Моделирование динамической потери устойчивости стержней — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «'''МАГИСТЕРСКАЯ РАБОТА'''<br> ''Автор работы'': Краморов Данил<br> ''Научный р…»)
 
(→‎Динамическая форма потери устойчивости)
 
(не показано 12 промежуточных версий этого же участника)
Строка 19: Строка 19:
 
* в оболочечной модели не требуется разбиение сетки по толщине стержня
 
* в оболочечной модели не требуется разбиение сетки по толщине стержня
 
* в оболочечном построении изменение толщины происходит почти мгновенно заменой данного параметра, тогда как в твердотельном приходится перестраивать весь эскиз модели
 
* в оболочечном построении изменение толщины происходит почти мгновенно заменой данного параметра, тогда как в твердотельном приходится перестраивать весь эскиз модели
 +
 +
[[File:Solid-shell.jpg|200px|thumbnail|right|Упрощение модели]]
  
 
Максимальная разница между оболочеченой и твердотельной постановками – 5% в пользу оболочечной модели – позволяет использовать оболочечную модель.
 
Максимальная разница между оболочеченой и твердотельной постановками – 5% в пользу оболочечной модели – позволяет использовать оболочечную модель.
 
Отсутствие скругления же показывает разницу 6% в пользу твердотельной модели, что в комбинации с оболочечной постановкой позволяет использовать упрощенную модель практически без потери точности.
 
Отсутствие скругления же показывает разницу 6% в пользу твердотельной модели, что в комбинации с оболочечной постановкой позволяет использовать упрощенную модель практически без потери точности.
 +
 +
[[File:Double-planks.png|200px|thumbnail|right|Схема модели с саморезами]]
  
 
Объединение стержней в составное сечение значительно повышает несущую способность стержня, позволяя использовать его в местах подверженных максимальной нагрузке (например, в колоннах). В рамках бакалаврской было доказано, что оптимальным способом объединения является объединение планками. Был получен понижающий коэффициент, позволяющий учитывать в расчете податливость саморезов. Однако были найдены ошибки в моделировании, при пересчете уже в рамках магистерской данный коэффициент увеличился с 0.85 до 0.93. То есть идеально жесткое крепление планок к профилю уменьшает точность расчета несущей способности примерно на 7%.
 
Объединение стержней в составное сечение значительно повышает несущую способность стержня, позволяя использовать его в местах подверженных максимальной нагрузке (например, в колоннах). В рамках бакалаврской было доказано, что оптимальным способом объединения является объединение планками. Был получен понижающий коэффициент, позволяющий учитывать в расчете податливость саморезов. Однако были найдены ошибки в моделировании, при пересчете уже в рамках магистерской данный коэффициент увеличился с 0.85 до 0.93. То есть идеально жесткое крепление планок к профилю уменьшает точность расчета несущей способности примерно на 7%.
Строка 34: Строка 38:
  
 
==Динамическая форма потери устойчивости==
 
==Динамическая форма потери устойчивости==
−
В рамках работы к решению задачи применялись следующие численные методы:
+
Потеря устойчивости стержней на сжатие – классическая проблема механики твердого тела. В 1744 году Леонард Эйлер предсказал критическую силу для потери устойчивости на сжатие колоны в статическом случае. Многочисленные эксперименты и теоретические исследования показывают, что в динамическом случае поведение колоны значительно усложняется. В частности, в динамике максимальная сила не равна Эйлеровой статической силе.
−
* метод Рунге-Кутты 4-го порядка;
+
Поведение колоны при потере устойчивости в динамическом случае зависит от способа сжатия. В данном исследовании исследуется потеря устойчивости при нагрузке с постоянной скоростью.
−
* метод Адамса по схеме предиктор-корректор.
+
 
−
Выбор устойчивого численного метода, дающего точный результат за минимальное время является важным для применения модифицированной постановки к трехмерной задаче.
+
[[File:Hoff-model.png|200px|thumbnail|right|Модель Хоффа]]
 +
 
 +
В этой главе будет решаться задача в поставке Хоффа. Хофф исследовал сжатие колоны с изначальным несовершенством в гидравлическом прессе, где два конца колоны двигались навстречу друг другу с постоянной скоростью. Продольные колебания колонны не учитывались.
 +
 
