Сиситема груза и блоков — различия между версиями
Sizova (обсуждение | вклад) (→Решение) |
Sizova (обсуждение | вклад) (→Визуализация программы) |
||
(не показано 17 промежуточных версий 2 участников) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
'''''Задача:''''' С помощью языка программирования JavaScript смоделировать систему блоков с грузом. | '''''Задача:''''' С помощью языка программирования JavaScript смоделировать систему блоков с грузом. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
== Решение == | == Решение == | ||
Строка 8: | Строка 11: | ||
'''''Решение:''''' | '''''Решение:''''' | ||
− | Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме: | + | Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме: |
+ | |||
<math> dT=\Sigma dA^{(e)}_k+ \Sigma dA^{(i)}_k </math> | <math> dT=\Sigma dA^{(e)}_k+ \Sigma dA^{(i)}_k </math> | ||
+ | |||
Кинетическая энергия системы | Кинетическая энергия системы | ||
− | <math> T=T_A+T_B+T_C+T_{каната}=\frac{M_1v^2}{2}+\frac{M_3r^2}{4}(\frac{v}{r})^2 + \frac{M_3v^2}{2} + \frac{M_3r^2}{4}(\frac{v}{r})^2+\frac{M-2v^2}{2}=\frac{v^2}{2}(M_1+M_2+2M_3)</math> | + | |
+ | <math> T=T_A+T_B+T_C+T_{каната}=\frac{M_1v^2}{2}+\frac{M_3r^2}{4}\left (\frac{v}{r}\right)^2 + \frac{M_3v^2}{2} + \frac{M_3r^2}{4}\left (\frac{v}{r}\right)^2+\frac{M-2v^2}{2}=\frac{v^2}{2}(M_1+M_2+2M_3)</math> | ||
+ | |||
В вычислениях учли отсутствие скольжения катка <math> C </math> (точка касания <math> P </math> - мгновенный центр скоростей катка). | В вычислениях учли отсутствие скольжения катка <math> C </math> (точка касания <math> P </math> - мгновенный центр скоростей катка). | ||
+ | |||
Дифференциал кинетической энергии | Дифференциал кинетической энергии | ||
+ | |||
<math> dT = (M_1+M_2+2M_3)vdv. </math> | <math> dT = (M_1+M_2+2M_3)vdv. </math> | ||
+ | |||
Суммарная элементарная работа внутренних и внешних сил сводится в работе силы тяжести груза <math> A </math>: | Суммарная элементарная работа внутренних и внешних сил сводится в работе силы тяжести груза <math> A </math>: | ||
+ | |||
<math> dA(M_1\vec{g})=M_1gdy; </math> | <math> dA(M_1\vec{g})=M_1gdy; </math> | ||
+ | |||
работе силы тяжести каната: | работе силы тяжести каната: | ||
+ | |||
<math> dA(M_2\vec{g})=\frac{M_2}{L}(l+r+y)gdy </math> | <math> dA(M_2\vec{g})=\frac{M_2}{L}(l+r+y)gdy </math> | ||
+ | |||
и работе силы трения качения катка <math> C </math>: | и работе силы трения качения катка <math> C </math>: | ||
+ | |||
<math> dA(M_K)=-M_Kd\varphi=-f_KN(y)\frac{dy}{r} </math> | <math> dA(M_K)=-M_Kd\varphi=-f_KN(y)\frac{dy}{r} </math> | ||
+ | |||
В результате уравнение принимает вид | В результате уравнение принимает вид | ||
+ | |||
<math> (M_1+M_2+2M-3)vdv=M_1gdy+\frac{M_2}{L}(l+r+y)gdy-f_KN(y)\frac{dy}/{r}. \qquad (1) </math> | <math> (M_1+M_2+2M-3)vdv=M_1gdy+\frac{M_2}{L}(l+r+y)gdy-f_KN(y)\frac{dy}/{r}. \qquad (1) </math> | ||
