Определение эффективных упругих характеристик в материале с трещинами — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «'''МАГИСТЕРСКАЯ РАБОТА'''<br> ''Автор работы'': Р. Л. Лапин<br> ''Руководитель'': …»)
 
 
(не показаны 4 промежуточные версии этого же участника)
Строка 12: Строка 12:
 
Включения (трещины, поры) могут значительно влиять на эффективные модули материала – уменьшать компоненты тензора жесткости в несколько раз.
 
Включения (трещины, поры) могут значительно влиять на эффективные модули материала – уменьшать компоненты тензора жесткости в несколько раз.
 
Определение эффективных характеристик является важной задачей. Первым приближением является приближение невзаимодействия - каждая трещина считается изолированной, и не чувствует влияния соседних трещин. Результаты полученные с помощью данного метода могут значительно отличаться от полученных другими методами. Однако, в приближении невзаимодействия доказано - материал с трещинами при любой конфигурации трещин является ортотропным. Важным вопросом является вопрос - будет ли он ортотропным при учете взаимодействия.
 
Определение эффективных характеристик является важной задачей. Первым приближением является приближение невзаимодействия - каждая трещина считается изолированной, и не чувствует влияния соседних трещин. Результаты полученные с помощью данного метода могут значительно отличаться от полученных другими методами. Однако, в приближении невзаимодействия доказано - материал с трещинами при любой конфигурации трещин является ортотропным. Важным вопросом является вопрос - будет ли он ортотропным при учете взаимодействия.
−
 
  
 
==Постановка задачи==
 
==Постановка задачи==
  
 
Исследуется материал со случайно расположенными трещинами в плоско-деформированной постановке. Характеристикой трещин является плотность
 
Исследуется материал со случайно расположенными трещинами в плоско-деформированной постановке. Характеристикой трещин является плотность
−
<math>\rho &= \frac{Nl^2}{4A}</math>, где <math>N</math> - число трещин, <math>l</math> - длина трещины, <math>A</math> - площадь рассматриваемой области.   
+
<math>\rho = \frac{Nl^2}{4A} </math>, где <math>N </math> - число трещин, <math>l</math> - длина трещины, <math> A </math> - площадь рассматриваемой области.   
−
Цель данной работы:
+
Цель данной работы
 
*Реализовать метода разрывных смещений на языке С++ для решения задач напряженно-деформированного состояния материала с различными конфигурациями при различных нагрузках.
 
*Реализовать метода разрывных смещений на языке С++ для решения задач напряженно-деформированного состояния материала с различными конфигурациями при различных нагрузках.
 
*Провести серию расчетов для различных постановок, с целью определения отклонения тензора податливости от ортотропного
 
*Провести серию расчетов для различных постановок, с целью определения отклонения тензора податливости от ортотропного
Строка 26: Строка 25:
 
*Определить углы ортотропии для постановок в которых отсутствует геометрическая ортотропия
 
*Определить углы ортотропии для постановок в которых отсутствует геометрическая ортотропия
 
*Проанализировать полученные результаты.
 
*Проанализировать полученные результаты.
−
Для каждой постановки рассматривается диапазон плотностей <math>\rho &= [0.01;0.8]</math>. Для каждой плотности проводится операция усреднения - проводится 450-650 расчетов с различными конфигурациями.
+
Для каждой постановки рассматривается диапазон плотностей <math>\rho = [0.01;0.8]</math>. Для каждой плотности проводится операция усреднения - проводится 450-650 расчетов с различными конфигурациями.
  
