Исследование колебаний математического маятника переменной длины — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
 
(не показано 6 промежуточных версий этого же участника)
Строка 35: Строка 35:
 
И исходное уравнение:<br />
 
И исходное уравнение:<br />
 
[[File:isxodnoe.PNG]]<br />
 
[[File:isxodnoe.PNG]]<br />
При исследовании поведения системы в зависимости от параметров b и p, мы попытались построить свою диаграмму устойчивости и неустойчивости системы. при фиксированном значении параметра b и переменном значении параметра р мы считали декремент затухания и на основе этих данных построили следующий график:<br />
+
При исследовании поведения системы мы построили график зависимости скорости затухания (раскачивания) от параметров b и p. При фиксированном значении параметра b и переменном значении параметра р мы считали декремент затухания:<br />
 
[[File:dekrement.PNG]]<br />
 
[[File:dekrement.PNG]]<br />
На этом графике мы видим области значений параметров b и р, при которых система затухает, а так же при определенных значениях параметров, при которых декремент отрицательный, система расшатывается, то есть неустойчива.
+
Из этого графика видно, что при малых значениях параметра b для p на промежутке от 1,5 до 3 декремент отрицателен. Это означает, что колебания неустойчивы и происходит раскачивание системы. При больших b видно, что с увеличением p скорость затухания увеличивается, и при фиксированном p с увеличением b скорость затухания тоже увеличивается.
  
 
== Визуализация ==
 
== Визуализация ==
  
{{#widget:Iframe |url=http://tm.spbstu.ru/htmlets/Belousova/Fluctuations/twomayatnic.html |width=1000 |height=600 |border=0 }}
+
{{#widget:Iframe |url=http://tm.spbstu.ru/htmlets/Belousova/Fluctuations/graphic.html |width=1000 |height=700 |border=0 }}
  
 
==Выводы==
 
==Выводы==
Строка 48: Строка 48:
  
 
==Список литературы==
 
==Список литературы==
+
 
 +
1. http://trudymai.ru/upload/iblock/459/issledovanie-rezonansnykh-kolebaniy-matematicheskogo-mayatnika-peremennoy-dliny.pdf<br />
 +
2. http://cyberleninka.ru/article/n/upravlenie-dvizheniyami-parametricheskogo-mayatnika
 +
 
 
==Курсовой проект==
 
==Курсовой проект==
[[:File:fluctuations.rar | Скачать]]
+
Программа: [[:File:fluctuations.rar | Скачать]]<br />
 +
Текст курсового проекта: [[:File:Исследование колебаний математического маятника переменной длины.docx | Скачать]]
  
 
== Участники проекта ==
 
== Участники проекта ==

Текущая версия на 17:37, 2 июня 2017

Цель[править]

Целью нашей работы является исследование колебания маятника, длина которого меняется по гармоническому закону.

Задачи[править]

  • Построить графики колебаний, используя численные методы;
  • Построить фазовые портеры;
  • Исследовать влияние параметров в уравнении колебаний на вид колебаний и фазовых портретов;
  • Сравнить решение исходного и линеаризованного уравнения.
  • Визуализировать модель маятника при помощи языка программирования JavaScript

Вывод формул[править]

Выясним, каким будет уравнение колебаний нашего маятника. Для этого найдем кинетическую и потенциальную энергию маятника: Kineticheskaya.PNG Potencialnaya.PNG
и запишем уравнение Лагранжа второго рода:
Lagrang2.PNG, где
Dlina.PNG

Для исследования поведения нашего маятника рассмотрим несколько случаев. Для начала рассмотрим случай пренебрежения изменения длины маятника, учитывая, что начальный угол отклонения много меньше 1 радиана.
Разложим синус в ряд Тейлора:Sinus.PNG
Ограничиваясь первым членом в разложении, получим: Nedomat'e.PNG
Учитывая малость параметра b, заменим выражение эквивалентным:Ekvivalent.PNG
Cведем наше уравнение к уравнению Матье: Mat'e2.PNG,где
Koefficienti.PNG
Зоны устойчивости и неустойчивости уравнения Матье представлены на диаграмме Айнса-Стретта:
Strett.jpg
Усложним задачу и учтём изменение длины маятника. Рассмотрим три варианта:
В первом приближении:
Pervoepribligenie.PNG
С учётом третьего порядка приближения в разложении синуса :
Vtoroepribligenie.PNG
И исходное уравнение:
Isxodnoe.PNG
При исследовании поведения системы мы построили график зависимости скорости затухания (раскачивания) от параметров b и p. При фиксированном значении параметра b и переменном значении параметра р мы считали декремент затухания:
Dekrement.PNG
Из этого графика видно, что при малых значениях параметра b для p на промежутке от 1,5 до 3 декремент отрицателен. Это означает, что колебания неустойчивы и происходит раскачивание системы. При больших b видно, что с увеличением p скорость затухания увеличивается, и при фиксированном p с увеличением b скорость затухания тоже увеличивается.

Визуализация[править]

Выводы[править]

В ходе исследований колебаний математического маятника переменной длины мы рассмотрели графики колебаний и фазовые портреты. Выяснили, что при фиксировании параметра b с увеличением частоты колебания затухают быстрее, аналогичная зависимость наблюдается при фиксировании частоты и увеличении параметра b. Однако есть области раскачки колебаний. Пренебрегая изменением длины, колебания схожи с классическим маятником для устойчивого случая. Но учитывая изменение длины и беря больше членов в разложении синуса, график заметно изменяется.

Список литературы[править]

1. http://trudymai.ru/upload/iblock/459/issledovanie-rezonansnykh-kolebaniy-matematicheskogo-mayatnika-peremennoy-dliny.pdf
2. http://cyberleninka.ru/article/n/upravlenie-dvizheniyami-parametricheskogo-mayatnika

Курсовой проект[править]

Программа: Скачать
Текст курсового проекта: Скачать

Участники проекта[править]

См. также[править]

Кафедра "Теоретическая механика"