Колебания материальной точки в поле силы тяжести — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
 
(не показано 12 промежуточных версий этого же участника)
Строка 3: Строка 3:
 
Рассмотрим механическую систему с двумя степенями свободы: материальная точка массы <math>m</math> связана пружинами с двумя опорами, вся система находится в поле силы тяжести. Расстояние между опорами <math>2b</math>, длина пружин в недеформированном состоянии <math>a</math>, жесткость пружин <math>c</math>.
 
Рассмотрим механическую систему с двумя степенями свободы: материальная точка массы <math>m</math> связана пружинами с двумя опорами, вся система находится в поле силы тяжести. Расстояние между опорами <math>2b</math>, длина пружин в недеформированном состоянии <math>a</math>, жесткость пружин <math>c</math>.
 
[[File:Scheme l.png|400px|left|Схема]]
 
[[File:Scheme l.png|400px|left|Схема]]
 +
Обозначим:
 +
::<math>
 +
S^{+} = \sqrt{y^{2}+(a+x)^{2}}\\
 +
S^{-} = \sqrt{y^{2}+(a-x)^{2}}\\
 +
</math>
 
Уравнения движения системы будут выглядеть так:
 
Уравнения движения системы будут выглядеть так:
 
::<math>
 
::<math>
 
\left\{  
 
\left\{  
 
\begin{array}{ll}
 
\begin{array}{ll}
m \ddot{x}  = \frac {c(a+x)}{\sqrt{y^{2}+(a+x)^{2}}}\\
+
m \ddot{x}  = \frac {c(a+x)}{S^{+}}(a-S^{+})-\frac {c(a-x)}{S^{+}}(a-S^{-})\\
\displaystyle m \ddot{y}  = -c_{2}x_{2}+c_{2}x_{1}+c_{2}l_{20} \\
+
\displaystyle m \ddot{y}  = -\frac {cy}{S^{+}}(a-S^{+})-\frac {cy}{S^{+}}(a-S^{-})+mg\\
 
\end{array}
 
\end{array}
 
\right.
 
\right.
 
</math>
 
</math>
 +
 +
==Реализация==
 +
{{#widget:Iframe |url=http://tm.spbstu.ru/htmlets/Lobas/yiiis.html |width=1250 |height=1650 |border=0 }}
 +
<br />
 +
 +
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%" >
 +
'''Текст программы на языке JavaScript:''' <div class="mw-collapsible-content">
 +
function MainBall(canvas, canvasX, canvasY) {
 +
 +
 +
    var context = canvas.getContext("2d");        //основная картинка
 +
var contextX = canvasX.getContext("2d");      //график отклонения по Х
 +
var contextY = canvasY.getContext("2d");      //график отклонения по У
 +
   