 +
Исследуя динамическую потерю устойчивости стержней, Кузькин В.А. получил формулу, которая легка в основу данного исследования:
 +
 
 +
<math>\frac{P_*}{P_e} = 1 + (\frac{3}{4\Omega^{\frac{1}{2}}}ln[\frac{2}{\pi\frac{d}{2}\Omega}])^{\frac{2}{3}}</math>
 +
 
 +
<math>\Omega = \pi^{8}(\frac{R}{L})^{6}(\frac{v_s}{v})^{2}</math>
 +
 
 +
Исходя из нее максимальная сила сжатия стержня в постановке Хоффа зависит исключительно от геометрических параметров стержня и скорости сжатия. При стремлении амплитуды несовершенства к нулю (к идеальному стержню) и маленьких значениях скорости максимальная сила стремится к эйлеровой статической силе.
 +
 
 +
Аналогичный эксперимент были реализован в рамках конечно-элементной модели. За основу была взята балка с заданным круглым сечением. Длина балки – 5м, радиус сечения – 0.1м. На нижнем конце балки были запрещены перемещения, верхний конец балки мог двигаться вдоль оси приложения силы. Скорости сжатия находились в пределах от 0.15мм/с до 5 м/с. Значения несовершенства от 10-1 до 10-6.
 +
 
 +
[[File:Comp chart.png|600px|thumbnail|center|Сравнение аналитического и конечно-элементного решения]]
 +
 
 +
В итоге было был построен график сравнения аналитического решения и конечно-элементного моделирования. На график были нанесены значения для разных скоростей сжатия и различных амплитуд несовершенства.
  
−
=== Метод Рунге-Кутты 4 порядка ===
+
Надо отметить, что при меньших значениях несовершенства Abaqus практически не показал дальнейшей разницы, что не позволяет рассмотреть корректность формулы при приближении к совершенной колоне. Минимальная амплитуда несовершенства оказалось равна значению в 10-6.
−
Одним из наиболее распространенных методов Рунге-Кутты является метод 4 порядка точности. Для задачи Коши
 
−
::<math>
 
−
y^\prime = f(x,y), \ \ \ \ \ y(x_0) = y_0
 
−
</math>
 
−
приближенное решение <math> y_{n+1} </math> может быть найдено по следующей формуле:
 
−
::<math>
 
−
y_{n+1} = y_n + \frac{h}{6}\left(k_1 + k_2 + k_3 + k_4\right),
 
−
</math>
 
−
где
 
−
::<math>
 
−
k_1 =f(x_n,y_n), </math>
 
−
::<math>k_2=f\left(x_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{h}{2}k_1\right),</math>
 
−
::<math>k_3=f\left(x_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{h}{2}k_2\right),</math>
 
−
::<math>k_4=f\left(x_n + h, y_n + hk_3\right).</math>
 
−
Для использования этого метода необходимо было найти максимальный шаг по времени, при котором сохраняется устойчивость метода. В дальнейшем шаг по времени может быть увеличен вместе с увеличением размера сетки, т.к. в условие устойчивости входит отношение <math> \Delta t / \Delta x^2 </math>.
 
−
===Метод Адамса по схеме предиктор-корректор===
 
−
Методы Адамса относятся к категории многошаговых конечно-разностных методов, т.е. для вычисления нового значения функции используют значения, вычисленные на предыдущих шагах. Существует две группы методов Адамса: явные методы Адамса (методы Адамса-Башфорта) и неявные (методы Адамса-Мультона).
 
−
Неявная схема интегрирования предполагает итерационное решение системы. Итерационный процесс требует начального приближения решения. Его можно получить, использовав явную схему.
 
−
Схема предиктор-корректор состоит из явной схемы, которую называют предиктором, и неявной, которую называют корректором. В рамках данной работы в качестве предиктора использовался метод Адамса-Башфорта 4-го порядка
 
−
::<math>
 
−
y_{n+1} = y_n + \frac{h}{24} \left(55f(t_{n}, y_n) - 59f(t_{n-1}, y_{n-1}) + 37f(t_{n-2}, y_{n-2}) - 9f(t_{n-3}, y_{n-3})\right),
 
−
</math>
 
−
а в качестве корректора --- метод Адмаса-Мультона 5-го порядка
 
−
::<math>
 
−
y_{n+1} = y_n + \frac{h}{720} (251f(t_{n+1}, y_{n+1}) + 646f(t_{n}, y_{n})
 
−
- 264f(t_{n-1}, y_{n-1}) + 106f(t_{n-2}, y_{n-2}) - 19f(t_{n-3}, y_{n-3}).
 