 
==Создание начальных конфигураций==
 
==Создание начальных конфигураций==
−
[[Файл:Config example.PNG|200px|thumb|right|Пример конфигурации трещин]]
+
{|align="right"
−
[[Файл:Bad_config.bmp|200px|thumb|right|Пример плохой конфигурации трещин с раскрытием трещин]]
+
|-valign="top"
−
[[Файл:Good_conf.bmp.jpg‎|200px|thumb|right|Пример хорошей конфигурации]]
+
|[[Файл:Config example.PNG|200px|thumb|right|Пример конфигурации трещин]]
−
В ходе работы над задачей возникла проблема созданяи начальных конфигураций. При близком расположении трещин численный метод (метод разрывных смещений) неустойчив. В виду этого было определено минимальное расстояние достаточное для устойчивости - 0,1 длины трещины. Использование данного ограничения значительно улучшает результаты.  
+
|[[Файл:Bad_config.bmp|200px|thumb|right|Пример плохой конфигурации трещин с раскрытием трещин]]
 +
|[[Файл:Good_conf.bmp|200px|thumb|right|Пример хорошей конфигурации]]
 +
|}
 +
В ходе работы над задачей возникла проблема создания начальных конфигураций. При близком расположении трещин численный метод (метод разрывных смещений) неустойчив. В виду этого было определено минимальное расстояние достаточное для устойчивости - 0,1 длины трещины. Использование данного ограничения значительно улучшает результаты.  
 +
 
 +
==Оценка ортотропности==
  
−
===Оценка ортотропности===
+
[[Файл:S_allComponents.bmp|350px|thumb|right|Отклонения для семейства параллельных трещин]]
  
 +
[[Файл:ErrorParWithPoints.bmp|200px|thumb|right|Отклонения для семейства параллельных трещин]]
 
Вычисленный тензор податливости может отличаться от ортотропности, для оценки используется оценка  
 
Вычисленный тензор податливости может отличаться от ортотропности, для оценки используется оценка  
−
<math>\delta &= \sqrt{\frac{(S_{ijkl}-S_{ijkl}^{ort})(S_{ijkl}-S_{ijkl}^{ort})}{S_{prqs}S_{prqs}}}</math>
+
<math>\delta = \sqrt{\frac{(S_{ijkl}-S_{ijkl}^{ort})(S_{ijkl}-S_{ijkl}^{ort})}{S_{prqs}S_{prqs}}}</math>
  
−
<math> p \ = 1 - 6\frac{\sum{d}}{n^3-n}, p \in [-1; 1]</math>
+
Результаты отклонения тензора податливости дял семейства параллельных трещин не превышает 3%.
−
 
−
Где <math>d</math> - разность рангов величин взятых по одному из наборов данных для которых применяется анализ.  
 
  
−
Значения коэффициента Спирмена близкое по модулю к <math>1</math> говорит о том, что две величины зависят друг от друга. Значение близкое к <math>0</math> говорит о независимости величин.
 
  
−
По результатам анализа был проведен отбор датчиков, которые можно считать хорошо работающими.
+
==Определение углов ортотропии==
  
−
===Регрессионный анализ===
+
Углы ортотропии могут отличаться от начальных осей. Для определения углов ортотропии предполагается минимум отклонения тензора податливости от ортотропного.
 +
Для поворота тензора подаливости используется тензор поворота, в матричном виде он имеет вид
  
−
Для датчиков, которые удовлетворили корреляционному анализу была найдена модель зависимости показаний от УВБ. Метод решения этйо задачи регрессионный анализ.
+
<math>F = \begin{pmatrix} \cos \alpha^2  & \sin \alpha^2 & \sin 2\alpha \\ \sin \alpha^2  & \cos \alpha^2 & -\sin 2\alpha \\ -\frac{\sin \alpha}{2}  & -\frac{\sin \alpha}{2} & \cos 2\alpha \end{pmatrix}</math>
  