 +
    var Pi = 3.1415926;                          //число пи
 +
 +
    var m0 = 1;                                  //масштаб массы
 +
    var T0 = 1;                                  //масштаб времени
 +
    var a0 = 1;                                  //масштаб расстояния
 +
 +
    var k0 = 2 * Pi / T0;                        //масштаб частоты 
 +
    var C0 = m0 * k0 * k0;                        //масштаб жесткости
 +
 +
    var m = 1 * m0;                              //масса
 +
var r = 5 * a0;                              //визуальный радиус шарика
 +
    var C = 0.3 * C0;                            //жесткость пружин
 +
var l = 100 * a0;                            //длина пружин
 +
var g = 9.80665 * a0 / T0 / T0;              //ускорение свободного падения
 +
var t = 0 * T0;                              //начальное время
 +
 +
    var fps = 50;                                //кадры в секунду
 +
    var spf = 5;                                  //кол-во шагов интегрирования на один кадр
 +
    var dt  = 0.4 * T0 / fps;                    //шаг интегрирования
 +
 +
 +
var h = canvas.height;                        //высота картинки
 +
    var w = canvas.width;                        //ширина картинки
 +
    var hScale = canvas.height / l;              //коэффициент пересчета по высоте
 +
    var wScale = canvas.width / l;                //коэффициент пересчета по ширине
 +
 +
    var ball = {'x':0, 'y':0, 'vx':0, 'vy':0, 'ax':0, 'ay':0}; //НУ
 +
var sqp = 0;                                  //корень со знаком +
 +
var sqm = 0;                                  //корень со знаком -
 +
var n1 = 0;                                  //переменные для считывания команд пользователя
 +
var n2 = 0;
 +
var n3 = 0;
 +
var n4 = 0;
 +
var ab = 1;
 +
var gr = 0;
 +
    MainBall.prototype.setXo = function(n1){ball.x = n1;};              //считывание координаты Х
 +
    MainBall.prototype.setYo = function(n2){ball.y = n2;};              //считывание координаты У
 +
MainBall.prototype.setVXo = function(n3){ball.vx = ball.vx * n3;};  //обнуление скорости по Х
 +
MainBall.prototype.setVYo = function(n4){ball.vy = ball.vy * n4;};  //обнуление скорости по У
 +
MainBall.prototype.setAB = function(n5){ab = n5;};                  //считывание отношения а/b
 +
 +
    number_ab.oninput = function() {MainBall.prototype.setAB(Number(number_ab.value));}
 +
 +
restart.onclick = function(){
 +
ball.x = 0;
 +
ball.y = 0;
 +
ball.vx = input_vx.value * 50;
 +
ball.vy = input_vy.value * 50;
 +
}
 +
 +
    function control() {
 +
        physics();
 +
        draw();
 +
    }
 +
//вычисления
 +
    function physics(){
 +
        for (var s=1; s<=spf; s++) {
 +
sqm = Math.sqrt(ball.y * ball.y + (l - ball.x) * (l - ball.x));  //вычисление корня со знаком -
 +
sqp = Math.sqrt(ball.y * ball.y + (l + ball.x) * (l + ball.x));  //вычисление корня со знаком +
 +
            ball.ax = (C * (ball.x + l) * (l * ab - sqp) / sqp - C * (l - ball.x) * (l - sqm) / sqm) / m;  //вычисление ускорения по Х
 +
ball.ay = (- C * ball.y * (sqp - l * ab) / sqp + C * ball.y * (l - sqm) / sqm + m * g) / m;    //вычисление ускорения по У
 +
ball.vx += ball.ax * dt;  //вычисление скорости по Х
 +
ball.vy += ball.ay * dt;  //вычисление скорости по У
 +
ball.x += ball.vx * dt;  //вычисление координаты Х
 +
ball.y += ball.vy * dt;  //вычисление координаты У
 +
t += dt;                  //приращение времени
 +
/*alert(ball.x + " " + ball.y + " " + ball.vx + " " + ball.vy + " " + ball.ax + " " + ball.ay);*/
 +
 +
}
 +
    }
 +
//рисование вспомогательных элементов графиков
 +
contextX.beginPath();
 +
contextX.strokeStyle = "#bbbbbb";
 +
contextX.moveTo(0, h/4);
 +
contextX.lineTo(1200, h/4);
 +
contextX.closePath();
 +
contextX.stroke();
 +
 +
contextY.beginPath();
 +
contextY.strokeStyle = "#bbbbbb";
 +
contextY.moveTo(0, h/4);
 +
contextY.lineTo(1200, h/4);
 +
contextY.closePath();
 +
contextY.stroke();
 +
//рисование шарика и пружин
 +
    function draw(){
 +
context.fillStyle = "#00ff00"; //рисование пружин
 +
        context.beginPath();
 +
context.clearRect(0, 0, w, h);
 +
        context.moveTo(0, h / 2);
 +
context.lineTo(ball.x * wScale + w / 2, ball.y * hScale + h / 2);
 +
context.lineTo(w, h / 2);
 +
context.stroke();
 +
        context.closePath();
 +
 +
context.fillStyle = "#0000ff"; //рисование шарика
 +
        context.beginPath();
 +
        context.arc(ball.x * wScale + w / 2, ball.y * hScale + h / 2, r * wScale, 0, 2 * Pi, false);
 +
        context.fill();
 +
        context.closePath();
 +
 +
context.fillStyle = "#ff0000"; //рисование опор
 +
        context.beginPath();
 +
        context.arc(0, h / 2, a0 * wScale, 0, 2 * Pi, false);
 +
context.arc(w, h / 2, a0 * wScale, 0, 2 * Pi, false);
 +
        context.fill();
 +
        context.closePath();
 +
 +
contextX.beginPath();          //рисование графика Х
 +
contextX.strokeStyle = 'black';
 +
contextX.moveTo(t*20 - dt * 10 - gr * 1200, ((ball.x - ball.vx * dt * 5) * 5 + h/2) / 2);
 +
contextX.lineTo(t*20 - gr * 1200, (ball.x * 5 + h/2) / 2);
 +
contextX.closePath();
 +
contextX.stroke();
 +
 +
contextY.beginPath();          //рисование графика У
 +
contextY.strokeStyle = 'black';
 +
contextY.moveTo(t*20 - dt * 10 - gr * 1200, ((ball.y - ball.vy * dt * 5) * 5 + h/2) / 2);
 +
contextY.lineTo(t*20 - gr * 1200, (ball.y * 5 + h/2) / 2);
 +
contextY.closePath();
 +
contextY.stroke();
 +
 +
if (t * 20 > (gr + 1) * 1200) {
 +
contextX.clearRect(0, 0, 1200, h);
 +
contextY.clearRect(0, 0, 1200, h);
 +
 +
contextX.beginPath();
 +
contextX.strokeStyle = "#bbbbbb";
 +
contextX.moveTo(0, h/4);
 +
contextX.lineTo(1200, h/4);
 +
contextX.closePath();
 +
contextX.stroke();
 +
 +
contextY.beginPath();
 +
contextY.strokeStyle = "#bbbbbb";
 +
contextY.moveTo(0, h/4);
 +
contextY.lineTo(1200, h/4);
 +
contextY.closePath();
 +
contextY.stroke();
 +
gr++;
 +
};
 +
}
 +
 +
    setInterval(control, 1000/fps);
 +
}
 +
</div>
 +
 +
==Ссылки==
 +
*Разработчик : [[Лобас Анна]]
 +
* [[Виртуальная лаборатория]]
 +
*[http://tm.spbstu.ru/htmlets/Lobas/YIIS.rar Скачать программу]

