Распространение тепла в гармоническом одномерном кристалле — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
(→‎top)
Строка 3: Строка 3:
 
[[А.М. Кривцов]] (аналитическое решение, алгоритмы моделирования), [[Д.В. Цветков]] (программирование, расчетные алгоритмы). <HR>
 
[[А.М. Кривцов]] (аналитическое решение, алгоритмы моделирования), [[Д.В. Цветков]] (программирование, расчетные алгоритмы). <HR>
 
<!--'''''Если отображается старая версия программы, обновите с помощью Ctrl + F5'''''-->
 
<!--'''''Если отображается старая версия программы, обновите с помощью Ctrl + F5'''''-->
−
 
+
__NOTOC__
  
 
Распространение тепла в простейших дискретных системах не подчиняется законам, известным для обычных макроскопических тел. Недавние экспериментальные работы показали, что аналогичные эффекты наблюдаются на наноуровне, в молекулярных и атомарных системах. Компьютерная программа, представленная ниже, демонстрирует распространение тепла в  одномерном гармоническом кристалле. Показаны два графика: результаты молекулярно-динамического моделирования и континуального описания. Программа также позволяет осуществить сравнение с другими теориями распространения возмущений в континуальных средах. Анализ системы и получение для нее континуального описания представлены в работе: [[A.M. Krivtsov]], '''On unsteady heat conduction in a harmonic crystal'''. ArXiv:1509.02506 ([http://arxiv.org/abs/1509.02506 abstract], [http://arxiv.org/pdf/1509.02506v2.pdf pdf]).  
 
Распространение тепла в простейших дискретных системах не подчиняется законам, известным для обычных макроскопических тел. Недавние экспериментальные работы показали, что аналогичные эффекты наблюдаются на наноуровне, в молекулярных и атомарных системах. Компьютерная программа, представленная ниже, демонстрирует распространение тепла в  одномерном гармоническом кристалле. Показаны два графика: результаты молекулярно-динамического моделирования и континуального описания. Программа также позволяет осуществить сравнение с другими теориями распространения возмущений в континуальных средах. Анализ системы и получение для нее континуального описания представлены в работе: [[A.M. Krivtsov]], '''On unsteady heat conduction in a harmonic crystal'''. ArXiv:1509.02506 ([http://arxiv.org/abs/1509.02506 abstract], [http://arxiv.org/pdf/1509.02506v2.pdf pdf]).  
Строка 10: Строка 10:
  
 
{{#widget:Iframe |url=http://tm.spbstu.ru/htmlets/Tcvetkov/Equations/Equation%20v8b-10%20debug%20random/Equations_rus.html |width=1030 |height=785 |border=0 }}
 
{{#widget:Iframe |url=http://tm.spbstu.ru/htmlets/Tcvetkov/Equations/Equation%20v8b-10%20debug%20random/Equations_rus.html |width=1030 |height=785 |border=0 }}
 +
 +
== Дискретная модель (микроуровень) ==
 +
 +
Рассматривается одномерный кристалл, описываемый следующими уравнениями движения:
 +
:<math>
 +
    \ddot{u}_i = \omega_0^2(u_{i-1}-2u_i+u_{i+1})
 +
    ,\qquad \omega_0 = \sqrt{C/m},
 +
</math>
 +
где
 +
<math>u_i</math> — перемещение частицы,
 +
<math>i</math> — номер частицы,
 +
<math>m</math> — масса частицы,
 +
<math>C</math> — жесткость связи между частицами.
 +
Кристалл считается бесконечным: индекс <math>i</math> принимает произвольные целые значения.
 +
Начальные условия:
 +
:<math>
 +
    u_i|_{t=0} = 0
 +
    ,\qquad
 +
    \dot u_i|_{t=0} = \sigma(x)\varrho_i
 +
    ,
 +
</math>
 +
где <math>\varrho_i</math> — независимые случайные величины с нулевым матожиданием и единичной дисперсией; <math>\sigma</math> — дисперсия начальных скоростей частиц, являющаяся медленно изменяющейся функцией пространственной координаты <math>x=ia</math>, где <math>a</math> — шаг кристаллической решетки. Данные начальные условия можно интерпретировать как результат воздействия на кристалл ультракороткого лазерного импульса. На границах используются условия периодичности.
 +
 +
== Кинетическая температура: связь между микро и макро ==
 +
 +
Кинетическая температура <math>T</math> определяется как
 +
:<math>
 +
    T(x) = \frac m{k_{B}}\langle\dot u_i^2\rangle,
 +
</math>
 +
где
 +
<math>k_{B}</math> — постоянная Больцмана,
 +
<math>i=x/a</math>,
 +
треугольными скобками обозначено математическое ожидание.
 +
 +
== Континуальное описание ==
 +
 +
{{oncolor||blue|—}} Обратимое уравнение теплопроводности (Кривцов): <math>\ddot T +\frac1t\dot T = c^2 T''</math>  —  уравнение, выведенное как прямое следствие дискретных уравнений динамики кристалла [http://arxiv.org/abs/1509.02506].
 +
 +
Обозначения:
 +
<math>t</math> — время (переменная),
 +
<math>c</math> — скорость звука.
 +
 +
== Классические континуальные уравнения ==
 +
 +
{{oncolor||red|—}} Теплопроводности (Фурье): <math>\dot T = \beta T''</math> [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8]
 +
 +
{{oncolor||#008888|—}} Максвелла-Каттанео-Вернотта: <math>\ddot T +\frac1\tau\dot T = \frac\beta\tau T''</math>
 +
 +
{{oncolor||#00ff00|—}} Волновое (Д’Аламбер): <math>\ddot T = c^2 T''</math> [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5]
 +
 +
Обозначения:
 +
<math>\tau</math> — время релаксации (константа),
 +
<math>\beta</math> — температуропроводность,
 +
<math>\kappa</math> — теплопроводность,
 +
<math>\rho</math> — плотность.
 +
 +
== Публикации по теме ==
 +
 +
* [[A.M. Krivtsov]]. '''On unsteady heat conduction in a harmonic crystal.''' ArXiv:1509.02506 ([http://arxiv.org/abs/1509.02506 abstract], [http://arxiv.org/pdf/1509.02506v2.pdf pdf], [[Heat transfer in a 1D harmonic crystal|simulation]])
 +
 +
* [[А.М. Кривцов]]. '''Колебания энергий в одномерном кристалле'''. [http://www.maik.ru/cgi-perl/journal.pl?lang=rus&name=dan Доклады Академии Наук]. 2014, том 458, № 3, 279-281. (Скачать pdf: [[Медиа: Krivtsov_2014_DAN_rus_corrected.pdf| 180 Kb]]).  English version: Anton M. [[Krivtsov]]. '''Energy Oscillations in a One-Dimensional Crystal.''' [http://www.maik.ru/cgi-perl/journal.pl?lang=rus&name=dan Doklady Akademii Nauk].  Doklady Physics, 2014, Vol. 59, No. 9, pp. 427–430. (Download pdf: [[Медиа: Krivtsov_2014_DAN_eng_corrected.pdf| 162 Kb]])
 +
 +
<!--
  