−
Его идея в том, что для набора величин  <math>(X; Y)</math> составляется предположительный вид зависимости, в данной работе полиномиальный <math>\bar{y} = a_0x^n+a_1x^{n-1}+...a_{n-1}x+a_n</math>. Затем, для нахождения неизвестных коэффициентов <math>a_i</math> используется метод наименьших квадратов. Строится функционал невязки <math> I= \sum{(\bar{y}(x_i)-y_i})</math>. От которого беруться производные от <math>a_i</math> и приравниваются к <math>0</math>. В итоге получается линейная <math>n</math>-мерная система относительно <math>n</math> неизвестных, из которой находятся коэффициенты <math>a_i</math>.
+
Для постановок двух и трех семейств трещин определены углы поворота к осям ортотропии
 +
*Для двух семейств:
 +
**Для наклоненных под углом <math>30^0</math> - <math>9.5^0</math>
 +
**Для наклоненных под углом <math>15^0</math> - <math>5^0</math>
 +
**Для наклоненных под углом <math>40^0</math> - <math>18^0</math>
 +
*Для трех семейств - <math>15^0</math>
  
−
В данной работе использовался линейный и квадратичный вид зависимости.
+
{|align="right"
 +
|-valign="top"
 +
|[[Файл:Ort_2fam30Alpha.bmp|200px|thumb|right|Углы к осям ортотропии для двух семейств трещин, наклоненных под углом 30 градусов]]
 +
|[[Файл:Ort_3_fam_alpha.bmp|200px|thumb|right|Углы к осям ортотропии для трех семейств трещин]]
 +
|}
  
−
==Модель материала==
+
Отклонение тензора податливости для всех постановок не превышает 5%.
  
−
Модель материала, имеющего в структуре трещины, основана на модели пороупругого материала. Опишем систему уравнений, задающих модель.
+
[[Файл:Err2Fam30withPoints.bmp|200px|thumb|right|Отклонение от ортотропного тензора  для двух семейств трещин, наклоненных под углом 30 градусов]]
 +
[[Файл:Ort_3fam_err.bmp|200px|thumb|right|Отклонение от ортотропного тензора для трех семейств трещин]]
  
−
Одним из уравнений является уравнение равновесия: <math>\nabla\cdot\boldsymbol{\sigma} = 0</math>
 
  
−
Тензор напряжений расписывается согласно принципу эффективных напряжений:
+
==Выводы==
  
−
<math>\boldsymbol{\sigma} = (1-m)\boldsymbol{\sigma^*}+m(sp_ж+(1-s)p_г)\boldsymbol{E}</math>
+
В ходе работы были решены сразу несколько задач:
  
−
Где <math>\boldsymbol{\sigma^*}</math> - напряжения в скелете материла, которые подчиняются линейной теории упругости; <math>m</math> - пористость материала; <math>s</math> - сатурация материала.  
+
В работе над данной задаче были получены следующие результаты:
 +
*Реализован метод разрывных смещений на языке С++ в виде вычислительного модуля для определения эффективных свойств материала с трещинами, позволяющий решать задачи в различных постановках
 +
*Проведено тестирование метода для задачи об одной трещине под растягивающей внешней нагрузкой. Отклонение полученных результатов от аналитического решения для среднего раскрытия не превышает 3%.
 +
*Решена задача создания начальных конфигураций. Определено минимальное расстояние между трещинами, позволяющее повысить устойчивость численного метода. Данное расстояние соответствует 0.1 длины трещины.
 +
*Проведено сравнение численных значений компонент тензора жесткости для задачи о параллельных трещинах с известными решениями [1]. Получено хорошее качественное совпадение.
 +
*Для задачи двух семейств трещин, наклоненных под углом 300, определены углы поворота к осям ортотропии. Полученные результаты хорошо согласуются с известным аналитическим решением [3].
 +
*Определены углы поворота к осям ортотропии для постановок, в которых отсутствует геометрическая ортотропия. В частности, для задачи двух семейств трещин, наклоненных под углом <math>30^0</math> – угол поворота <math>9^0</math>, наклоненных <math>15^0</math> – <math>5^0</math>, наклоненных <math>40^0</math> – <math>18^0</math>. Для трех семейств трещин угол поворота – <math>15^0</math>.
 +
*Рассмотрены несколько постановок с различными семействами трещин (5 различных постановок) при различных плотностях. Для каждой плотности проведено 450 расчетов для реализации операции усреднения.
 +
*Исследовано влияние взаимодействия трещин на орторопные свойства материала с трещинами при различных постановках. Даже в материале, в котором отсутствует геометрическая ортотропия, наблюдается незначительное влияние взаимодействия –5%.
  
