КП: Эффект Магнуса — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
(→‎Обсуждение результатов и выводы)
(→‎Обсуждение результатов и выводы)
Строка 95: Строка 95:
 
Разработанный алгоритм был реализован в среде программирования Javascript с использование библиотеки Three.js. Была построена траектория движения и произведены эксперименты, результаты которых находятся в таблице ниже:
 
Разработанный алгоритм был реализован в среде программирования Javascript с использование библиотеки Three.js. Была построена траектория движения и произведены эксперименты, результаты которых находятся в таблице ниже:
  
 +
Шар:
  
 
{| border="1"
 
{| border="1"
Строка 104: Строка 105:
 
  |<math>ω_y</math>
 
  |<math>ω_y</math>
 
  |<math>ω_z</math>
 
  |<math>ω_z</math>
−
  |<math>Δ_y</math>
+
  |<math>m</math>
−
  |<math>ω_x</math>
+
  |<math>r</math>
−
|<math>ω_y</math>
 
−
|<math>ω_z</math>
 
−
|<math>Δ_y</math>
 
−
|<math>ω_x</math>
 
−
|<math>ω_y</math>
 
−
|<math>ω_z</math>
 
−
|<math>Δ_y</math>
 
−
|<math>ω_x</math>
 
−
|<math>ω_y</math>
 
−
|<math>ω_z</math>
 
 
  |<math>Δ_y</math>
 
  |<math>Δ_y</math>
 
  |-
 
  |-
 +
|15
 +
|0
 
  |5
 
  |5
 
  |0
 
  |0
−
|5
 
 
  |0
 
  |0
 +
| -10
 +
|0.45
 +
|0.11
 +
|14.585
 +
|-
 +
|15
 
  |0
 
  |0
−
| -5
 
−
|2.4644
 
 
  |5
 
  |5
 
  |0
 
  |0
−
| -5
 
−
|3.2022
 
 
  |0
 
  |0
 +
| -10
 +
|0.41
 +
|0.11
 +
|15.945
 +
|-
 +
|15
 
  |0
 
  |0
−
| -10
 
−
|4.8584
 
 
  |5
 
  |5
 +
|0
 
  |0
 
  |0
 
  | -10
 
  | -10
−
  |5.4070
+
  |0.45
 +
|0.01
 +
|0.011
 +
|}
 +
 
 +
Цилиндр:
 +
 
 +
{| border="1"
 
  |-
 
  |-
−
  |10
+
  |<math>V_x</math>
 +
|<math>V_y</math>
 +
|<math>V_z</math>
 +
|<math>ω_x</math>
 +
|<math>ω_y</math>
 +
|<math>ω_z</math>
 +
|<math>m</math>
 +
|<math>r</math>
 +
|<math>h</math>
 +
|<math>Δ_y</math>
 +
|-
 +
|15
 
  |0
 
  |0
 
  |5
 
  |5
−
|0
 
−
|0
 
−
| -5
 
−
|4.9289
 
−
|5
 
−
|0
 
−
| -5
 
−
|5.4903
 
 
  |0
 
  |0
 
  |0
 
  |0
 
  | -10
 
  | -10
−
  |9.9168
+
  |0.45
−
  |5
+
  |0.11
−
  |0
+
  |0.22
−
  | -10
+
  |14.508
−
|9.6552
 
 
  |-
 
  |-
 
  |15
 
  |15
 
  |0
 
  |0
 
  |5
 
  |5
−
|0
 
−
|0
 
−
| -5
 
−
|7.3934
 
−
|5
 
−
|0
 
−
| -5
 
−
|7.6860
 
 
  |0
 
  |0
 
  |0
 
  |0
 
  | -10
 
  | -10
−
  |14.5751
+
  |0.41
−
  |5
+
  |0.11
−
  |0
+
  |0.22
−
  | -10
+
  |15.844
−
|13.6855
 
 
  |-
 
  |-
−
  |20
+
  |15
 
  |0
 
  |0
 
  |5
 
  |5
 
  |0
 
  |0
 
  |0
 
  |0
−
  | -5
+
  | -10
−
  |9.8578
+
  |0.45
 +
|0.01
 +
|0.22
 +
|0.011
 +
|-
 +
|15
 +
|0
 
  |5
 
  |5
−
|0
 
−
| -5
 
−
|9.7909
 
 
  |0
 
  |0
 
  |0
 
  |0
 
  | -10
 
  | -10
−
  |19.4335
+
  |0.45
−
|5
+
  |0.11
−
  |0
+
  |1
−
  | -10
+
  |13.287
−
  |17.4784
 
 
  |}
 
  |}
−
где <math>V_x</math>, <math>V_y</math>, <math>V_z</math> - начальные линейные скорости, <math>ω_x</math>, <math>ω_y</math>, <math>ω_z</math> - начальные угловые скорости, а <math>Δ_y</math> - полученное смещение по оси <math>y</math>.
+
 
 +
где <math>V_x</math>, <math>V_y</math>, <math>V_z</math> - начальные линейные скорости, <math>ω_x</math>, <math>ω_y</math>, <math>ω_z</math> - начальные угловые скорости, <math>m</math> - масса объекта, <math>r</math> - радиус объекта, <math>h</math> - высота цилиндра, а <math>Δ_y</math> - полученное смещение по оси <math>y</math>.
  