−
</math>
 
−
Использование такого метода решения системы ОДУ имеет то достоинство, что, будучи неявным, он более устойчивый и позволяет выбрать больший шаг интегрирования по времени.
 
  
−
===Численные результаты и их обсуждение===
+
Стоит обратить внимание, что при высокой скорости сжатия КЭ моделирование также показало расхождение с аналитикой. Таким образом можно получить верхнюю границу использование формулы.
−
В ходе моделирования основное внимание уделялось двум величинам: раскрытию трещины в источнике и ее полудлине. Контроль точности осуществлялся с использованием раскрытия и полудлины трещины, полученных из автомодельного решения. Это позволяло контролировать точность численного решения в последующие моменты времени путем сравнения результатов с автомодельным решением. Моделирование проводилось с момента времени <math> t_0 = 1</math> до <math> t_{fin} = 100 </math>.
+
Данные расчеты справедливы для первой формы потери устойчивости. Для нее была справедлива и постановка Хоффа. Одной из задач исследования являлось в том числе исследование поведения стержня при формах потери устойчивости выше первой.
  
 +
В постановке Хоффа не удалось получить даже вторую форму потери устойчивости. Как было доказано ранее на высоких скоростях результат КЭ моделирование не соответствует заявленной формуле, а на маленьких скоростях время расчета оказывалось настолько большим, что в системе появлялись ошибки еще до получения второй формы потери устойчивости.
  
−
C целью выбрать наиболее эффективный метод проводилось сравнение использованных численных методов по устойчивости, точности и требуемым вычислительным затратам.
+
Было решено поступить по аналогии с моделью Хоффа и задать изначальное несовершенство модели в двух местах таким образом, чтобы изначальная конфигурация соответствовала второй форме. Было проведено моделирование аналогичное прошлой части задачи.
  
−
Расчеты проводились с разными сетками <math> M=21\ldots141</math>.
+
Анализируя полученные результаты, можно утверждать, что полученная формула справедлива не только для первой формы потери устойчивости и позволяет исследовать и устойчивость более высоких порядков. Однако, сходимость КЭ моделирования второй формы потери устойчивости к аналитическому результату оказалась хуже, чем для первой. Это может быть связано как с недостаточной точностью моделирования, так и с влиянием более сложного несовершенства стержня.
−
Проведенные численные эксперименты показали, что для устойчивости метода Рунге-Кутты необходимо выбирать меньший шаг интегрирования по времени, чем для метода Адамса по схеме предиктор-корректор.
+
Стоит также подчеркнуть, что исследование второй формы в большей степени ограничивает применимость формулы. О достаточной точности можно говорить только при маленьких скоростях сжатия стержня. Нижний порог амплитуды несовершенства тоже оказался выше, чем для первой формы потери устойчивости, и имел порядок 10-4.
−
Результаты экспериментов показали, что оба метода дают результат с одинаковой точностью независимо от размера сетки. Для примера на рисунках [[Файл:N=21_bn=1_T=100.jpg|400px|thumb|left|Результаты моделирования в момент времени <math>t_{fin}=100</math> при <math>N=21</math>]] [[Файл:N=81_bn=1_T=100.jpg|400px|thumb|left|Результаты моделирования в момент времени <math>t_{fin}=100</math> при <math>N=81</math>]]представлены результаты моделирования до времени  <math> t_{fin} = 100 </math> с использованием сетки с <math> M+1 = 21 </math> и <math> M+1 = 81 </math> узлами. Точки графика с равной нулю ординатой отвечают полудлине трещины, с равной нулю абсциссой  - раскрытию в источнике.
 