−
На первоначальном этапе считается, что материал обладает стопроцентной сатурацией, то есть <math>s = 1</math>. Тогда тензор напряжений принимает вид:
+
==Материалы работы==
 +
Материал, посвященный работе.
 +
*'''[[Медиа:NIR_bakalavrskayLapinR.pdf|Презентация работы(pdf)]]'''
 +
*'''[[Медиа:SlideLapinRL_magistr.pdf|Превью(pdf)]]'''
 +
*'''[[Медиа:PosterMagistrLapinRL.pdf|Плакат(pdf)]]'''
  
−
<math>\boldsymbol{\sigma} = (1-m)\boldsymbol{\sigma^*}+mp_ж\boldsymbol{E}</math>
+
==Литература==
  
−
Для описания движения жидкости в материале используется закон Дарси:
+
1) VI Kushch, I Sevostianov, L Mishnaevsky, «Effect of crack orientation statistics on effective stiffness of mircocracked solid,» International Journal of Solids and Structures, т. vol.46, pp. 1574-1588, 2009.
  
−
<math>\bar{w} = -k_*grad(p_ж)</math>
+
2) Bernarn Budiamsky,Richard J. O'Connell, «Elastic moduli of a cracked solid,» International journal of Solids and structures, № 12, pp. 81-97, 1976.
  
−
Где<math>k_*</math> коэффициент проводимости материала.  
+
3)M.Kachanov, «Elastic solids with many cracks and related problems,» ADVANCES IN APPLIED MECHANIC, т. vol.30, pp. 260-438, 1993.
−
 
−
Последним уравнением, замыкающим систему является уравнение неразрывности:
 
  
−
<math> div(\rho\bar{w})=0</math>
+
4)Vladimir Grechka,Mark Kachanov, «Effective elasticity of rocks with closely spaced and intersecting cracks,» GEOPHYSICS, т. 71, № 3, pp. D85-D91, 2006.
  
−
Эти уравнения образуют систему относительно <math>\boldsymbol{\sigma^*}, p_ж</math>.
+
5)Erik H. Saenger,Oliver S. Kruger and Serge A. Shapiro, «Effective elastic properties of randomly fractured soils: 3D numerical experiments,» Geophysical Prospecting, № 52, pp. 183-195, 2004.
  
−
==Результаты моделирования==
+
6) Y.J. Liu, X.L. Chen, «Evaluations of the effective material properties of carbon nanotube-based composites using a nanoscale representative volume element,» Mechanics of Materials, № 35, pp. 69-81, 2003.
  
−
[[Файл:Napryageniya.jpg‎|200px|thumb|right|Напряжения при третьей постановке]]
+
7) Y. BENVENISTE, «A new approach to the application of Mori-Tanaka's theory in composite materials,» Mechanics of Materials, № 6, pp. 147-157, 1987.
−
[[Файл:Porovoe.jpg|200px|thumb|right|Пьезометрическое давление при третьей постановке]]
 
−
[[Файл:Diff postanovki.jpg|200px|thumb|right|Эпюры поровых давлений для разных постановок с глубине 1 метр]]
 
−
В ходе моделирования решалась статическая задача, так же заметим что модель двумерная.  
 
−
Моделирование происходило в трех различных постановках
 
−
*Без учета УНБ
 
−
*С учетом УНБ
 
−
*С учетом УНБ и противофильтрационной завесы
 
  
−
Наличие нескольких постановок связано с тем, что в начале исследования не было понятно какие параметры влияют на результат.
+
8) И. Баюк, «Основные принципы математического моделирования макроскопических физических свойств коллекторов углеводородов,» Seismic Technology , № 10, pp. 5-18, 2011.
  