− | Для определения нормальной реакции катка Т(н) воспользуемся теоремой об изменении кинетического момента всей системы относительно оси вращения блока <math> B </math>: | + | |
+ | Для определения нормальной реакции катка Т(н) воспользуемся теоремой об изменении кинетического момента всей системы относительно оси вращения блока | ||
+ | <math> B </math>: | ||
+ | |||
<math> \frac{d}{dt}(K^{(A)}_{Bz}+K^{(B)}_{Bz}+K^{(C)}_{Bz}+K^{(каната)}_{Bz})=\Sigma M_{Bz}(\vec{F^{(e)}_k})\Rightarrow \frac{d}{dt}\left [ M_1vr+\frac{M_3r^2}{2}*\frac{v}{r}+ (M_3vr+\frac{M_3r^2}{2}*\frac{v}{r})+M_2vr\right ] = M_1gr+M_{23}gr+M{22}gBS_2\cos(\frac{\pi}{4})-M_{21}gS_1K-M_3g2S_1K+N2S_1K-M_k </math> | <math> \frac{d}{dt}(K^{(A)}_{Bz}+K^{(B)}_{Bz}+K^{(C)}_{Bz}+K^{(каната)}_{Bz})=\Sigma M_{Bz}(\vec{F^{(e)}_k})\Rightarrow \frac{d}{dt}\left [ M_1vr+\frac{M_3r^2}{2}*\frac{v}{r}+ (M_3vr+\frac{M_3r^2}{2}*\frac{v}{r})+M_2vr\right ] = M_1gr+M_{23}gr+M{22}gBS_2\cos(\frac{\pi}{4})-M_{21}gS_1K-M_3g2S_1K+N2S_1K-M_k </math> | ||
+ | |||
Здесь масса горизонтального участка каната | Здесь масса горизонтального участка каната | ||
+ | |||
<math> M_{21}=\frac{M_2}{L}(L-l-y-\frac{\pi r}{2}); </math> | <math> M_{21}=\frac{M_2}{L}(L-l-y-\frac{\pi r}{2}); </math> | ||
+ | |||
масса участка каната, облегающего блок <math> B </math>, | масса участка каната, облегающего блок <math> B </math>, | ||
+ | |||
<math> M_{22}=\frac{M_2}{L} \frac{\pi r}{2}; </math> | <math> M_{22}=\frac{M_2}{L} \frac{\pi r}{2}; </math> | ||
+ | |||
масса вертикального участка каната | масса вертикального участка каната | ||
+ | |||
<math> M_{23}=\frac{M_3}{L}(l+y). </math> | <math> M_{23}=\frac{M_3}{L}(l+y). </math> | ||
+ | |||
Центр масс горизонтального участка каната - точка <math> S_1 </math>, причем | Центр масс горизонтального участка каната - точка <math> S_1 </math>, причем | ||
+ | |||
<math> S_1K=\frac{1}{2}(L-l-y- \frac{\pi r}{2}). </math> | <math> S_1K=\frac{1}{2}(L-l-y- \frac{\pi r}{2}). </math> | ||
+ | |||
Центр масс каната, облегающего блок <math> B </math> - точка <math> S_2 </math>, такая, что | Центр масс каната, облегающего блок <math> B </math> - точка <math> S_2 </math>, такая, что | ||
+ | |||
<math> BS_2=\frac{r\sin(\frac{\pi}{4})}{\frac{\pi}{4}}=\frac{2sqrt{2}r}{\pi}. </math> | <math> BS_2=\frac{r\sin(\frac{\pi}{4})}{\frac{\pi}{4}}=\frac{2sqrt{2}r}{\pi}. </math> | ||
+ | |||
После преобразований получим: | После преобразований получим: | ||
+ | |||
<math> \frac{dv}{dt}(M_1+M_2+2M_3)=M_1g+\frac{M_2}{L}g(l+r+y)-\frac{M_2}{L}g\frac{1}{2r}(L-l-y-\frac{\pi}{2})^2-M_3g\frac{1}{r}(L-l-y-\frac{\pi}{2})+M\frac{1}{r}(L-l-y-\frac{\pi}{2})-N\frac{f_K}{r}. \qquad (2) </math> | <math> \frac{dv}{dt}(M_1+M_2+2M_3)=M_1g+\frac{M_2}{L}g(l+r+y)-\frac{M_2}{L}g\frac{1}{2r}(L-l-y-\frac{\pi}{2})^2-M_3g\frac{1}{r}(L-l-y-\frac{\pi}{2})+M\frac{1}{r}(L-l-y-\frac{\pi}{2})-N\frac{f_K}{r}. \qquad (2) </math> | ||