Текущая версия на 23:14, 30 ноября 2016

Виртуальная лаборатория > Колебания материальной точки в поле силы тяжести

Краткое описание системы[править]

Рассмотрим механическую систему с двумя степенями свободы: материальная точка массы [math]m[/math] связана пружинами с двумя опорами, вся система находится в поле силы тяжести. Расстояние между опорами [math]2b[/math], длина пружин в недеформированном состоянии [math]a[/math], жесткость пружин [math]c[/math].

Схема

Обозначим:

[math] S^{+} = \sqrt{y^{2}+(a+x)^{2}}\\ S^{-} = \sqrt{y^{2}+(a-x)^{2}}\\ [/math]

Уравнения движения системы будут выглядеть так:

[math] \left\{ \begin{array}{ll} m \ddot{x} = \frac {c(a+x)}{S^{+}}(a-S^{+})-\frac {c(a-x)}{S^{+}}(a-S^{-})\\ \displaystyle m \ddot{y} = -\frac {cy}{S^{+}}(a-S^{+})-\frac {cy}{S^{+}}(a-S^{-})+mg\\ \end{array} \right. [/math]

Реализация[править]


Текст программы на языке JavaScript:

function MainBall(canvas, canvasX, canvasY) {


   var context = canvas.getContext("2d");        //основная картинка

var contextX = canvasX.getContext("2d"); //график отклонения по Х var contextY = canvasY.getContext("2d"); //график отклонения по У

   var Pi = 3.1415926;                           //число пи
   var m0 = 1;                                   //масштаб массы
   var T0 = 1;                                   //масштаб времени
   var a0 = 1;                                   //масштаб расстояния
   var k0 = 2 * Pi / T0;                         //масштаб частоты  
   var C0 = m0 * k0 * k0;                        //масштаб жесткости
   var m = 1 * m0;                               //масса

var r = 5 * a0; //визуальный радиус шарика

   var C = 0.3 * C0;                             //жесткость пружин

var l = 100 * a0; //длина пружин var g = 9.80665 * a0 / T0 / T0; //ускорение свободного падения var t = 0 * T0; //начальное время

   var fps = 50;                                 //кадры в секунду
   var spf = 5;                                  //кол-во шагов интегрирования на один кадр
   var dt  = 0.4 * T0 / fps;                     //шаг интегрирования


var h = canvas.height; //высота картинки

   var w = canvas.width;                         //ширина картинки
   var hScale = canvas.height / l;               //коэффициент пересчета по высоте
   var wScale = canvas.width / l;                //коэффициент пересчета по ширине
   var ball = {'x':0, 'y':0, 'vx':0, 'vy':0, 'ax':0, 'ay':0}; //НУ

var sqp = 0; //корень со знаком + var sqm = 0; //корень со знаком - var n1 = 0; //переменные для считывания команд пользователя var n2 = 0; var n3 = 0; var n4 = 0; var ab = 1; var gr = 0;

   MainBall.prototype.setXo = function(n1){ball.x = n1;};              //считывание координаты Х
   MainBall.prototype.setYo = function(n2){ball.y = n2;};              //считывание координаты У

