Сиситема груза и блоков — различия между версиями
Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Sizova (обсуждение | вклад) (→Решение) |
Sizova (обсуждение | вклад) (→Решение) |
||
Строка 50: | Строка 50: | ||
Так как | Так как | ||
<math> \dot{v}=\frac{dv}{dt}\frac{dy}{dy}=v\frac{dv}{dy}, </math> | <math> \dot{v}=\frac{dv}{dt}\frac{dy}{dy}=v\frac{dv}{dy}, </math> | ||
− | то разделяем переменные в дифференциальном уравнении и берем | + | то разделяем переменные в дифференциальном уравнении и берем интеграл: |
<math> (M_1+M_2+2M_3)\int_0^v vdv= \int_0^h g\left [ M_1+ \frac{M_2}{2L}(2l+2r)-\frac{M_2f_K}{r}(\frac{1}{2}-\frac{1}{2L}-\frac{\pi r}{4L})-M_3\frac{f_k}{r}+M_2\frac{f_k}{r}(\frac{1}{2L}+\frac{r}{Lf_K)y \right ]dy </math> | <math> (M_1+M_2+2M_3)\int_0^v vdv= \int_0^h g\left [ M_1+ \frac{M_2}{2L}(2l+2r)-\frac{M_2f_K}{r}(\frac{1}{2}-\frac{1}{2L}-\frac{\pi r}{4L})-M_3\frac{f_k}{r}+M_2\frac{f_k}{r}(\frac{1}{2L}+\frac{r}{Lf_K)y \right ]dy </math> | ||
Из полученного выражения получаем величину скорости груза А при его опускании на высоту <math> h </math> | Из полученного выражения получаем величину скорости груза А при его опускании на высоту <math> h </math> | ||
− | <math> v = \left \{ \frac{2gh}{M_1+M_2+2M_3} \left{ M_1+\frac{M_2}{2L}{2l+2r+h)- \frac{f_K}{r} \left [ M_3+ M_2(\frac{1}{2}-\frac{1}{2L}-\frac{\pi r}{4L} - \frac{h}{4L) \right ] \right } \right} ^{\frac{1}{2}} </math> | + | <math> v = \left \{ \frac{2gh}{M_1+M_2+2M_3} \left{ M_1+\frac{M_2}{2L}{2l+2r+h)- \frac{f_K}{r} \left [ M_3+ M_2(\frac{1}{2}-\frac{1}{2L}-\frac{\pi r}{4L} - \frac{h}{4L) \right ] \right } \right} ^{\frac{1}{2}} \right} </math> |
Версия 13:54, 5 июня 2015
Задача: С помощью языка программирования JavaScript смоделировать систему блоков с грузом.
Решение
Условия задачи:
Груз массы
подвешен на нерастяжимом однородном тросе длины , навитом на цилиндрический барабан с горизонтальной осью вращения. Момент инерции барабана относительно оси вращения , радиус барабана , масса единицы длины каната . Определить скорость груза в момент, когда длина свисающей части каната равна если в начальный момент скорость груза , а длина свисающей части каната была равна ; трением на оси барабана, толщиной троса и изменением потенциальной энергии троса, навитого на барабан, пренебречь.Решение: Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме:
Кинетическая энергия системы В вычислениях учли отсутствие скольжения катка (точка касания - мгновенный центр скоростей катка). Дифференциал кинетической энергии Суммарная элементарная работа внутренних и внешних сил сводится в работе силы тяжести груза : работе силы тяжести каната: и работе силы трения качения катка : В результате уравнение принимает вид Для определения нормальной реакции катка Т(н) воспользуемся теоремой об изменении кинетического момента всей системы относительно оси вращения блока : Здесь масса горизонтального участка каната масса участка каната, облегающего блок , масса вертикального участка каната Центр масс горизонтального участка каната - точка , причем Центр масс каната, облегающего блок - точка , такая, что После преобразований получим: Из полученного уравнения (2) выразим : где Подставим в уравнение (1):Разделим левую и правую части на
и сократим все слагаемые на . Далее после несложных преобразований и умножения левой и правой частей на , получим: Сокращаем на с, расписываем выражения а, b и с, группируем члены. В результате получаем: то разделяем переменные в дифференциальном уравнении и берем интеграл: Из полученного выражения получаем величину скорости груза А при его опускании на высоту