  

Версия 10:15, 3 июня 2015

А.М. Кривцов > Теоретическая механика > Курсовые проекты ТМ 2015 > Эффект Магнуса


Курсовой проект по Теоретической механике

Исполнитель: Шварёв Николай

Группа: 09 (23604)

Семестр: весна 2015

Сила Магнуса[1]

Аннотация проекта

Данный проект посвящен изучению эффекта Магнуса, возникающего в различных видах спорта, а также использующегося в баллистике, летательных аппаратах и кораблях.В ходе работы над проектом были рассмотрены траектории полета мяча и цилиндра в зависимости от различных начальных параметров (радиуса, динамической вязкости среды, плотности воздуха, линейной и угловой скорости). Программа написана на языке JavaScript с использование библиотеки Three.js.

Формулировка задачи

Построение и исследование математической модели движения объекта (в нашем случае - футбольного мяча и цилиндра), получение уравнения его движения и построение траектории в трехмерном пространстве с учётом различных внешних факторов, влияющих на движение, таких как сила сопротивления воздуха и эффект Магнуса.

Общие сведения по теме

Пример влияния силы Магнуса на траекторию движения мяча[1]

Эффект Магнуса - образование подъемной силы, действующей на вращающееся тело при обтекании его потоком жидкости или газа, широко использующейся в спорте, баллистике, летательных аппаратах и кораблях. [2]

Данный эффект возникает в результате разности давлений (в соответствии с законом Бернулли[3]) на стенках объекта из-за разных скоростей движения воздуха. Возникающий дисбаланс заставляет объект отклоняться.

Решение

Силу сопротивления воздуха для мяча будем считать с помощью закона Стокса[4]:

[math]\vec{F} = -6πrη\vec{v} [/math] , где

[math]\vec{F}[/math] - сила Стокса,

[math]r[/math] - радиус мяча,

[math]η[/math] - динамическая вязкость среды,

[math]\vec{v}[/math] - скорость мяча.


Силу Магнуса примем вида[5]:

[math]\vec{F} = 2Sρr\vec{u}\times\vec{ω} [/math] , где

[math]\vec{F}[/math] - сила Магнуса,

[math]S[/math] - площадь действия силы,

[math]ρ[/math] - плотность воздуха,

[math]r[/math] - радиус,

[math]\vec{u}[/math] - относительная скорость,

[math]\vec{ω}[/math] - угловая скорость.


Применив метод Эйлера, получим формулы для нахождения скорости и координаты мяча:

[math] \begin{cases} v_x^{i+1} = v_x^i + (-6πrηv_x^i/m + 2Sρr(u_y^iω_z - u_z^iω_y)/m)\Delta t \\ v_y^{i+1} = v_y^i + (-6πrηv_y^i/m + 2Sρr(u_z^iω_w - u_x^iω_z)/m)\Delta t \\ v_z^{i+1} = v_z^i + (-6πrηv_z^i/m - g + 2Sρr(u_x^iω_y - u_y^iω_x)/m)\Delta t \\ \end{cases} [/math]

[math] \begin{cases} x^{i+1} = x^i + v_x^i\Delta t \\ y^{i+1} = y^i + v_y^i\Delta t \\ z^{i+1} = z^i + v_z^i\Delta t \\ \end{cases} [/math]


Реализация алгоритма.

Возможности программы:

  • поочередный запуск мяча и цилиндра,
  • изменение параметров как в начале, так и во время полета,
  • просмотр картинки в трехмерном изображении с помощью мыши
  • сброс всех данных до начальных при нажатии кнопки "Reload"

Обсуждение результатов и выводы

Пример траектории мяча

Разработанный алгоритм был реализован в среде программирования Javascript с использование библиотеки Three.js. Была построена траектория движения и произведены эксперименты, результаты которых находятся в таблице ниже:

Шар:

[math]V_x[/math] [math]V_y[/math] [math]V_z[/math] [math]ω_x[/math] [math]ω_y[/math] [math]ω_z[/math] [math]m[/math] [math]r[/math] [math]Δ_y[/math]
15 0 5 0 0 -10 0.45 0.11 14.585
15 0 5 0 0 -10 0.41 0.11 15.945
15 0 5 0 0 -10 0.45 0.01 0.011

Цилиндр:

[math]V_x[/math] [math]V_y[/math] [math]V_z[/math] [math]ω_x[/math] [math]ω_y[/math] [math]ω_z[/math] [math]m[/math] [math]r[/math] [math]h[/math] [math]Δ_y[/math]
15 0 5 0 0 -10 0.45 0.11 0.22 14.508
15 0 5 0 0 -10 0.41 0.11 0.22 15.844
15 0 5 0 0 -10 0.45 0.01 0.22 0.011
15 0 5 0 0 -10 0.45 0.11 1 13.287

где [math]V_x[/math], [math]V_y[/math], [math]V_z[/math] - начальные линейные скорости, [math]ω_x[/math], [math]ω_y[/math], [math]ω_z[/math] - начальные угловые скорости, [math]m[/math] - масса объекта, [math]r[/math] - радиус объекта, [math]h[/math] - высота цилиндра, а [math]Δ_y[/math] - полученное смещение по оси [math]y[/math].



Скачать отчет: doc.
Скачать презентацию: pptx.

Ссылки по теме

  1. ↑ Эффект Магнуса
  2. ↑ Сила Магнуса
  3. ↑ Уравнение Бернулли
  4. ↑ Закон Стокса
  5. ↑ Формула Силы Магнуса

См. также

Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=КП:_Эффект_Магнуса&oldid=34377»