+ | |||
Из полученного уравнения (2) выразим <math> N(y) </math>: | Из полученного уравнения (2) выразим <math> N(y) </math>: | ||
+ | |||
<math> N(y) = \frac{\dot v ar - M_1gr - \frac{M_2}{r}gbr+\frac{M_2}{L}g\frac{c^2}{2}+M_3gc}{c-f_K}, </math> | <math> N(y) = \frac{\dot v ar - M_1gr - \frac{M_2}{r}gbr+\frac{M_2}{L}g\frac{c^2}{2}+M_3gc}{c-f_K}, </math> | ||
+ | |||
где | где | ||
+ | |||
<math> a = M_1+M_2+3M_3, b = l+y+r, c=L-l-y-\frac{\pi r}{2}. </math> | <math> a = M_1+M_2+3M_3, b = l+y+r, c=L-l-y-\frac{\pi r}{2}. </math> | ||
+ | |||
Подставим <math> N(y) </math> в уравнение (1): | Подставим <math> N(y) </math> в уравнение (1): | ||
+ | |||
<math> avdv=M_1gdy+ \frac{M_2}{L}bgdy-\frac{f_k}{r}\frac{\dot{v}ar}{c-f_k}dy+\frac{f_K}{r}\frac{M_1gr}{c-f_K}dy+\frac{f_K}{r}\frac{M_2gbr}{L(c-f_K)}dy-\frac{f_K}{r}\frac{M_2gc^2}{L(c-f_K)2}dy-\frac{f_K}{r}\frac{M_3gc}{c-f_k}dy. </math> | <math> avdv=M_1gdy+ \frac{M_2}{L}bgdy-\frac{f_k}{r}\frac{\dot{v}ar}{c-f_k}dy+\frac{f_K}{r}\frac{M_1gr}{c-f_K}dy+\frac{f_K}{r}\frac{M_2gbr}{L(c-f_K)}dy-\frac{f_K}{r}\frac{M_2gc^2}{L(c-f_K)2}dy-\frac{f_K}{r}\frac{M_3gc}{c-f_k}dy. </math> | ||
Разделим левую и правую части на <math> dt </math> и сократим все слагаемые на <math> v </math>. Далее после несложных преобразований и умножения левой и правой частей на <math> (c-f_K) </math>, получим: | Разделим левую и правую части на <math> dt </math> и сократим все слагаемые на <math> v </math>. Далее после несложных преобразований и умножения левой и правой частей на <math> (c-f_K) </math>, получим: | ||
+ | |||
<math> \dot{v}ac=M_1gc+\frac{M_2gf_k}{L}(-\frac{c^2}{2r}+\frac{bc}{f_K})-M_3g\frac{f_kc}{r} </math> | <math> \dot{v}ac=M_1gc+\frac{M_2gf_k}{L}(-\frac{c^2}{2r}+\frac{bc}{f_K})-M_3g\frac{f_kc}{r} </math> | ||
− | Сокращаем на с, расписываем выражения а, b и с, группируем члены. В результате получаем: | + | |
− | <math \dot{v}(M_1+M_2+2M_3)=g\left [ M_1+ \frac{M_2}{2L}(2l+2r)-\frac{M_2f_K}{r}(\frac{1}{2}-\frac{1}{2L}-\frac{\pi r}{4L})-M_3\frac{f_k}{r}+M_2\frac{f_k}{r}(\frac{1}{2L}+\frac{r}{Lf_K)y \right ]. | + | Сокращаем на <math>с</math>, расписываем выражения <math>а</math>, <math>b</math> и <math>с</math>, группируем члены. В результате получаем: |
+ | |||
+ | <math> \dot{v}(M_1+M_2+2M_3)=g\left [ M_1+ \frac{M_2}{2L}(2l+2r)-\frac{M_2f_K}{r}(\frac{1}{2}-\frac{1}{2L}-\frac{\pi r}{4L})-M_3\frac{f_k}{r}+M_2\frac{f_k}{r}(\frac{1}{2L}+\frac{r}{Lf_K})y \right ]. </math> | ||
+ | |||
Так как | Так как | ||
+ | |||
+ | <math> \dot{v}=\frac{dv}{dt}\frac{dy}{dy}=v\frac{dv}{dy}, </math> | ||
+ | |||
+ | то разделяем переменные в дифференциальном уравнении и берем интеграл: | ||
+ | |||
+ | <math> (M_1+M_2+2M_3)\int_0^v vdv= \int_0^h g\left [ M_1+ \frac{M_2}{2L}(2l+2r)-\frac{M_2f_K}{r}(\frac{1}{2}-\frac{1}{2L}-\frac{\pi r}{4L})-M_3\frac{f_k}{r}+M_2\frac{f_k}{r}(\frac{1}{2L}+\frac{r}{Lf_K})y \right ]dy </math> | ||
