Сиситема груза и блоков — различия между версиями
Sizova (обсуждение | вклад) (→Решение) |
Sizova (обсуждение | вклад) (→Визуализация программы) |
||
(не показано 9 промежуточных версий 2 участников) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
'''''Задача:''''' С помощью языка программирования JavaScript смоделировать систему блоков с грузом. | '''''Задача:''''' С помощью языка программирования JavaScript смоделировать систему блоков с грузом. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
== Решение == | == Решение == | ||
Строка 14: | Строка 17: | ||
Кинетическая энергия системы | Кинетическая энергия системы | ||
− | <math> T=T_A+T_B+T_C+T_{каната}=\frac{M_1v^2}{2}+\frac{M_3r^2}{4}(\frac{v}{r})^2 + \frac{M_3v^2}{2} + \frac{M_3r^2}{4}(\frac{v}{r})^2+\frac{M-2v^2} | + | <math> T=T_A+T_B+T_C+T_{каната}=\frac{M_1v^2}{2}+\frac{M_3r^2}{4}\left (\frac{v}{r}\right)^2 + \frac{M_3v^2}{2} + \frac{M_3r^2}{4}\left (\frac{v}{r}\right)^2+\frac{M-2v^2}{2}=\frac{v^2}{2}(M_1+M_2+2M_3)</math> |
− | {2}=\frac{v^2}{2}(M_1+M_2+2M_3)</math> | ||
В вычислениях учли отсутствие скольжения катка <math> C </math> (точка касания <math> P </math> - мгновенный центр скоростей катка). | В вычислениях учли отсутствие скольжения катка <math> C </math> (точка касания <math> P </math> - мгновенный центр скоростей катка). | ||
Строка 84: | Строка 86: | ||
<math> \dot{v}ac=M_1gc+\frac{M_2gf_k}{L}(-\frac{c^2}{2r}+\frac{bc}{f_K})-M_3g\frac{f_kc}{r} </math> | <math> \dot{v}ac=M_1gc+\frac{M_2gf_k}{L}(-\frac{c^2}{2r}+\frac{bc}{f_K})-M_3g\frac{f_kc}{r} </math> | ||
− | Сокращаем на с, расписываем выражения а, b и с, группируем члены. В результате получаем: | + | Сокращаем на <math>с</math>, расписываем выражения <math>а</math>, <math>b</math> и <math>с</math>, группируем члены. В результате получаем: |
− | <math \dot{v}(M_1+M_2+2M_3)=g\left [ M_1+ \frac{M_2}{2L}(2l+2r)-\frac{M_2f_K}{r}(\frac{1}{2}-\frac{1}{2L}-\frac{\pi r}{4L})-M_3\frac{f_k}{r}+M_2\frac{f_k}{r}(\frac{1}{2L}+\frac{r}{Lf_K)y \right ]. </math> | + | <math> \dot{v}(M_1+M_2+2M_3)=g\left [ M_1+ \frac{M_2}{2L}(2l+2r)-\frac{M_2f_K}{r}(\frac{1}{2}-\frac{1}{2L}-\frac{\pi r}{4L})-M_3\frac{f_k}{r}+M_2\frac{f_k}{r}(\frac{1}{2L}+\frac{r}{Lf_K})y \right ]. </math> |
Так как | Так как | ||
Строка 94: | Строка 96: | ||
то разделяем переменные в дифференциальном уравнении и берем интеграл: | то разделяем переменные в дифференциальном уравнении и берем интеграл: | ||
− | <math> (M_1+M_2+2M_3)\int_0^v vdv= \int_0^h g\left [ M_1+ \frac{M_2}{2L}(2l+2r)-\frac{M_2f_K}{r}(\frac{1}{2}-\frac{1}{2L}-\frac{\pi r}{4L})-M_3\frac{f_k}{r}+M_2\frac{f_k}{r}(\frac{1}{2L}+\frac{r}{Lf_K}y \right ]dy </math> | + | <math> (M_1+M_2+2M_3)\int_0^v vdv= \int_0^h g\left [ M_1+ \frac{M_2}{2L}(2l+2r)-\frac{M_2f_K}{r}(\frac{1}{2}-\frac{1}{2L}-\frac{\pi r}{4L})-M_3\frac{f_k}{r}+M_2\frac{f_k}{r}(\frac{1}{2L}+\frac{r}{Lf_K})y \right ]dy </math> |
Из полученного выражения получаем величину скорости груза А при его опускании на высоту <math> h </math> | Из полученного выражения получаем величину скорости груза А при его опускании на высоту <math> h </math> | ||