  
−
Для сравнения вычислительных затрат и возможности их снижения в качестве исходной величины бралось время, которое необходимо для решения задачи на сетке с <math> M+1 = 41 </math> узлом. Метод Рунге-Кутты без ускорения (т.е. без увеличения шага по времени вместе с увеличением масштаба сетки) требует одного часа для проведения моделирования до времени  <math> t_{fin} = 100 </math> в среде Matlab на ноутбуке Lenovo ideapad z710 с процессором Intel i5. Использование возможности увеличивать шаг по времени снижает это время до <math> 10 </math> минут. Применение к решению задачи метода Адамса позволяет снизить время вычислений до <math> 5 </math> минут. Существенно большие затраты времени при интегрировании методом Рунге-Кутты объясняются тем, что для его устойчивости требуется маленький шаг интегрирования по времени.
+
При переходе к тонкостенному стержню стоило ожидать отклонения от формулы из-за эффекта депланации, достигаемого раньше, чем общая потеря устойчивости. Однако моделирование показало возможность применения данной теории и для тонкостенных стержней.  
−
 
−
На рисунке [[Файл:Accuracy.jpg |400px|thumb|right|Погрешность решения в момент времени <math> t_{fin} = 100 </math> в зависимости от числа узлов.]] изображена зависимость погрешности решения от количества узлов сетки. Хорошо видно, что погрешность убывает с увеличением числа узлов, используемых для моделирования. Стоит отметить, что в сравнении с результатами работы А. М. Линьков 2016 погрешность заметно выросла (в работе А. М. Линьков 2016  погрешность вычисления полудлины не превышала <math> 1\% </math> даже для сетки с <math> M + 1 = 21 </math>). Возрастание погрешности объясняется тем, что в работе А. М. Линьков 2016 задача решалась в нормированных координатах. При использовании таких координат частная производная от раскрытия по времени равна нулю у вершины трещины (<math> \partial w / \partial t = 0 </math>), тогда как в ненормированных координатах производная сингулярна: она имеет порядок сингулярности <math>O(\left( x_{\ast}-x\right) ^{\alpha -1})</math>, причем <math> \alpha < 1</math>.
 
  
−
Было проведено исследование зависимости решения от индекса поведения жидкости <math> n </math>.
+
Стоит отметить и определенные различия в результатах между тонкостенным и сплошным стержнями:
−
Величина обратная индексу поведения жидкости входит в уравнения Пуазейля и скорости как показатель степени, поэтому при стремлении <math> n </math> к нулю, можно ожидать снижения точности решения. Погрешность вычислений для разных <math> n </math> представлена на рисунке [[Файл:Accuracy_dif_n.jpg|400px|thumb|right|Точность решения в момент времени  <math> t_{fin} = 100 </math>  в зависимости от индекса поведения жидкости  <math> n </math>]]. Из графика, представленного на рисунке, видно, что погрешность раскрытия в источнике существенно зависит от индекса поведения жидкости, а при его стремлении к нулю погрешность увеличивается в несколько раз. Эту погрешность можно устранить, перестроив алгоритм. Однако, это лежит в стороне от главной темы этой работы. Кроме того, в практике гидроразрыва обычно применяются жидкости с индексом поведения, превышающим <math> 0.5 </math> , т.е. из диапазона, в котором метод обеспечивает достаточную точность.
+
* моделирование тонкостенного стержня показало меньшую точность, чем моделирование сплошного профиля
 +
* график зависимости силы от времени для всех комбинаций скорость-несовершенство имел существенные различия между тонкостенной и сплошной моделью, что, однако не помешало получению достаточно точного результата
  
 
==Выводы==
 
==Выводы==
  
−
# Установлено, что при использовании конечных разностей и квадратурных формул, учитывающих специфику задачи, задача ХГД может быть решена в глобальных координатах без обращения гиперсингулярного оператора.
+
По результатам работы сделаны следующие выводы.
−
# Разработанный подход, использующий удвоение размера сетки при достижении фронтом заранее заданной границы, позволяет не пересчитывать матрицу дискретизированного упругого оператора на шагах интегрирования по времени. Новые коэффициенты влияния получаются из элементов матрицы делением на масштабный фактор.
+
 
−
# В отличии от большинства предшествующих работ, метод не требует обращения матриц. В нем используются только скалярные произведения. Это благоприятствует объединению его с быстрым методом мультиполей.
+
Использование оболочечного построения в ABAQUS упрощает модель без потери качества, поэтому для исследования статической формы потери была использована именно данная модель. При переходе к динамической форме устойчивости была использована балочная постановка.
−
# Полученная динамическая система можеть быть эффективно решена с помощью методов решения задачи Коши для ОДУ, например, методом Рунге-Кутты, Адамса и др.
+
 