−
В результате моделирования полученным поля  напряжений, перемещений и пьезометрического давления для всех трех постановок.
+
9) И. Баюк, «Междисциплинарный подход к определению эффективных физических свойств коллекторов,» в Galperin Readings 2011 , Galperin , 2011.
  
 +
10) Igor Sevostianov, Mark Kachanov, «On approximate symmetries of the elastic properties and elliptic orthotropy,» International Journal of Engineering Science, № 46, pp. 211-223, 2008.
  
−
Наиболее интересной зоной при моделировании был зона на расстоянии 1 метр от уровня земли. Эта зоня ялвляется зоной наиболее большого количества датчиков, а так же потому что она является стыком двух типов материалов - бетона и грунта.
+
11) M.Kachanov, «Effective elastic properties of cracked solids: critical review of some basic concepts,» Appl Mech Rev, № vol. 45, pp. 304-305, 1992.
  
−
В результате работы исследовано распределение порового давление на этой глубине вдоль оси параллельной земле.
+
12) Crouch S.L., Starfield A.M, «Boundary Element Methods in Solid Mechanics: with Applications in Rock Mechanics and Geological Engineering,» George Allen and Union, p. 322, 1983.
−
Наблюдается уменьшение давление с движением от УВБ. Так же нужно заметить, что противофильтрационная завеса создает резкое понижение порового давления. Отметим, что в удалении от стенки графики практически совпадают.
 
−
 
 
−
 
 
−
==Сравнение результатов модели с результатами эксперимента==
 
−
===Анализ датчиков, расположенных на одинаковом расстоянии от центра кривизны плотины===
 
−
[[Файл:ModelExper.jpg|200px|thumb|right|Сравнение модели и эксперемента]]
 
−
Для сравнения результатов моделирования и натурных данных использовались показания датчиков для 33 секции плотины Саяно-Шушенской ГЭС.
 
−
При сравнении показаний и результатов моделирования в третьей постановке выяснилось, что модель количественно и качественно совпадает с натурными данными.
 
−
 
 
−
==Выводы==
 
−
 
 
−
В ходе работы были решены сразу несколько задач:
 
−
 
 
−
1) Обработаны экспериментальные данные датчиков в плотине. Реализована схема отсеивания датчиков показывающие неразумные значения. А на показаниях хорошо работающих датчиков построены модели зависимостей порового давления от уровня УВБ.
 
−
 
 
−
2) Реализована модель пороупругого материала для бетона в вычислительном пакете SIMULIA ABAQUS. Получены результаты для различных постановок задачи. Проведено сравнение результатов от постановки задачи. Исследована зависимость порового давления от УВБ.
 
−
 
 
−
3) Исследовано влияние угловой координаты на показания датчиков. Определено, что на показания влияет лишь высота расположения датчика и расстояние до центра кривизны плотины.
 
−
 
 
−
4) Проведено сравнение исследуемой модели и экспериментальных данных для 33 секции плотины.
 
−
 
 
−
По результатам данной работы можно сделать несколько выводов.
 
−
 
 
−
Во-первых, для сравнения результатов моделирования и реального материала в исследуемой плотине находится недостаточное количество датчиков. Так же возникает проблема, что находящиеся в плотине датчики расположены группами, но не по всему телу плотины, а лишь в определённых областях. Отсюда возникает затруднения при анализе эксперимента и сравнении его с результатами моделирования, так что делать каких-то уверенных выводов нельзя. Для полной уверенности нужно либо больше датчиков, либо сравнение моделирования и эксперимента нужно проводить по показаниям других групп датчиков, например, расходометрам, наклономеров, деформометров. Кроме того, можно пользоваться лабораторным экспериментом, выполненным с керном, изъятым из тела плотины, и моделированием этого лабораторного эксперимента. Это одно из направлений дальнейшего исследования.
 
−
 
 
−
Во-вторых, данная модель согласуется с экспериментом. Особенно хорошо, она описывает область вблизи противофильтрационной завесы плотины. Здесь наблюдается количественное и качественное совпадение. Но имеются расхождения в отдалении от нее.
 
