Одномерное уравнение теплопроводности. Буй Ван Шань. 6 курс — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
(→‎Результаты)
(→‎Конечно-разностная схема)
Строка 17: Строка 17:
 
Задача содержит производную по времени первого порядка и производную по пространственной координате второго порядка.
 
Задача содержит производную по времени первого порядка и производную по пространственной координате второго порядка.
 
Запишем исходное уравнение в виде
 
Запишем исходное уравнение в виде
−
:<math>\frac{\partial T\left(x,t\right)}{\partial t} = a^2\frac{\partial^2 T\left(x,t\right)}{\partial x^2}</math>
+
:<math>\frac{\partial U\left(x,t\right)}{\partial t} = a^2\frac{\partial^2 U\left(x,t\right)}{\partial x^2}</math>
  
 
Введем равномерную сетку <math>0 < x_i < L</math> с шагом разбиения <math>Δx</math>. Шаг по времени назовем <math>Δt</math>
 
Введем равномерную сетку <math>0 < x_i < L</math> с шагом разбиения <math>Δx</math>. Шаг по времени назовем <math>Δt</math>
 
Построим явную конечно-разностную схему:
 
Построим явную конечно-разностную схему:
−
:<math>\frac{T_i^{n+1}-T_i^{n}}{Δ t} = \frac{a^2}{Δx^2}\left(T_{i+1}^{n} - 2T_{i}^{n}+T_{i-1}^{n}\right)</math>
+
:<math>\frac{U_i^{n+1}-U_i^{n}}{Δ t} = \frac{a^2}{Δx^2}\left(U_{i+1}^{n} - 2U_{i}^{n}+U_{i-1}^{n}\right)</math>
−
Где, <math>T_i</math> — значение температуры в <math>i</math>-ом узле.
+
Где, <math>U_i</math> — значение температуры в <math>i</math>-ом узле.
 +
 
 
===Данные для расчета===
 
===Данные для расчета===
 
:<math> \begin{cases}
 
:<math> \begin{cases}

Версия 14:32, 30 ноября 2015

Постановка задачи

Пример численного решения уравнения теплопроводности. Цветом и высотой поверхности передана температура данной точки.

Решается однородное уравнение теплопроводности на промежутке [math]\left[a\ldots b\right][/math]

[math]\frac{\partial U\left(x,t\right)}{\partial t} - k^2\frac{\partial^2 U\left(x,t\right)}{\partial x^2} = f(x,t)[/math]

С граничными условиями

[math] \begin{cases} U(a,t) = M1(t) \\ U(b,t) = M2(t) \end{cases}[/math]

и начальным распределением температуры

[math]U(x,0) = U0(x)[/math]
  • Где :[math]f(x,t), U0(x), M1(t), M2(t)[/math] - Известные функции

Реализация

Конечно-разностная схема

Задача содержит производную по времени первого порядка и производную по пространственной координате второго порядка. Запишем исходное уравнение в виде

[math]\frac{\partial U\left(x,t\right)}{\partial t} = a^2\frac{\partial^2 U\left(x,t\right)}{\partial x^2}[/math]

Введем равномерную сетку [math]0 \lt x_i \lt L[/math] с шагом разбиения [math]Δx[/math]. Шаг по времени назовем [math]Δt[/math] Построим явную конечно-разностную схему:

[math]\frac{U_i^{n+1}-U_i^{n}}{Δ t} = \frac{a^2}{Δx^2}\left(U_{i+1}^{n} - 2U_{i}^{n}+U_{i-1}^{n}\right)[/math]

Где, [math]U_i[/math] — значение температуры в [math]i[/math]-ом узле.

Данные для расчета

[math] \begin{cases} a=0;b=1\\ M1(t)=6t+0.887\\ M2(t)=0.0907\\ U0(x)=cos(x+0.48)\\ f(x,t)=0\\ k=1 \end{cases}[/math]

Результаты

  • Решение
    • 2 процесса
Решение при запуске 2-х процессов
  • 4 процесса
Решение при запуске 4-х процессов
  • Погрешность вычисления
  • Зависимость времени расчета от количества процессов при постоянных шагах вычисления: dx = 0.001; dt = 0.000001
Зависимость времени расчета от кол. процессов
Количество процессов Время рассчета (сек)
2 96.58
4 49.4
8 28.66
10 23.63
20 12.89
30 9.27
40 7.52

Для малого числа узлов в сетке использовать многопроцессорные вычисления не выгодно: время работы программы неуменьшается. Заметим что при увеличении количества процессов, скорость расчета параллельно повысилась

Ссылки для скачивания

Скачать реализацию 1d Файл:HeatEquation.rar

Скачать реализацию 2d Файл:MPI2x.rar

Полезные ссылки

Уравнение теплопроводности

Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=Одномерное_уравнение_теплопроводности._Буй_Ван_Шань._6_курс&oldid=37837»