−
# Установлено, что в рассматриваемой задаче метод Адамса по схеме предиктор-корректор имеет преимущество, поскольку, будучи более устойчивым, требует меньших вычислительных затрат при сохранении точности получаемого решения.
+
Был скорректирован коэффициент запаса для учета податливости саморезов.
−
# В случае, когда не привлекаются специальные асимптотические методы, отвечающие близкому к нулю индексу поведения жидкости, точность решения падает. Например, для сетки с <math>M+1=41 </math> узлом погрешность вычислений раскрытия в источнике и полудлины трещины составляет соответственно:
+
 
−
#* <math> 7.7\% </math> и <math> 4.8\% </math> для индекса поведения жидкости <math> n=0.3 </math>,
+
КЭ моделирование позволило подтвердить возможность использования формулы, полученной в статье [27], хотя и ограничило область ее применения. Были получены максимальные и минимальные условия для ее использования.
−
#* <math> 10.9\% </math> и <math> 5.7\% </math> для индекса поведения жидкости <math> n=0.1 </math>. Тем не менее в практически важном интервале $ 0.5 < n < 1 $ падение точности не происходит.
+
 
−
# Разработанный метод, будучи избавленным от упрощений, доступных только в одномерных задачах, допускает распространение на трехмерную задачу. Его использование для решения задачи ХГД на прямоугольной сетке дало результаты с точностью не меньшей, чем в данной работе.
+
Было доказано, что исследование второй формы потери устойчивости не выходит за рамки используемой теории и позволяет получить достаточно точные результаты. Есть все основания полагать, что аналогичная картина будет наблюдаться и для более высоких форм потери устойчивости. Однако область применения формулы была ограничена сильнее, чем в случае первой формы.
 +
 
 +
Несмотря на локальную потерю устойчивости, результаты, полученные после исследования тонкостенного стержня, также согласуются с аналитикой, что открывает возможность для динамического тестирования тонкостенных профилей на разные случаи нагружения с последующим сравнением с формулой.
  
−
Направление дальнейших исследований --- распространение метода на трехмерную задачу и применение более эффективных, чем метод Адамса, методов численного интегрирования, например, формулы дифференцирования назад.
 
  
 
==Список литературы==
 
==Список литературы==
−
* Adachi J. et al. Computer simulation of hydraulic fractures //International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences. – 2007. – Т. 44. – №. 5. – С. 739-757.
+
* Власов В. 3., Тонкостенные упругие стержни, 2 изд., М., 1959. О. В. Лужин.
−
+
* Georgieva IB, Schuereman L, Pyl L, Composed columns from cold-formed steel Z-profiles: Experiments and code-based predictions of the overall compression capacity. Engineering Structures 37 (2012)
−
* Geertsma, J., F. De Klerk. A rapid method of predicting width and extent of hydraulically induced fractures //Journal of Petroleum Technology. – 1969. – Т. 21. – №. 12. – С. 1,571-1,581.
+
* Abaqus/CAE User's Manual, Dassault Systèmes, 2012
−
*Khristianovic S., Zheltov Y. Formation of vertical fractures by means of highly viscous fluids //Proc. 4th world petroleum congress, Rome. – 1955. – Т. 2. – С. 579-586.
+
* Hoff,N.J.: The dynamics of the buckling of elastic columns. J. Appl. Mech. 18, 68–74 (1951)
−
* Linkov A. M. Speed equation and its application for solving ill-posed problems of hydraulic fracturing //Doklady Physics. – MAIK Nauka/Interperiodica, 2011. – Т. 56. – №. 8. – С. 436-438.
+
* Vitaly A. Kuzkin, Mona M. Dannert Buckling of a column under a constant speed compression: a dynamic correction to the Euler formula
−
*Linkov A. M. On efficient simulation of hydraulic fracturing in terms of particle velocity //International Journal of Engineering Science. – 2012. – Т. 52. – С. 77-88.
 
−
*Linkov A. M., Mishuris G. Modified formulation, $ \varepsilon $-regularization and the efficient solution of hydraulic fracture problems //ISRM International Conference for Effective and Sustainable Hydraulic Fracturing. – International Society for Rock Mechanics, 2013.
 