<math> v = \left \{ \frac{2gh}{M_1+M_2+2M_3} \left \{ M_1+\frac{M_2}{2L}{2l+2r+h}- \frac{f_K}{r} \left [ M_3+ M_2(\frac{1}{2}-\frac{1}{2L}-\frac{\pi r}{4L} - \frac{h}{4L} \right ] \right \} \right \} ^{\frac{1}{2}} </math> | <math> v = \left \{ \frac{2gh}{M_1+M_2+2M_3} \left \{ M_1+\frac{M_2}{2L}{2l+2r+h}- \frac{f_K}{r} \left [ M_3+ M_2(\frac{1}{2}-\frac{1}{2L}-\frac{\pi r}{4L} - \frac{h}{4L} \right ] \right \} \right \} ^{\frac{1}{2}} </math> | ||
+ | |||
+ | == Визуализация программы == | ||
+ | {{#widget:Iframe |url=http://tm.spbstu.ru/htmlets/Sizova/dl_kp.html | справа |width=700|height=600 |border=0 }} | ||
+ | |||
+ | <div class="mw-collapsible mw-collapsed"> | ||
+ | '''Текст программы на языке JavaScript:''' <div class="mw-collapsible-content"> | ||
+ | Файл '''"dl_kp.js"''' | ||
+ | <syntaxhighlight lang="javascript" line start="1" enclose="div"> |
Текущая версия на 22:27, 9 июня 2015
Задача: С помощью языка программирования JavaScript смоделировать систему блоков с грузом.
Решение[править]
Условия задачи:
Груз массы
подвешен на нерастяжимом однородном тросе длины , навитом на цилиндрический барабан с горизонтальной осью вращения. Момент инерции барабана относительно оси вращения , радиус барабана , масса единицы длины каната . Определить скорость груза в момент, когда длина свисающей части каната равна если в начальный момент скорость груза , а длина свисающей части каната была равна ; трением на оси барабана, толщиной троса и изменением потенциальной энергии троса, навитого на барабан, пренебречь.Решение: Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме:
Кинетическая энергия системы
В вычислениях учли отсутствие скольжения катка
(точка касания - мгновенный центр скоростей катка).Дифференциал кинетической энергии
Суммарная элементарная работа внутренних и внешних сил сводится в работе силы тяжести груза
:
работе силы тяжести каната:
и работе силы трения качения катка
:
В результате уравнение принимает вид
Для определения нормальной реакции катка Т(н) воспользуемся теоремой об изменении кинетического момента всей системы относительно оси вращения блока
:
Здесь масса горизонтального участка каната
масса участка каната, облегающего блок
,
масса вертикального участка каната
Центр масс горизонтального участка каната - точка
, причем
Центр масс каната, облегающего блок
- точка , такая, что
После преобразований получим:
Из полученного уравнения (2) выразим
:
где
Подставим
в уравнение (1):
Разделим левую и правую части на
и сократим все слагаемые на . Далее после несложных преобразований и умножения левой и правой частей на , получим:
Сокращаем на
, расписываем выражения , и , группируем члены. В результате получаем:
Так как
то разделяем переменные в дифференциальном уравнении и берем интеграл:
Из полученного выражения получаем величину скорости груза А при его опускании на высоту
Визуализация программы[править]
Файл "dl_kp.js"
<syntaxhighlight lang="javascript" line start="1" enclose="div">