+ | |||
+ | Из полученного выражения получаем величину скорости груза А при его опускании на высоту <math> h </math> | ||
+ | |||
+ | <math> v = \left \{ \frac{2gh}{M_1+M_2+2M_3} \left \{ M_1+\frac{M_2}{2L}{2l+2r+h}- \frac{f_K}{r} \left [ M_3+ M_2(\frac{1}{2}-\frac{1}{2L}-\frac{\pi r}{4L} - \frac{h}{4L} \right ] \right \} \right \} ^{\frac{1}{2}} </math> | ||
+ | |||
+ | == Визуализация программы == | ||
+ | {{#widget:Iframe |url=http://tm.spbstu.ru/htmlets/Sizova/dl_kp.html | справа |width=700|height=600 |border=0 }} | ||
+ | |||
+ | <div class="mw-collapsible mw-collapsed"> | ||
+ | '''Текст программы на языке JavaScript:''' <div class="mw-collapsible-content"> | ||
+ | Файл '''"dl_kp.js"''' | ||
+ | <syntaxhighlight lang="javascript" line start="1" enclose="div"> |
Текущая версия на 22:27, 9 июня 2015
Задача: С помощью языка программирования JavaScript смоделировать систему блоков с грузом.
Решение[править]
Условия задачи:
Груз массы
подвешен на нерастяжимом однородном тросе длины , навитом на цилиндрический барабан с горизонтальной осью вращения. Момент инерции барабана относительно оси вращения , радиус барабана , масса единицы длины каната . Определить скорость груза в момент, когда длина свисающей части каната равна если в начальный момент скорость груза , а длина свисающей части каната была равна ; трением на оси барабана, толщиной троса и изменением потенциальной энергии троса, навитого на барабан, пренебречь.Решение: Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме:
Кинетическая энергия системы
В вычислениях учли отсутствие скольжения катка
(точка касания - мгновенный центр скоростей катка).Дифференциал кинетической энергии
Суммарная элементарная работа внутренних и внешних сил сводится в работе силы тяжести груза
:
работе силы тяжести каната:
и работе силы трения качения катка
:
В результате уравнение принимает вид
Для определения нормальной реакции катка Т(н) воспользуемся теоремой об изменении кинетического момента всей системы относительно оси вращения блока
:
Здесь масса горизонтального участка каната
масса участка каната, облегающего блок
,
масса вертикального участка каната
Центр масс горизонтального участка каната - точка
, причем
Центр масс каната, облегающего блок
- точка , такая, что
После преобразований получим:
Из полученного уравнения (2) выразим
:
где
Подставим
в уравнение (1):
Разделим левую и правую части на
и сократим все слагаемые на . Далее после несложных преобразований и умножения левой и правой частей на , получим:
Сокращаем на
, расписываем выражения , и , группируем члены. В результате получаем:
Так как
то разделяем переменные в дифференциальном уравнении и берем интеграл:
Из полученного выражения получаем величину скорости груза А при его опускании на высоту
Визуализация программы[править]
Файл "dl_kp.js"
<syntaxhighlight lang="javascript" line start="1" enclose="div">