведено 450 расчетов для реализации операции усреднения.
• Исследовано влияние взаимодействия трещин на орторопные свойства материала с трещинами при различных постановках. Даже в материале, в котором отсутствует геометрическая ортотропия, наблюдается незначительное влияние взаимодействия –5%.

Материалы работы[править]

Материал, посвященный работе.

• Презентация работы(pdf)
• Превью(pdf)
• Плакат(pdf)

Литература[править]

1) VI Kushch, I Sevostianov, L Mishnaevsky, «Effect of crack orientation statistics on effective stiffness of mircocracked solid,» International Journal of Solids and Structures, т. vol.46, pp. 1574-1588, 2009.

2) Bernarn Budiamsky,Richard J. O'Connell, «Elastic moduli of a cracked solid,» International journal of Solids and structures, № 12, pp. 81-97, 1976.

3)M.Kachanov, «Elastic solids with many cracks and related problems,» ADVANCES IN APPLIED MECHANIC, т. vol.30, pp. 260-438, 1993.

4)Vladimir Grechka,Mark Kachanov, «Effective elasticity of rocks with closely spaced and intersecting cracks,» GEOPHYSICS, т. 71, № 3, pp. D85-D91, 2006.

5)Erik H. Saenger,Oliver S. Kruger and Serge A. Shapiro, «Effective elastic properties of randomly fractured soils: 3D numerical experiments,» Geophysical Prospecting, № 52, pp. 183-195, 2004.

6) Y.J. Liu, X.L. Chen, «Evaluations of the effective material properties of carbon nanotube-based composites using a nanoscale representative volume element,» Mechanics of Materials, № 35, pp. 69-81, 2003.

7) Y. BENVENISTE, «A new approach to the application of Mori-Tanaka's theory in composite materials,» Mechanics of Materials, № 6, pp. 147-157, 1987.

8) И. Баюк, «Основные принципы математического моделирования макроскопических физических свойств коллекторов углеводородов,» Seismic Technology , № 10, pp. 5-18, 2011.

9) И. Баюк, «Междисциплинарный подход к определению эффективных физических свойств коллекторов,» в Galperin Readings 2011 , Galperin , 2011.

10) Igor Sevostianov, Mark Kachanov, «On approximate symmetries of the elastic properties and elliptic orthotropy,» International Journal of Engineering Science, № 46, pp. 211-223, 2008.

11) M.Kachanov, «Effective elastic properties of cracked solids: critical review of some basic concepts,» Appl Mech Rev, № vol. 45, pp. 304-305, 1992.

12) Crouch S.L., Starfield A.M, «Boundary Element Methods in Solid Mechanics: with Applications in Rock Mechanics and Geological Engineering,» George Allen and Union, p. 322, 1983.

13) K. J. Willam, «Advanced Mechanics of Materials,» CVEN 5161, 2003.