−
* Linkov A. M. The particle velocity, speed equation and universal asymptotics for the efficient modelling of hydraulic fractures //Journal of Applied Mathematics and Mechanics. – 2015. – Т. 79. – №. 1. – С. 54-63.
 
−
*Pierce A. P., Siebrits E. A dual multigrid preconditioner for efficient solution of hydraulically driven fracture problem //International Journal of Numerical Methods and Engineering. – 2005. – Т. 65. – С. 1797-1823.
 
−
*Peirce A., Detournay E. An implicit level set method for modeling hydraulically driven fractures //Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. – 2008. – Т. 197. – №. 33. – С. 2858-2885.
 
−
*Peirce A. Modeling multi-scale processes in hydraulic fracture propagation using the implicit level set algorithm //Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. – 2015. – Т. 283. – *Rice J. R. Mathematical analysis in the mechanics of fracture //Fracture: an advanced treatise. – 1968. – Т. 2. – С. 191-311.
 
−
*Settari A., Cleary M. P. Development and testing of a pseudo-three-dimensional model of hydraulic fracture geometry //SPE Production Engineering. – 1986. – Т. 1. – №. 06. – С. 449-466.
 
−
*Mack M. G., Warpinski N. R. Mechanics of hydraulic fracturing //Reservoir stimulation. – 2000. – С. 6-1.
 
−
*Алексеенко О. П. и др. Двумерная пошаговая модель распространения трещины гидроразрыва //Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. – 2011. – Т. 11. – №. 3. – С. 36-59.
 
−
*Линьков А. М. Решение осесимметричной задачи о гидроразрыве для утончающихся жидкостей // ПММ. -2016. - Т. 80. - №. 2. - С. 207-217.
 
−
*Линьков А. М. Численное решение плоской задачи о гидроразрыве в модифицированной постановке при произвольных начальных условиях //Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. -2016. -№. 2.
 
−
*Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. – Москва: Наука, 1989.
 
−
*http://vseonefti.ru/upstream/frac.html
 

Текущая версия на 11:24, 21 июня 2016

МАГИСТЕРСКАЯ РАБОТА
Автор работы: Краморов Данил
Научный руководитель: к. ф-м. н. В. А. Кузькин

Введение и мотивация работы[править]

В настоящее время в мировой практике широкое распространение приобрели стержневые конструкции из оцинкованных тонкостенных холодногнутых профилей. В отличие от стальных конструкций, где установлены геометрические соотношения параметров сечения их стержневых элементов, заведомо обеспечивающие местную устойчивость, в элементах ЛСТК потеря местной устойчивости допускается на ранних стадиях нагружения. Поэтому в настоящее время одним из актуальных направлений исследования является изучение влияния потери местной устойчивости стержневых тонкостенных холодногнутых профилей.

Решаются следующие задачи:

  • создание наиболее простой конечно-элементной модели стержня
  • исследование статической потери устойчивости тонкостенного стержня
  • исследование динамической потери устойчивости сплошного и тонкостенного стержней

Тонкостенный стержень — стержень, у которого все три основных размера (наибольший и наименьший размеры поперечного сечения и длина) являются величинами различного порядка. В отличие от обычных (сплошных) стержней, сечения тонкостенного стержня при деформации не остаются плоскими (явление депланации), что исключает возможность использования при расчёте гипотезы плоских сечений [1]. Благодаря лёгкости и экономичности, тонкостенные конструкции получили широкое распространение в строительстве. Относительно легкий вес также не ограничивает инженеров и производителей в выборе формы поперечного сечения профилей [2]. Основная часть расчетов производилась методом конечных элементов (МКЭ) в программе ABAQUS [3]. Для твердотельного построения статической потери устойчивости был выбран тип элементов 3D stress с 8 степенями свободы, для оболочечных – Shell с 4 степенями свободы. В динамическом случае – 3D wire shape с заданным сечением. Во всех постановках геометрический порядок сетки – линейный. При большом количестве элементов он дает точность близкую к квадратичному порядку, а вот скорость расчета становится выше. Материал конструкции – сталь (E=210 ГПа, ν =0.3) в упругой постановке.

Статическая форма потери устойчивости[править]

Исследования статической потери устойчивости проводились с использованием оболочечной модели. С точки зрения МКЭ разница между твердотельной и оболочечной моделью в следующем:

  • в оболочечной модели не требуется разбиение сетки по толщине стержня
  • в оболочечном построении изменение толщины происходит почти мгновенно заменой данного параметра, тогда как в твердотельном приходится перестраивать весь эскиз модели
Упрощение модели

Максимальная разница между оболочеченой и твердотельной постановками – 5% в пользу оболочечной модели – позволяет использовать оболочечную модель. Отсутствие скругления же показывает разницу 6% в пользу твердотельной модели, что в комбинации с оболочечной постановкой позволяет использовать упрощенную модель практически без потери точности.

Схема модели с саморезами

Объединение стержней в составное сечение значительно повышает несущую способность стержня, позволяя использовать его в местах подверженных максимальной нагрузке (например, в колоннах). В рамках бакалаврской было доказано, что оптимальным способом объединения является объединение планками. Был получен понижающий коэффициент, позволяющий учитывать в расчете податливость саморезов. Однако были найдены ошибки в моделировании, при пересчете уже в рамках магистерской данный коэффициент увеличился с 0.85 до 0.93. То есть идеально жесткое крепление планок к профилю уменьшает точность расчета несущей способности примерно на 7%.

Тонкостенный профиль может иметь практически любое сечение, в том числе потому что форма сечения создается загибом тонкого стального листа. Но при многократном использовании станка может возникнуть дефект. Нормативно дефект производства в 1° является допустимым. Было доказано:

  • отклонение в 5° при любой постановке дает максимальную погрешность в 5%
  • наибольшее влияние оказывает отклонение стенки стержня от вертикали
  • отклонение отгибов от прямого угла не создает существенной ошибки

Кроме того для дальнейшего упрощения в рамках данного исследования было проведено сравнение оболочечной и балочной постановки. Разница между постановками оказалась несущественной, что позволяет в дальнейшем использовать именно балочное построение.

Динамическая форма потери устойчивости[править]

Потеря устойчивости стержней на сжатие – классическая проблема механики твердого тела. В 1744 году Леонард Эйлер предсказал критическую силу для потери устойчивости на сжатие колоны в статическом случае. Многочисленные эксперименты и теоретические исследования показывают, что в динамическом случае поведение колоны значительно усложняется. В частности, в динамике максимальная сила не равна Эйлеровой статической силе. Поведение колоны при потере устойчивости в динамическом случае зависит от способа сжатия. В данном исследовании исследуется потеря устойчивости при нагрузке с постоянной скоростью.

Модель Хоффа

В этой главе будет решаться задача в поставке Хоффа. Хофф исследовал сжатие колоны с изначальным несовершенством в гидравлическом прессе, где два конца колоны двигались навстречу друг другу с постоянной скоростью. Продольные колебания колонны не учитывались.

Исследуя динамическую потерю устойчивости стержней, Кузькин В.А. получил формулу, которая легка в основу данного исследования:

[math]\frac{P_*}{P_e} = 1 + (\frac{3}{4\Omega^{\frac{1}{2}}}ln[\frac{2}{\pi\frac{d}{2}\Omega}])^{\frac{2}{3}}[/math]

[math]\Omega = \pi^{8}(\frac{R}{L})^{6}(\frac{v_s}{v})^{2}[/math]

Исходя из нее максимальная сила сжатия стержня в постановке Хоффа зависит исключительно от геометрических параметров стержня и скорости сжатия. При стремлении амплитуды несовершенства к нулю (к идеальному стержню) и маленьких значениях скорости максимальная сила стремится к эйлеровой статической силе.

Аналогичный эксперимент были реализован в рамках конечно-элементной модели. За основу была взята балка с заданным круглым сечением. Длина балки – 5м, радиус сечения – 0.1м. На нижнем конце балки были запрещены перемещения, верхний конец балки мог двигаться вдоль оси приложения силы. Скорости сжатия находились в пределах от 0.15мм/с до 5 м/с. Значения несовершенства от 10-1 до 10-6.

Сравнение аналитического и конечно-элементного решения

В итоге было был построен график сравнения аналитического решения и конечно-элементного моделирования. На график были нанесены значения для разных скоростей сжатия и различных амплитуд несовершенства.