−
Одним из вариантов доработки модели является более точное описание материала бетона. Например, замена постоянной пористости, на некую функции зависящую от различных параметров: координаты, напряжения, температуры и так далее.
 
−
Еще одним из направлений развития является оценка напряженно – деформированного состояния сооружений под действием землетрясения с учетом рассмотренных факторов, в том числе влияния поровой жидкости. Особый интерес данной проблемой, вызван появлением во время землетрясения новых трещин в сооружении и фильтрации жидкости в них изменения свойств и параметров сооружений. 
 
−
Реализация этих направлений является дальнейшим планом развития работы.
 
−
 
 
−
==Материалы работы==
 
−
*'''[[Медиа:NIR_bakalavrskayLapinR.pdf|Презентация работы(pdf)]]'''
 
−
*'''[[Медиа:Lapin-preview.pdf|Превью(pdf)]]'''
 
−
*'''[[Медиа:PosterPoBakalavrskoiLapinR.pdf|Плакат(pdf)]]'''
 
−
 
 
−
==Литература==
 
  
−
*К.С. Басниев, А.М. Власов, И.Н. Кочина, В.М. Максимов. Подземная гидравлика. Учебник для ВУЗов – 1986г. 306 с.
+
13) K. J. Willam, «Advanced Mechanics of Materials,» CVEN 5161, 2003.
−
* J.F. Shao, Y. Jia, D. Kondo,  A.S. Chiarelli. A coupled elastoplastic damage model for semi-brittle materials and extension to unsaturated conditions – 2004г.
 
−
*М.Н.Ваучский, Ю.В.Добрица, А.П.Смирнов О.И.Канинский К вопросу о фильтрационных характеристиках бетона – 1998г.
 
−
*Н.А. Вульфович, Л.А. Гордон, Н.И. Стефаненко. Арочно-гравитационная плотина Саяно – Шушенской ГЭС. Оценка технического состояния по данным натурных наблюдений – 2012г.
 
−
*Е.Л. Косарев. Методы обработки экспериментальных данных – М.: ФИЗМАЛИТ – 2008, 208 с.
 
−
*Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Теория вероятностей и прикладная статистика – М.: ЮНИТИ-ЛАНА – 2001г. 656 с.
 
−
*Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ: В 2-х кн. Кн. 1 / Пер. с англ. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 1986г.– 366 с.
 
−
*M. A. Blot General Theory of Three-Dimensional Consolidation – 1940 г.
 
−
*Alan W. Bishop. The principle of the effective stress – 1960г.
 
−
*Clayton, C.R.I., Steinhagen, Muller, Steinhagin, H.M., Powrie, W., Terzaghi, K. and Skempton, A.W. Terzaghi's theory of consolidation and the discovery of effective stress. (Compiled from the work of K. Trzaghi and A.W. Skempton). Proceedings of the ICE - Geotechnical Engineering, 113, (4) – 1995г., 191-205.
 
−
*Simulia Abaqus Theory Manual 6.11 – 2011г.
 
−
*Г. Стренг, Дж. Фикс - Теория метода конечных элементов – 1973 г.
 

Текущая версия на 19:59, 15 июня 2017

МАГИСТЕРСКАЯ РАБОТА
Автор работы: Р. Л. Лапин
Руководитель: доцент кафедры ТМ В. А. Кузькин

Введение[править]

Задачи связанные с учетом трещин в материале исследуются в различных научных областях:

  • Механика твердого тела
  • Геология
  • Механика материалов
  • Нефтедобыча и газодобыча

Включения (трещины, поры) могут значительно влиять на эффективные модули материала – уменьшать компоненты тензора жесткости в несколько раз. Определение эффективных характеристик является важной задачей. Первым приближением является приближение невзаимодействия - каждая трещина считается изолированной, и не чувствует влияния соседних трещин. Результаты полученные с помощью данного метода могут значительно отличаться от полученных другими методами. Однако, в приближении невзаимодействия доказано - материал с трещинами при любой конфигурации трещин является ортотропным. Важным вопросом является вопрос - будет ли он ортотропным при учете взаимодействия.