MainBall.prototype.setVXo = function(n3){ball.vx = ball.vx * n3;}; //обнуление скорости по Х MainBall.prototype.setVYo = function(n4){ball.vy = ball.vy * n4;}; //обнуление скорости по У MainBall.prototype.setAB = function(n5){ab = n5;}; //считывание отношения а/b

   number_ab.oninput = function() {MainBall.prototype.setAB(Number(number_ab.value));}

restart.onclick = function(){ ball.x = 0; ball.y = 0; ball.vx = input_vx.value * 50; ball.vy = input_vy.value * 50; }

   function control() {
       physics();
       draw();	
   }

//вычисления

   function physics(){		
       for (var s=1; s<=spf; s++) {

sqm = Math.sqrt(ball.y * ball.y + (l - ball.x) * (l - ball.x)); //вычисление корня со знаком - sqp = Math.sqrt(ball.y * ball.y + (l + ball.x) * (l + ball.x)); //вычисление корня со знаком +

           ball.ax = (C * (ball.x + l) * (l * ab - sqp) / sqp - C * (l - ball.x) * (l - sqm) / sqm) / m;  //вычисление ускорения по Х

ball.ay = (- C * ball.y * (sqp - l * ab) / sqp + C * ball.y * (l - sqm) / sqm + m * g) / m; //вычисление ускорения по У ball.vx += ball.ax * dt; //вычисление скорости по Х ball.vy += ball.ay * dt; //вычисление скорости по У ball.x += ball.vx * dt; //вычисление координаты Х ball.y += ball.vy * dt; //вычисление координаты У t += dt; //приращение времени /*alert(ball.x + " " + ball.y + " " + ball.vx + " " + ball.vy + " " + ball.ax + " " + ball.ay);*/

}

   }

//рисование вспомогательных элементов графиков contextX.beginPath(); contextX.strokeStyle = "#bbbbbb"; contextX.moveTo(0, h/4); contextX.lineTo(1200, h/4); contextX.closePath(); contextX.stroke();

contextY.beginPath(); contextY.strokeStyle = "#bbbbbb"; contextY.moveTo(0, h/4); contextY.lineTo(1200, h/4); contextY.closePath(); contextY.stroke(); //рисование шарика и пружин

   function draw(){

context.fillStyle = "#00ff00"; //рисование пружин

       context.beginPath();

context.clearRect(0, 0, w, h);

       context.moveTo(0, h / 2);

context.lineTo(ball.x * wScale + w / 2, ball.y * hScale + h / 2); context.lineTo(w, h / 2); context.stroke();

       context.closePath();

context.fillStyle = "#0000ff"; //рисование шарика

       context.beginPath();
       context.arc(ball.x * wScale + w / 2, ball.y * hScale + h / 2, r * wScale, 0, 2 * Pi, false);
       context.fill();
       context.closePath();

context.fillStyle = "#ff0000"; //рисование опор

       context.beginPath();
       context.arc(0, h / 2, a0 * wScale, 0, 2 * Pi, false);

context.arc(w, h / 2, a0 * wScale, 0, 2 * Pi, false);

       context.fill();
       context.closePath();		

contextX.beginPath(); //рисование графика Х contextX.strokeStyle = 'black'; contextX.moveTo(t*20 - dt * 10 - gr * 1200, ((ball.x - ball.vx * dt * 5) * 5 + h/2) / 2); contextX.lineTo(t*20 - gr * 1200, (ball.x * 5 + h/2) / 2); contextX.closePath(); contextX.stroke();

contextY.beginPath(); //рисование графика У contextY.strokeStyle = 'black'; contextY.moveTo(t*20 - dt * 10 - gr * 1200, ((ball.y - ball.vy * dt * 5) * 5 + h/2) / 2); contextY.lineTo(t*20 - gr * 1200, (ball.y * 5 + h/2) / 2); contextY.closePath(); contextY.stroke();

if (t * 20 > (gr + 1) * 1200) { contextX.clearRect(0, 0, 1200, h); contextY.clearRect(0, 0, 1200, h);

contextX.beginPath(); contextX.strokeStyle = "#bbbbbb"; contextX.moveTo(0, h/4); contextX.lineTo(1200, h/4); contextX.closePath(); contextX.stroke();

contextY.beginPath(); contextY.strokeStyle = "#bbbbbb"; contextY.moveTo(0, h/4); contextY.lineTo(1200, h/4); contextY.closePath(); contextY.stroke(); gr++; }; }

   setInterval(control, 1000/fps);

}

Ссылки[править]