Надо отметить, что при меньших значениях несовершенства Abaqus практически не показал дальнейшей разницы, что не позволяет рассмотреть корректность формулы при приближении к совершенной колоне. Минимальная амплитуда несовершенства оказалось равна значению в 10-6.

Стоит обратить внимание, что при высокой скорости сжатия КЭ моделирование также показало расхождение с аналитикой. Таким образом можно получить верхнюю границу использование формулы. Данные расчеты справедливы для первой формы потери устойчивости. Для нее была справедлива и постановка Хоффа. Одной из задач исследования являлось в том числе исследование поведения стержня при формах потери устойчивости выше первой.

В постановке Хоффа не удалось получить даже вторую форму потери устойчивости. Как было доказано ранее на высоких скоростях результат КЭ моделирование не соответствует заявленной формуле, а на маленьких скоростях время расчета оказывалось настолько большим, что в системе появлялись ошибки еще до получения второй формы потери устойчивости.

Было решено поступить по аналогии с моделью Хоффа и задать изначальное несовершенство модели в двух местах таким образом, чтобы изначальная конфигурация соответствовала второй форме. Было проведено моделирование аналогичное прошлой части задачи.

Анализируя полученные результаты, можно утверждать, что полученная формула справедлива не только для первой формы потери устойчивости и позволяет исследовать и устойчивость более высоких порядков. Однако, сходимость КЭ моделирования второй формы потери устойчивости к аналитическому результату оказалась хуже, чем для первой. Это может быть связано как с недостаточной точностью моделирования, так и с влиянием более сложного несовершенства стержня. Стоит также подчеркнуть, что исследование второй формы в большей степени ограничивает применимость формулы. О достаточной точности можно говорить только при маленьких скоростях сжатия стержня. Нижний порог амплитуды несовершенства тоже оказался выше, чем для первой формы потери устойчивости, и имел порядок 10-4.

При переходе к тонкостенному стержню стоило ожидать отклонения от формулы из-за эффекта депланации, достигаемого раньше, чем общая потеря устойчивости. Однако моделирование показало возможность применения данной теории и для тонкостенных стержней.

Стоит отметить и определенные различия в результатах между тонкостенным и сплошным стержнями:

  • моделирование тонкостенного стержня показало меньшую точность, чем моделирование сплошного профиля
  • график зависимости силы от времени для всех комбинаций скорость-несовершенство имел существенные различия между тонкостенной и сплошной моделью, что, однако не помешало получению достаточно точного результата

Выводы[править]

По результатам работы сделаны следующие выводы.

Использование оболочечного построения в ABAQUS упрощает модель без потери качества, поэтому для исследования статической формы потери была использована именно данная модель. При переходе к динамической форме устойчивости была использована балочная постановка.

Был скорректирован коэффициент запаса для учета податливости саморезов.

КЭ моделирование позволило подтвердить возможность использования формулы, полученной в статье [27], хотя и ограничило область ее применения. Были получены максимальные и минимальные условия для ее использования.

Было доказано, что исследование второй формы потери устойчивости не выходит за рамки используемой теории и позволяет получить достаточно точные результаты. Есть все основания полагать, что аналогичная картина будет наблюдаться и для более высоких форм потери устойчивости. Однако область применения формулы была ограничена сильнее, чем в случае первой формы.

Несмотря на локальную потерю устойчивости, результаты, полученные после исследования тонкостенного стержня, также согласуются с аналитикой, что открывает возможность для динамического тестирования тонкостенных профилей на разные случаи нагружения с последующим сравнением с формулой.


Список литературы[править]

  • Власов В. 3., Тонкостенные упругие стержни, 2 изд., М., 1959. О. В. Лужин.
  • Georgieva IB, Schuereman L, Pyl L, Composed columns from cold-formed steel Z-profiles: Experiments and code-based predictions of the overall compression capacity. Engineering Structures 37 (2012)
  • Abaqus/CAE User's Manual, Dassault Systèmes, 2012
  • Hoff,N.J.: The dynamics of the buckling of elastic columns. J. Appl. Mech. 18, 68–74 (1951)
  • Vitaly A. Kuzkin, Mona M. Dannert Buckling of a column under a constant speed compression: a dynamic correction to the Euler formula
Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=Моделирование_динамической_потери_устойчивости_стержней&oldid=43047»