Постановка задачи[править]

Исследуется материал со случайно расположенными трещинами в плоско-деформированной постановке. Характеристикой трещин является плотность [math]\rho = \frac{Nl^2}{4A} [/math], где [math]N [/math] - число трещин, [math]l[/math] - длина трещины, [math] A [/math] - площадь рассматриваемой области. Цель данной работы

  • Реализовать метода разрывных смещений на языке С++ для решения задач напряженно-деформированного состояния материала с различными конфигурациями при различных нагрузках.
  • Провести серию расчетов для различных постановок, с целью определения отклонения тензора податливости от ортотропного
    • Семейство параллельных трещин
    • Два семейства параллельных трещин при различных наклонах
    • Три семейства параллельных трещин
  • Определить углы ортотропии для постановок в которых отсутствует геометрическая ортотропия
  • Проанализировать полученные результаты.

Для каждой постановки рассматривается диапазон плотностей [math]\rho = [0.01;0.8][/math]. Для каждой плотности проводится операция усреднения - проводится 450-650 расчетов с различными конфигурациями.

Создание начальных конфигураций[править]

Пример конфигурации трещин
Пример плохой конфигурации трещин с раскрытием трещин
Пример хорошей конфигурации

В ходе работы над задачей возникла проблема создания начальных конфигураций. При близком расположении трещин численный метод (метод разрывных смещений) неустойчив. В виду этого было определено минимальное расстояние достаточное для устойчивости - 0,1 длины трещины. Использование данного ограничения значительно улучшает результаты.

Оценка ортотропности[править]

Отклонения для семейства параллельных трещин
Отклонения для семейства параллельных трещин

Вычисленный тензор податливости может отличаться от ортотропности, для оценки используется оценка [math]\delta = \sqrt{\frac{(S_{ijkl}-S_{ijkl}^{ort})(S_{ijkl}-S_{ijkl}^{ort})}{S_{prqs}S_{prqs}}}[/math]

Результаты отклонения тензора податливости дял семейства параллельных трещин не превышает 3%.


Определение углов ортотропии[править]

Углы ортотропии могут отличаться от начальных осей. Для определения углов ортотропии предполагается минимум отклонения тензора податливости от ортотропного. Для поворота тензора подаливости используется тензор поворота, в матричном виде он имеет вид

[math]F = \begin{pmatrix} \cos \alpha^2 & \sin \alpha^2 & \sin 2\alpha \\ \sin \alpha^2 & \cos \alpha^2 & -\sin 2\alpha \\ -\frac{\sin \alpha}{2} & -\frac{\sin \alpha}{2} & \cos 2\alpha \end{pmatrix}[/math]

Для постановок двух и трех семейств трещин определены углы поворота к осям ортотропии

  • Для двух семейств:
    • Для наклоненных под углом [math]30^0[/math] - [math]9.5^0[/math]
    • Для наклоненных под углом [math]15^0[/math] - [math]5^0[/math]
    • Для наклоненных под углом [math]40^0[/math] - [math]18^0[/math]
  • Для трех семейств - [math]15^0[/math]
Углы к осям ортотропии для двух семейств трещин, наклоненных под углом 30 градусов
Углы к осям ортотропии для трех семейств трещин

Отклонение тензора податливости для всех постановок не превышает 5%.

Отклонение от ортотропного тензора для двух семейств трещин, наклоненных под углом 30 градусов
Отклонение от ортотропного тензора для трех семейств трещин


Выводы[править]

В ходе работы были решены сразу несколько задач:

В работе над данной задаче были получены следующие результаты:

  • Реализован метод разрывных смещений на языке С++ в виде вычислительного модуля для определения эффективных свойств материала с трещинами, позволяющий решать задачи в различных постановках
  • Проведено тестирование метода для задачи об одной трещине под растягивающей внешней нагрузкой. Отклонение полученных результатов от аналитического решения для среднего раскрытия не превышает 3%.
  • Решена задача создания начальных конфигураций. Определено минимальное расстояние между трещинами, позволяющее повысить устойчивость численного метода. Данное расстояние соответствует 0.1 длины трещины.
  • Проведено сравнение численных значений компонент тензора жесткости для задачи о параллельных трещинах с известными решениями [1]. Получено хорошее качественное совпадение.
  • Для задачи двух семейств трещин, наклоненных под углом 300, определены углы поворота к осям ортотропии. Полученные результаты хорошо согласуются с известным аналитическим решением [3].
  • Определены углы поворота к осям ортотропии для постановок, в которых отсутствует геометрическая ортотропия. В частности, для задачи двух семейств трещин, наклоненных под углом [math]30^0[/math] – угол поворота [math]9^0[/math], наклоненных [math]15^0[/math] – [math]5^0[/math], наклоненных [math]40^0[/math] – [math]18^0[/math]. Для трех семейств трещин угол поворота – [math]15^0[/math].
  • Рассмотрены несколько постановок с различными семействами трещин (5 различных постановок) при различных плотностях. Для каждой плотности проведено 450 расчетов для реализации операции усреднения.
  • Исследовано влияние взаимодействия трещин на орторопные свойства материала с трещинами при различных постановках. Даже в материале, в котором отсутствует геометрическая ортотропия, наблюдается незначительное влияние взаимодействия –5%.

Материалы работы[править]

Материал, посвященный работе.

Литература[править]

1) VI Kushch, I Sevostianov, L Mishnaevsky, «Effect of crack orientation statistics on effective stiffness of mircocracked solid,» International Journal of Solids and Structures, т. vol.46, pp. 1574-1588, 2009.

2) Bernarn Budiamsky,Richard J. O'Connell, «Elastic moduli of a cracked solid,» International journal of Solids and structures, № 12, pp. 81-97, 1976.

3)M.Kachanov, «Elastic solids with many cracks and related problems,» ADVANCES IN APPLIED MECHANIC, т. vol.30, pp. 260-438, 1993.

4)Vladimir Grechka,Mark Kachanov, «Effective elasticity of rocks with closely spaced and intersecting cracks,» GEOPHYSICS, т. 71, № 3, pp. D85-D91, 2006.

5)Erik H. Saenger,Oliver S. Kruger and Serge A. Shapiro, «Effective elastic properties of randomly fractured soils: 3D numerical experiments,» Geophysical Prospecting, № 52, pp. 183-195, 2004.

6) Y.J. Liu, X.L. Chen, «Evaluations of the effective material properties of carbon nanotube-based composites using a nanoscale representative volume element,» Mechanics of Materials, № 35, pp. 69-81, 2003.

7) Y. BENVENISTE, «A new approach to the application of Mori-Tanaka's theory in composite materials,» Mechanics of Materials, № 6, pp. 147-157, 1987.

8) И. Баюк, «Основные принципы математического моделирования макроскопических физических свойств коллекторов углеводородов,» Seismic Technology , № 10, pp. 5-18, 2011.

9) И. Баюк, «Междисциплинарный подход к определению эффективных физических свойств коллекторов,» в Galperin Readings 2011 , Galperin , 2011.

10) Igor Sevostianov, Mark Kachanov, «On approximate symmetries of the elastic properties and elliptic orthotropy,» International Journal of Engineering Science, № 46, pp. 211-223, 2008.

11) M.Kachanov, «Effective elastic properties of cracked solids: critical review of some basic concepts,» Appl Mech Rev, № vol. 45, pp. 304-305, 1992.

12) Crouch S.L., Starfield A.M, «Boundary Element Methods in Solid Mechanics: with Applications in Rock Mechanics and Geological Engineering,» George Allen and Union, p. 322, 1983.

13) K. J. Willam, «Advanced Mechanics of Materials,» CVEN 5161, 2003.

Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=Определение_эффективных_упругих_характеристик_в_материале_с_трещинами&oldid=47421»