 
== См. также ==
 
== См. также ==
Строка 16: Строка 79:
 
* [[Распространение тепла в гармоническом одномерном кристалле: регулярная температура]]
 
* [[Распространение тепла в гармоническом одномерном кристалле: регулярная температура]]
  
 +
-->
 
[[Category: Виртуальная лаборатория]]
 
[[Category: Виртуальная лаборатория]]

Версия 21:43, 9 октября 2015

Виртуальная лаборатория > Распространение тепла в гармоническом одномерном кристалле
А.М. Кривцов (аналитическое решение, алгоритмы моделирования), Д.В. Цветков (программирование, расчетные алгоритмы).


Распространение тепла в простейших дискретных системах не подчиняется законам, известным для обычных макроскопических тел. Недавние экспериментальные работы показали, что аналогичные эффекты наблюдаются на наноуровне, в молекулярных и атомарных системах. Компьютерная программа, представленная ниже, демонстрирует распространение тепла в одномерном гармоническом кристалле. Показаны два графика: результаты молекулярно-динамического моделирования и континуального описания. Программа также позволяет осуществить сравнение с другими теориями распространения возмущений в континуальных средах. Анализ системы и получение для нее континуального описания представлены в работе: A.M. Krivtsov, On unsteady heat conduction in a harmonic crystal. ArXiv:1509.02506 (abstract, pdf).

Для просмотра процесса с начала нажмите кнопку Рестарт.

Дискретная модель (микроуровень)

Рассматривается одномерный кристалл, описываемый следующими уравнениями движения:

[math] \ddot{u}_i = \omega_0^2(u_{i-1}-2u_i+u_{i+1}) ,\qquad \omega_0 = \sqrt{C/m}, [/math]

где [math]u_i[/math] — перемещение частицы, [math]i[/math] — номер частицы, [math]m[/math] — масса частицы, [math]C[/math] — жесткость связи между частицами. Кристалл считается бесконечным: индекс [math]i[/math] принимает произвольные целые значения. Начальные условия:

[math] u_i|_{t=0} = 0 ,\qquad \dot u_i|_{t=0} = \sigma(x)\varrho_i , [/math]

где [math]\varrho_i[/math] — независимые случайные величины с нулевым матожиданием и единичной дисперсией; [math]\sigma[/math] — дисперсия начальных скоростей частиц, являющаяся медленно изменяющейся функцией пространственной координаты [math]x=ia[/math], где [math]a[/math] — шаг кристаллической решетки. Данные начальные условия можно интерпретировать как результат воздействия на кристалл ультракороткого лазерного импульса. На границах используются условия периодичности.

Кинетическая температура: связь между микро и макро

Кинетическая температура [math]T[/math] определяется как

[math] T(x) = \frac m{k_{B}}\langle\dot u_i^2\rangle, [/math]

где [math]k_{B}[/math] — постоянная Больцмана, [math]i=x/a[/math], треугольными скобками обозначено математическое ожидание.

Континуальное описание

— Обратимое уравнение теплопроводности (Кривцов): [math]\ddot T +\frac1t\dot T = c^2 T''[/math] — уравнение, выведенное как прямое следствие дискретных уравнений динамики кристалла [1].

Обозначения: [math]t[/math] — время (переменная), [math]c[/math] — скорость звука.

Классические континуальные уравнения

— Теплопроводности (Фурье): [math]\dot T = \beta T''[/math] [2]

— Максвелла-Каттанео-Вернотта: [math]\ddot T +\frac1\tau\dot T = \frac\beta\tau T''[/math]

— Волновое (Д’Аламбер): [math]\ddot T = c^2 T''[/math] [3]

Обозначения: [math]\tau[/math] — время релаксации (константа), [math]\beta[/math] — температуропроводность, [math]\kappa[/math] — теплопроводность, [math]\rho[/math] — плотность.

Публикации по теме

Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=Распространение_тепла_в_гармоническом_одномерном_кристалле&oldid=36832»