ФПУ термокристалл — различия между версиями

Версия 21:33, 19 января 2016

[math] \def\({\left(} \def\){\right)} [/math] Рассматривается одномерный кристалл: цепочка одинаковых частиц массы [math]m[/math], соединенных одинаковыми нелинейными пружинами с жесткостью [math]C[/math]. Уравнения динамики кристалла имеют вид:

[math] \ddot u_k = (u_{k-1} - 2u_k + u_{k+1})(\omega_0^2 + \alpha(u_{k+1} - u_{k-1})),\quad \omega_0 = \sqrt{\frac{C}{m}}, [/math]

где [math]u_k[/math] — перемещение [math]k[/math]-й частицы; [math]k[/math] — индекс, принимающий произвольные целые значения, [math]\alpha[/math] — коэффициент при нелинейной части уравнения. Будем считать, что выполнены условия периодичности: [math]u_{k+N} = u_k[/math], где [math]N \gg 1[/math] — число независимых частиц.

Начальные скорости в кристалле задаются следующим образом:

[math] \left. v(x) \right |_{t = 0} = A \sin \( \frac{2\pi x}{L} \), [/math]

где [math]A[/math] — амплитуда, [math]L[/math] — длина кристалла, [math]x\in [0, L][/math].

Начальные перемещения заданы таким образом, чтобы синус двигался по цепочке вправо. Кристалл бесконечный (т.к. выполнены условия периодичности), поэтому можно отслеживать синус двигая "камеру" за ним со скоростью движения волны.

При малых [math]t[/math] в распределении скоростей по длине цепочки явно прослеживается форма синуса, однако, при возрастании [math]t[/math] цепочка теряет свою форму. Это случается из за нелинейного взаимодействия между частицами.

Чтобы определить, насколько форма цепочки близка к форме синуса, посчитаем амплитуду [math]A[/math]:

[math]A = 2\int_0^{L}{v(x)sin(x)}\,\mathrm{d}x[/math].

Чтобы понять, по какому закону изменяется функция [math]A(t)[/math], посчитаем:

[math]A^* = \sqrt{-\log{A}}[/math].

Видно, что до момента падения амплитуды до значения, близкого к нулю, [math]A^*[/math] — прямая с некоторой погрешностью. Значит [math]A(t)[/math] изменяется по закону [math]e^{-t^2}[/math].