Одномерное уравнение теплопроводности. Фролова Ксения. 6 курс — различия между версиями
(→Постановка задачи) |
(→Реализация) |
||
| Строка 12: | Строка 12: | ||
При решении поставленной задачи будем использовать замену частных производных в дифференциальных уравнениях их разностными аналогами. Сеточный метод, основанный на замене в дифференциальном уравнении производных конечными разностями, называют '''методом конечных разностей''', а сеточную схему такого метода - конечно-разностной.<br> | При решении поставленной задачи будем использовать замену частных производных в дифференциальных уравнениях их разностными аналогами. Сеточный метод, основанный на замене в дифференциальном уравнении производных конечными разностями, называют '''методом конечных разностей''', а сеточную схему такого метода - конечно-разностной.<br> | ||
Введем равномерную сетку <math>0 < x_i < L</math> с шагом разбиения <math>Δx</math>, <math>Δt</math> - шаг по времени. Явная конечно-разностная схема в таком случае будет выглять следующим образом:<br> | Введем равномерную сетку <math>0 < x_i < L</math> с шагом разбиения <math>Δx</math>, <math>Δt</math> - шаг по времени. Явная конечно-разностная схема в таком случае будет выглять следующим образом:<br> | ||
| − | <math>\frac{U_i^{n+1}-U_i^{n}}{Δ t} = a^2\frac{U_{i+1}^{n} - 2U_{i}^{n}+U_{i-1}^{n}}{Δx^2}</math> | + | <math>\frac{U_i^{n+1}-U_i^{n}}{Δ t} = a^2\frac{U_{i+1}^{n} - 2U_{i}^{n}+U_{i-1}^{n}}{Δx^2}</math><br> |
| + | Отрезок [0..L] разбивается на интервалы согласно количеству процессов в выполняемой параллельной программе. На каждом полученном таким способом интервале процесс интегрирования осуществляется отдельным процессом, при этом в связи с использованием явной схемы соседние процессы должны обмениваться крайними значениями, полученными на предыдущем шаге, для выполнения следующего шага.<br> | ||
| + | Программа для решения одномерного уравнения теплопроводности: | ||
| + | ==Результаты== | ||
| + | |||
==Результаты== | ==Результаты== | ||
Версия 15:48, 17 января 2016
Содержание
Постановка задачи
Необходимо решить задачу Коши для одномерного уравнения теплопроводности (дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка, которое описывает распределение температуры в заданной области пространства и его изменение во времени.) с использованием средств параллельного программирования на основе MPI.
Задача решается для однородного уравнения теплопроводности (система теплоизолирована) на промежутке [0..L]:
при следующих граничных условиях:
Реализация
При решении поставленной задачи будем использовать замену частных производных в дифференциальных уравнениях их разностными аналогами. Сеточный метод, основанный на замене в дифференциальном уравнении производных конечными разностями, называют методом конечных разностей, а сеточную схему такого метода - конечно-разностной.
Введем равномерную сетку с шагом разбиения , - шаг по времени. Явная конечно-разностная схема в таком случае будет выглять следующим образом:
Отрезок [0..L] разбивается на интервалы согласно количеству процессов в выполняемой параллельной программе. На каждом полученном таким способом интервале процесс интегрирования осуществляется отдельным процессом, при этом в связи с использованием явной схемы соседние процессы должны обмениваться крайними значениями, полученными на предыдущем шаге, для выполнения следующего шага.
Программа для решения одномерного уравнения теплопроводности:
