Устойчивость протопланетного облака системы "Земля - Луна" — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
(→‎Случай дискообразного протопланетного облака)
(→‎Испарение пылинок в вакуум)
 
(не показано 159 промежуточных версий 4 участников)
Строка 1: Строка 1:
−
==Введение==
+
Проект выполняет [[Мурачёв Андрей]], научный руководитель [[А.М.Кривцов]].
 +
 
 +
==Введение к первой модели ==
 
Рассматривается модель протопланетного облака, состоящего из пыли и газа, образовавшегося засчет испарения пылинок. Плотность вещества в протопланетном диске превышает   
 
Рассматривается модель протопланетного облака, состоящего из пыли и газа, образовавшегося засчет испарения пылинок. Плотность вещества в протопланетном диске превышает   
 
<math>10^{-18} g/cm^3</math>, размеры частиц космической пыли составляют около 0,1 мкм . Газопылевой диск вокруг формирующейся звезды очень быстро "сплющивается" под действием сил гравитации и центробежной силы, направленных к наиболее плотной части диска в плоскости его вращения. Спустя несколько сотен тысяч лет диск имеет массу около 0,1 Масс Солнца, размеры от 0,2 до 50-70 а.е. и толщину около 0,001 диаметра. Размеры пылевых частиц увеличиваются в результате слипания до 10 мкм; их орбиты становятся почти круговыми. Акустические ударные волны, распространяющиеся в облаке при сжатии протозвездного сгустка вещества и возгорании молодой звезды, способствуют возникновению неоднородностей в диске.
 
<math>10^{-18} g/cm^3</math>, размеры частиц космической пыли составляют около 0,1 мкм . Газопылевой диск вокруг формирующейся звезды очень быстро "сплющивается" под действием сил гравитации и центробежной силы, направленных к наиболее плотной части диска в плоскости его вращения. Спустя несколько сотен тысяч лет диск имеет массу около 0,1 Масс Солнца, размеры от 0,2 до 50-70 а.е. и толщину около 0,001 диаметра. Размеры пылевых частиц увеличиваются в результате слипания до 10 мкм; их орбиты становятся почти круговыми. Акустические ударные волны, распространяющиеся в облаке при сжатии протозвездного сгустка вещества и возгорании молодой звезды, способствуют возникновению неоднородностей в диске.
Строка 7: Строка 9:
 
Температура в центральной плоскости протопланетного диска Солнечной системы уменьшалась с удалением от Солнца. Особенно сильно нагревалась ближайшая к звезде "горячая" зона облака: на расстоянии в 1 а.е. температура составляла 300-400 К.
 
Температура в центральной плоскости протопланетного диска Солнечной системы уменьшалась с удалением от Солнца. Особенно сильно нагревалась ближайшая к звезде "горячая" зона облака: на расстоянии в 1 а.е. температура составляла 300-400 К.
  
−
Я пренебрегаю некоторыми важными деталями, для облегчения расчёта и упрощения модели.
+
Я пренебрегаю некоторыми важными деталями для облегчения расчёта и упрощения модели.
 
Далее планируется их все,по возможности, учесть.  
 
Далее планируется их все,по возможности, учесть.  
 
В частности:
 
В частности:
  
−
1. В протооблаке присутствует газ, помимо испарившегося с пылинок. Его влияние не рассматривается, хотя, по всей видимости, он састовляет значительную часть массы протооблака.
+
1. В протооблаке присутствует газ, помимо испарившегося с пылинок. Его влияние не рассматривается, так как считается, что он весь вытеснен солнечным излучением.
−
 
 
−
2. Протооблако на рассматриваемом периоде эволюции не может быть однородным. Однороден, в какой-то мере только протопланетный диск вокруг Солнца.
 
  
−
3. Пока не понятна степень оптической прозрачности облака, которая зависит от концентрации и сорта частиц. А именно она оказывает решающие влияние на испарение пылинок. Я считаю облако полностью прозрачным, что, естественно неправда.
+
2. Пока непонятна степень оптической прозрачности облака, которая зависит от концентрации и сорта частиц. А именно она оказывает решающие влияние на испарение пылинок. Я считаю облако полностью прозрачным, что, естественно неправда.
  
−
4. Вопросы устойчивости облака не рассматриваются. Оно мыслится, как вращающейся диск.
+
4. Соударения между пылинками можно рассматривать, как абсолютно упругие. Хотя это тоже неправда.
  
−
5. Соударения между пылинками можно рассматривать, как абсолютно упругие. Хотя это тоже неправда.
+
==Диффузия от точечного стационарного источника==
  
−
==Диффузия от точечного источника==
+
Рассмотрим облако состоящие из небольших шариков, находящихся во взвешенном состоянии. Обозначим их частицами с концентрацией <math>w</math>,
 +
Теперь, пусть один какой-нибудь шарик начнёт испарятся-излучать равномерно частицы с интенсивностью <math>\dot N</math> (част/сек) , пренебрежительно малых размеров (например молекулы).
  
−
Рассмотрим облако состоящие из небольших шариков, находящихся во взвешенном состоянии. Обозначим их частицами сорта <<1>>,
+
'''В случае отсутствия рассеяния''' уравнение для концентрации <math>n</math>
−
Теперь, пусть один какой--нибудь шарик начнёт испарятся-излучать равномерно частицы сорта <<2>>, пренебрежительно малых размеров. Напишем уравнение диффузии:
 
  
 
<math>
 
<math>
−
\frac{\partial n}{\partial t} - D\triangle n= \dot N\delta^3(r)
+
(1):\frac{\partial n}{\partial t} + (\vec\triangledown \cdot n \vec v)= \dot N\delta^3(r)
 
</math>
 
</math>
  
−
, где <math>n_2(r,t) </math> -концентрация частиц второго сорта на расстоянии r от излучающей частицы в некоторый момент времени t, <math> D =\frac 13 lv=\frac{v}{3(n_{1}\sigma_{1}+n_{2}\sigma_{2})}</math> - коэффициент диффузии (<math>\sigma</math>- сечение взаимодействия пылинок) (В выражении для D можно спокойно принебречь членом, вносящим нелинейность во все последующие рассуждения-<math>n_2(r)</math>. В данной модели газ пылинок довольно разрежен, и соударения между пылинками редки, но газ молекул в свою очередь должен быть ещё более разрежен и на собственную диффузию не оказывать какого-либо заметного влияния. Поэтому <math> D =\frac 13 lv=\frac 13\cdot\frac{v}{n_{1}\sigma_{1}}</math> , <math> \dot N </math>-количество частиц, оторвавшихся с единицы поверхности пылинки за единицу времени [<math>1\backslash</math> сек].
+
Первое слагаемое в силу стационарности-ноль.
 +
 
 +
<math>(2):n v \cdot 4\pi r^2=\dot N</math>
 +
 
 +
<math>(3):n=\frac{\dot N}{4\pi r^2 v}</math>
  
−
Процесс в нашем случае стационарный, поэтому первое слагаемое в левой части равно 0. Плюс ко всему, избавляемся от дельта-функции.
+
''' При наличии рассеяния:'''
  
 
<math>
 
<math>
−
-D\frac{dn}{dr}\cdot 4\pi r^2=\dot N    
+
(4):\frac{\partial n}{\partial t} - D\triangle n = \dot N\delta^3(r)
 
</math>
 
</math>
  
−
Проинтегрируем по r и найдём, что в устоявшемся процессе концентрация частиц сорта <<2>> распределена по пространству таким вот образом:
+
<math>D</math>-коэффициент диффузии.
  
 
<math>
 
<math>
−
n_2(r)^*=\frac{\dot N}{4\pi rD},r>0
+
(5):-D\frac{dn}{dr} \cdot 4 \pi r^2=\dot N
 
</math>
 
</math>
  
−
==Случай дискообразного протопланетного облака==
+
<math>
−
Выделим в облаке окружность с центром в точке (0,0) некоторого радиуса <math>r</math>. Концентрация молекул газа, а следовательно и оказываемое ими давление в силу симметрии будет одинаковым. Найдём эту концентрацию: Сначала учтём вклад "внутренней" области выделенной окружности. Представим ещё одну сферу радиуса <math>a</math>, где <math>$a<r</math> и найдём влияние этой сферы на бесконечно маленький объём <math>G</math> на сфере радиуса <math>r</math>. Для этого, очевидно надо воспользоваться формулой  [1], где <math>r</math> пробегает по всем расстояниям (с каждой точки поверхности сферы до G).
+
(6):n=\frac{\dot N}{4\pi r D}
 +
</math>
  
−
<math>L</math>-расстояние от точки <math>G</math> до точек правой полуокружности.
+
Коэффициент диффузии для газа состоящего из частиц одного сорта, по определению
  
−
<math>\alpha</math>-угол между радиус-вектором <math>r</math> и радиусом <math>a</math>
+
<math>(7):D=\frac{1}{3} \lambda v</math>,
  
−
Смотри рисунок  '''internal.'''
+
где <math>\lambda</math>-длинна свободного пробега, а <math>v</math>- средняя скорость частиц.
  
−
Легко сообразить для левой полуокружности:
+
В первом приближении можно считать
  
−
<math>L_1=\sqrt{r^2+a^2-2ra\cos (\alpha+3\frac\pi2)}=\sqrt{r^2+a^2+2ra\cos \alpha}</math>
+
<math>(8):\lambda=\frac{1}{\sqrt{2}\pi d^2 n}</math>  
  
−
и
+
<math>d</math>-диаметр молекулы.
  
−
<math>L_2=\sqrt{r^2+a^2-2ra\cos (\frac \pi2 +\alpha) }=\sqrt{r^2+a^2-2ra\cos (\alpha) }</math><math>Вставьте сюда формулу</math>
+
В более строгом случае формула (7) требует введения поправочного множителя <math>\xi_D</math>, который учитывает максвелловское распределение скоростей молекул газа
  
−
для правой.
+
<math>(9):D=\frac{1}{3}\xi_D \lambda v</math>,
  
−
Интегрирование по <math>L</math> сводится к интегрированию по <math>\alpha</math> от 0 до <math>\frac \pi 2</math> для "верхнего левого" и "нижнего правого" сектора. А потом результат удваивается.
+
где <math> \xi_D=1.5\div 2.2</math>
  
 +
'''Литература:'''
  
−
<math>n_2(r)_{internal}=2\int_0^r da \left(
+
Проф. Варшелович Д.А. Курс лекций "Радиоастрономия".
−
\int_0^{\frac \pi 2 } d\alpha
 
−
\frac{\dot N\cdot n(a)^*}{4\pi D\sqrt{r^2+a^2-2ra\cos \alpha}}+
 
−
\int_0^{\frac \pi 2 } d\alpha
 
−
\frac{\dot N\cdot n(a)^*}{4\pi D\sqrt{r^2+a^2+2ra\cos \alpha}}\right)</math>
 
  
 +
Я. Грошковский 1975г. Техника высокого вакуума - [http://snvs.ru/knigi/61-texnika-vysokogo-vakuuma-ya-groshkovskij-1975g.html]
  
−
Теперь можно оценить вклад внешних слоёв на наш выделенный объём G .
+
==Случай дискообразного протопланетного облака==
−
Смотри рисунок '''external'''. Можно заметить, что тут всё то же самое, что и в предыдущем примере, лишь точка <math>G</math> <<переехала>> с одного конца отрезка на другой, а <math>a</math> и <math>r</math> поменялись местами. Поэтому повторяя предыдущие рассуждения, можно записать
 
  
 +
Рассмотрим дискообразное распределенние твёрдых частиц по закону <math>\rho(r)=\sqrt{1-\frac{r^2}{R^2}}</math>. Между частицами действуют силы гравитации. И такое распределение позволяет диску вращаться, как единое целое.
  
−
<math>n_2(r)_{internal}=2\int_r^R da \left(
+
Какждая частица испаряется с интенсивностью <math>\dot N</math>. Стоит отметить, что диск находится в трёхмерном пространстве, а поэтому и испарившейся газ может покидать плоскость диска. (Действие гравитации на газ не учитывается)
−
\int_0^{\frac \pi 2 } d\alpha
 
−
\frac{\dot N\cdot n(a)^*}{4\pi D\sqrt{r^2+a^2-2ra\cos \alpha}}+
 
−
\int_0^{\frac \pi 2 } d\alpha
 
−
\frac{\dot N\cdot n(a)^*}{4\pi D\sqrt{r^2+a^2+2ra\cos \alpha}}\right)</math>
 
  
 +
Требуется найти концентрацию молекул газа, как функцию расстояния от центра диска, в плоскости диска.
  
−
Тогда влияние вклад в концентрацию от испарений всего облака будет
+
Я использую уравнение для концентрации для случая отсутствия рассеяния.
 +
 +
<math>n=\frac{\dot N}{4\pi r^2 v}</math>
  
 +
Рассмотрим точку, находящеюся на расстоянии <math>r</math> от центра диска. Вклад в концентрацию газа в окрестности этой точки  элементарного объёма <math>dxdydz</math>, расположенного на расстоянии <math>x</math> от центра диска будет равен
  
−
<math>n_2(r)=n_2(r)_{external}+n_2(r)_{internal}=</math>
+
<math>n_{part}(r)=\frac{\dot N\rho(x)dV}{4\pi [x,r]^2 v}</math>,
  
 +
где <math>[x,r]</math> расстояние между <math>r</math>  и <math>x</math>, а элемент объёма <math>dV=2\pi x dx d\alpha</math>
  
−
<math>2\int_0^R da \left(
+
Проинтегрировав по всем <math>x</math>, мы найдём концентрацию в точке <math>r</math>.
−
\int_0^{\frac \pi 2 } d\alpha
 
−
\frac{\dot N\cdot n(a)^*}{4\pi D\sqrt{r^2+a^2-2ra\cos \alpha}}+
 
−
\int_0^{\frac \pi 2 } d\alpha
 
−
\frac{\dot N\cdot n(a)^*}{4\pi D\sqrt{r^2+a^2+2ra\cos \alpha}}\right)</math>
 
  
 +
<math>n(r)=\dot N\int dx \frac{2\pi x \rho(x)}{4\pi [x,r]^2 v}=\dot N\int_0^\pi d\alpha\int_0^R dx\frac{ x\sqrt{1-\frac{x^2}{R^2}} }{v (r^2+x^2-2\cdot r\cdot x\cdot cos(\alpha))}</math>
  
−
Значение концентрации пылинок
+
В элементарных функциях интеграл не берётся.
  
−
<math>n_1(a)=\sqrt{1-\frac{a^2}{R^2}}</math>
+
Можно отметить, что при <math>r=0</math>, он вычесляется, и его значение равно бесконечности.
  
 +
<math>\frac{\dot N \pi}{v}{\sqrt{1-\frac{x^2}{R^2}}}-arcctgh\left(\sqrt{1-\frac{x^2}{R^2}}\right)</math>
  
−
Согласно (Gradshteyn) и т.к. для любых <math>a>0</math> и <math>r>0</math> <math>(a^2+r^2)^2>(2ra)^2</math>
+
==Уравнение равновесия.==
  
 +
Для нашего облака сила гравитационного "самопритяжения", должна быть уравновешенна некими другими силами. Очевидно это будет сила давления газа и центробежная сила вращения облака.
  
−
<math>\int \frac {d\alpha} {\sqrt{r^2+a^2-2ra\cos \alpha}}= \frac{2}{\sqrt{(a^2+r^2)^2-(2ra)^2}}\cdot \arctg \frac{(a^2+r^2-2ra)\tg{\frac \alpha 2}}{\sqrt{(a^2+r^2)^2-(2ra)^2}}</math>
+
<math>{\bf F_{grav}=F_c+F_{press}}</math>
  
 +
<math>\frac{Gm(r)}{r^2}=\frac{v^2}{r}+\frac{dP}{dr}\cdot\frac{1}{w(r)}</math>
  
−
и
+
Второе слагаемое правой части самое важное в данном контексте. Выражение для давления состоит из двух частей: Давление газового облака (напомню, именно оно должно давать основной вклад в массу) и давления испарений.
 +
Газ, в силу разреженности можно считать идеальным.
 +
 +
Где, <math>m(r)</math>-масса протопланетного диска радиуса <math>r</math>
  
−
<math>
 
−
\int \frac {d\alpha} {\sqrt{r^2+a^2+2ra\cos \alpha}}= \frac{2}{\sqrt{(a^2+r^2)^2-(2ra)^2}}\cdot \arctg \frac{(a^2+r^2+2ra)\tg{\frac \alpha 2}}{\sqrt{(a^2+r^2)^2-(2ra)^2}}</math>
 
  
 +
==Испарение пылинок в вакуум==
 +
Интенсивность испарения в вакууме [<math>g/cm^2\cdot sek</math>] определяется формулой [http://kmapp.narod.ru/st004.htm Ленгмюра].
  
−
Значение интеграла [2] на пределах от 0 до <math>\frac \pi 2</math> равно
+
<math>
 +
\nu=11,69 p^* \sqrt{\frac{\mu}{T}}
 +
</math> , где
  
−
<math>\cfrac{2 \arctg\left( \cfrac{a^2+r^2-2ra}{|a^2-r^2|}\right)}{|a^2-r^2|}</math><math>Вставьте сюда формулу</math>
+
<math>p^*</math>-давление насыщенного пара данного вещества, Па.
  
−
Значение интеграла [3] соответственно
+
<math>\mu</math>-молекулярная масса вещества
  
−
<math>\cfrac{2 \arctg\left( \cfrac{a^2+r^2+2ra}{|a^2-r^2|}\right)}{|a^2-r^2|}</math>
+
<math>T</math>-Температура облака, K.
  
 +
Эта формула  выведена для абсолютного вакуума, поэтому реальная скорость испарения в космическом пространстве будет меньше расчётной.
  
−
Перепишем для удобства [main]
+
см также [http://www.emalko.ru/opredelenie-skorosti-ispareniya-i-otnositel-noj-letuchesti/]
  
  
−
<math>n_2(r)=2\int_0^R da \cdot \frac{\dot N}{4\pi D} \cdot n(a) \left(\cfrac{2 \arctg\left( \cfrac{a^2+r^2-2ra}{|a^2-r^2|}\right)}{|a^2-r^2|}+ \cfrac{2 \arctg\left( \cfrac{a^2+r^2+2ra}{|a^2-r^2|}\right)}{|a^2-r^2|}  \right)=
+
<math>
−
2\int_0^R da \cdot \frac{\dot N}{4\pi D} \cdot \sqrt{1-\frac{a^2}{R^2}} \left(\cfrac{2 \arctg\left( \cfrac{a^2+r^2-2ra}{|a^2-r^2|}\right)}{|a^2-r^2|}+ \cfrac{2 \arctg\left( \cfrac{a^2+r^2+2ra}{|a^2-r^2|}\right)}{|a^2-r^2|} \right)</math>
+
\dot m =4\pi r^2 \nu => \left(\frac{4}{3}\pi r^3 \rho \right)'=4\nu\pi r^3 => \dot r = \frac{\nu}{\rho}
−
 
+
</math>
−
 
 
−
На самом деле
 
−
 
 
−
<math>D=D(r)=\frac{v(r)}{3\cdot n_1(r)\sigma_1}</math>
 
  
 +
Отсюда "время жизни"
 +
<math>t_l=\frac{r \rho}{\nu}</math>,
 +
для льдинок диаметром 10 мкм эта величина ровна <math> 4.4 \cdot 10^{-5}</math> сек.
  
−
Зависимостью <math>v</math> от <math>r</math> можно пренебречь, так как на самом деле <math>v</math> зависит <math>T(r)</math>, а перепад температуры мы считаем пока незначительным.
+
Можно сделать отсюда нижнюю оценку для диаметра частиц.  На самом деле "время жизни" пылинки <math>t_l</math> должно быть больше [http://www.femto.com.ua/articles/part_1/1107.html времени свободного пробега] <math>\tau</math> этой пылинки. Это очень грубо, но для первых оценок вполне достаточно.
  
 +
<math>\tau=\frac{\sqrt{2}}{8\pi} \frac{1}{ w \cdot d^2v}</math> ,
  
−
<math>n_2(r)=6\int_0^R da \cdot \frac{\dot N \sigma}{4\pi v} \cdot \left(1-\frac{a^2}{R^2}\right) \left(\cfrac{2 \arctg\left( \cfrac{a^2+r^2-2ra}{|a^2-r^2|}\right)}{|a^2-r^2|}+ \cfrac{2 \arctg\left( \cfrac{a^2+r^2+2ra}{|a^2-r^2|}\right)}{|a^2-r^2|}  \right)</math>
+
где
  
 +
<math>v</math>- средняя скорость пылинок,
  
−
От модуля мы избавляться не будем (в основном, чтоб избежать неопределённостей при <math>a=r</math>. Значение интеграла в этом случае определяется из нормировки, это константа, а нам сейчас интересен общий вид функции). Посчитаем значение интеграла с модулем.
+
<math>d</math> -диаметр пылинок.
−
т.к.
 
  
−
<math>\arctg\left(\cfrac{a^2+r^2-2ra}{|r^2-a^2|}\right)+ \arctg \left( \cfrac{a^2+r^2+2ra}{|r^2-a^2|}\right)=\frac{\pi}{2}
+
Сравнивая эту формулу с
−
</math>
+
выражением для "времени жизни" пылинки находим
−
И
 
  
 +
<math>d^3> \frac{\sqrt{2}}{4\pi} \frac{\nu}{\rho n_1 v}</math>
  
−
<math>n_2(r)=\frac32 \cdot\frac{\dot N \sigma }{v R^2}\int_0^r \frac{R^2-a^2}{|r^2-a^2|}da</math>
+
[http://www.fptl.ru/spravo4nik/davlenie-vodyanogo-para.html Давление насыщенного пара воды] при <math>30^o C</math> равно
 +
4.2455 кПа.
  
 +
[http://ru.wikipedia.org/wiki/Лёд Плотность льда] равна 0,917 г/см³
  
−
Посчитаем интеграл
+
[http://ru.wikipedia.org/wiki/Молекулярная_масса Молекулярная масса воды] равна 18 а. е. м.
  
−
<math>\int \frac{R^2-a^2}{|r^2-a^2|}da=signum(a-r)\cdot\left(-a+\frac{R^2-r^2}{2r}ln\frac{a-r}{a+r}\right)</math>
+
Теперь остался главный вопрос о концентрации и скорости пылинок.
  
 +
==Сублимация льда с комет==
 +
[http://www.ipa.nw.ru/PAGE/DEPFUND/LSBSS/AKO/ch51.html]
  
−
В приделах от 0 до <math>R</math> это выражение будет равно:
+
"Наиболее широко используемой в течение последних 20 лет является модель, которую предложили Марсден и др. (Marsden et al., 1973), исходя из представлений Уиппла о вращающемся кометном ядре (Whipple, 1950a).Основой этой модели действия негравитационных сил является эмпирически установленная А.Дельземмом (Delsemme, 1971) и З.Секаниной (Marsden et al., 1973) формула для скорости сублимации вещества c поверхности кометы в зависимости от гелиоцентрического расстояния
  
−
<math>\int^R_{0} \frac{R^2-a^2}{|r^2-a^2|}da=R-\frac{R^2-r^2}{2r}ln\frac{R-r}{R+r}</math>
+
<math>Z=Z_0 g(r)</math>
  
−
Выражение для концентрации молекул газа будет равно:
+
<math>g(r)=\alpha\left( \frac{r}{r_0}\right)^{-m}  \left[ 1+\left(\frac{r}{r_0}\right)^{n}  \right]^{-k}  </math>
  
−
<math>n_2(r)=\frac32 \cdot\frac{\dot N \sigma }{v R^2}\cdot\left(R-\frac{R^2-r^2}{2r}ln\frac{R-r}{R+r} \right)</math>
+
где <math>Z_0</math> - количество испаряющихся в 1 секунду молекул с 1 кв. см поверхности на гелиоцентрическом расстоянии в 1.0 а.е.
  
 +
А.Дельземм (Delsemme, 1972) получил, что для водяного снега при значении альбедо ядра в видимом и инфракрасном участках спектра, равном 0.1, количество испаряющихся молекул <math>Z = 3\times 10^{17}</math> <math>\frac{mol}{sek \cdot sm^2}</math>, а для остальных постоянных им найдены следующие значения: <math>r_0 = 2.808</math> a.e.,<math>m = 2.15, n = 5.093, k = 4.6142, \alpha = 0.111262.</math> "
  
−
Далее интересно посмотреть на график полученной функции.
 
  
−
<math>n_2(r)\sim\frac{R^2-r^2}{2rR^2}ln\frac{r+R}{r-R}</math>
+
Значение <math>Z = 3\times 10^{17}</math> <math>\frac{mol}{sek^1 sm^2}</math>, можно принять за исходное в данной модели.
  
−
Обозначим <math>x=r/R</math>, Тогда
+
== См. также ==
  
−
<math>n_2(r)\sim-\frac{1-x^2}{x}ln\frac{1+x}{1-x}</math>
+
* [[Устойчивость протопланетного облака системы "Земля - Луна" часть 2| Устойчивость протопланетного облака системы "Земля - Луна". Часть 2]]
 +
* [[Устойчивость протопланетного облака системы "Земля - Луна" часть 3|Устойчивость протопланетного облака системы "Земля - Луна". Часть 3]]
  
−
То, что получилось, можно увидеть на рисунке '''Gas'''
+
[[Category: Проект "Земля - Луна"]]
−
Не стоит пугаться параболического вида этой функции. Интуитивно хочется видеть, что-то подобное гиперболы. Но на самом деле, если сравнить законы распределения пыли и газа, то можно увидеть некое сходство в графическом изображении функций, что косвенно доказывает верность результатов.
+
[[Category: Студенческие проекты]]

Текущая версия на 21:04, 10 мая 2015

Проект выполняет Мурачёв Андрей, научный руководитель А.М.Кривцов.

Введение к первой модели[править]

Рассматривается модель протопланетного облака, состоящего из пыли и газа, образовавшегося засчет испарения пылинок. Плотность вещества в протопланетном диске превышает [math]10^{-18} g/cm^3[/math], размеры частиц космической пыли составляют около 0,1 мкм . Газопылевой диск вокруг формирующейся звезды очень быстро "сплющивается" под действием сил гравитации и центробежной силы, направленных к наиболее плотной части диска в плоскости его вращения. Спустя несколько сотен тысяч лет диск имеет массу около 0,1 Масс Солнца, размеры от 0,2 до 50-70 а.е. и толщину около 0,001 диаметра. Размеры пылевых частиц увеличиваются в результате слипания до 10 мкм; их орбиты становятся почти круговыми. Акустические ударные волны, распространяющиеся в облаке при сжатии протозвездного сгустка вещества и возгорании молодой звезды, способствуют возникновению неоднородностей в диске.

Современные астрофизические модели химической конденсации предполагают, что исходный состав протопланетного облака был близок к составу межзвездной среды и Солнца: по массе до 75% водорода, до 25% гелия и менее 1% всех прочих элементов.

Температура в центральной плоскости протопланетного диска Солнечной системы уменьшалась с удалением от Солнца. Особенно сильно нагревалась ближайшая к звезде "горячая" зона облака: на расстоянии в 1 а.е. температура составляла 300-400 К.

Я пренебрегаю некоторыми важными деталями для облегчения расчёта и упрощения модели. Далее планируется их все,по возможности, учесть. В частности:

1. В протооблаке присутствует газ, помимо испарившегося с пылинок. Его влияние не рассматривается, так как считается, что он весь вытеснен солнечным излучением.

2. Пока непонятна степень оптической прозрачности облака, которая зависит от концентрации и сорта частиц. А именно она оказывает решающие влияние на испарение пылинок. Я считаю облако полностью прозрачным, что, естественно неправда.

4. Соударения между пылинками можно рассматривать, как абсолютно упругие. Хотя это тоже неправда.

Диффузия от точечного стационарного источника[править]

Рассмотрим облако состоящие из небольших шариков, находящихся во взвешенном состоянии. Обозначим их частицами с концентрацией [math]w[/math], Теперь, пусть один какой-нибудь шарик начнёт испарятся-излучать равномерно частицы с интенсивностью [math]\dot N[/math] (част/сек) , пренебрежительно малых размеров (например молекулы).

В случае отсутствия рассеяния уравнение для концентрации [math]n[/math]

[math] (1):\frac{\partial n}{\partial t} + (\vec\triangledown \cdot n \vec v)= \dot N\delta^3(r) [/math]

Первое слагаемое в силу стационарности-ноль.

[math](2):n v \cdot 4\pi r^2=\dot N[/math]

[math](3):n=\frac{\dot N}{4\pi r^2 v}[/math]

При наличии рассеяния:

[math] (4):\frac{\partial n}{\partial t} - D\triangle n = \dot N\delta^3(r) [/math]

[math]D[/math]-коэффициент диффузии.

[math] (5):-D\frac{dn}{dr} \cdot 4 \pi r^2=\dot N [/math]

[math] (6):n=\frac{\dot N}{4\pi r D} [/math]

Коэффициент диффузии для газа состоящего из частиц одного сорта, по определению

[math](7):D=\frac{1}{3} \lambda v[/math],

где [math]\lambda[/math]-длинна свободного пробега, а [math]v[/math]- средняя скорость частиц.

В первом приближении можно считать

[math](8):\lambda=\frac{1}{\sqrt{2}\pi d^2 n}[/math]

[math]d[/math]-диаметр молекулы.

В более строгом случае формула (7) требует введения поправочного множителя [math]\xi_D[/math], который учитывает максвелловское распределение скоростей молекул газа

[math](9):D=\frac{1}{3}\xi_D \lambda v[/math],

где [math] \xi_D=1.5\div 2.2[/math]

Литература:

Проф. Варшелович Д.А. Курс лекций "Радиоастрономия".

Я. Грошковский 1975г. Техника высокого вакуума - [1]

Случай дискообразного протопланетного облака[править]

Рассмотрим дискообразное распределенние твёрдых частиц по закону [math]\rho(r)=\sqrt{1-\frac{r^2}{R^2}}[/math]. Между частицами действуют силы гравитации. И такое распределение позволяет диску вращаться, как единое целое.

Какждая частица испаряется с интенсивностью [math]\dot N[/math]. Стоит отметить, что диск находится в трёхмерном пространстве, а поэтому и испарившейся газ может покидать плоскость диска. (Действие гравитации на газ не учитывается)

Требуется найти концентрацию молекул газа, как функцию расстояния от центра диска, в плоскости диска.

Я использую уравнение для концентрации для случая отсутствия рассеяния.

[math]n=\frac{\dot N}{4\pi r^2 v}[/math]

Рассмотрим точку, находящеюся на расстоянии [math]r[/math] от центра диска. Вклад в концентрацию газа в окрестности этой точки элементарного объёма [math]dxdydz[/math], расположенного на расстоянии [math]x[/math] от центра диска будет равен

[math]n_{part}(r)=\frac{\dot N\rho(x)dV}{4\pi [x,r]^2 v}[/math],

где [math][x,r][/math] расстояние между [math]r[/math] и [math]x[/math], а элемент объёма [math]dV=2\pi x dx d\alpha[/math]

Проинтегрировав по всем [math]x[/math], мы найдём концентрацию в точке [math]r[/math].

[math]n(r)=\dot N\int dx \frac{2\pi x \rho(x)}{4\pi [x,r]^2 v}=\dot N\int_0^\pi d\alpha\int_0^R dx\frac{ x\sqrt{1-\frac{x^2}{R^2}} }{v (r^2+x^2-2\cdot r\cdot x\cdot cos(\alpha))}[/math]

В элементарных функциях интеграл не берётся.

Можно отметить, что при [math]r=0[/math], он вычесляется, и его значение равно бесконечности.

[math]\frac{\dot N \pi}{v}{\sqrt{1-\frac{x^2}{R^2}}}-arcctgh\left(\sqrt{1-\frac{x^2}{R^2}}\right)[/math]

Уравнение равновесия.[править]

Для нашего облака сила гравитационного "самопритяжения", должна быть уравновешенна некими другими силами. Очевидно это будет сила давления газа и центробежная сила вращения облака.

[math]{\bf F_{grav}=F_c+F_{press}}[/math]

[math]\frac{Gm(r)}{r^2}=\frac{v^2}{r}+\frac{dP}{dr}\cdot\frac{1}{w(r)}[/math]

Второе слагаемое правой части самое важное в данном контексте. Выражение для давления состоит из двух частей: Давление газового облака (напомню, именно оно должно давать основной вклад в массу) и давления испарений. Газ, в силу разреженности можно считать идеальным.

Где, [math]m(r)[/math]-масса протопланетного диска радиуса [math]r[/math]


Испарение пылинок в вакуум[править]

Интенсивность испарения в вакууме [[math]g/cm^2\cdot sek[/math]] определяется формулой Ленгмюра.

[math] \nu=11,69 p^* \sqrt{\frac{\mu}{T}} [/math] , где

[math]p^*[/math]-давление насыщенного пара данного вещества, Па.

[math]\mu[/math]-молекулярная масса вещества

[math]T[/math]-Температура облака, K.

Эта формула выведена для абсолютного вакуума, поэтому реальная скорость испарения в космическом пространстве будет меньше расчётной.

см также [2]


[math] \dot m =4\pi r^2 \nu =\gt \left(\frac{4}{3}\pi r^3 \rho \right)'=4\nu\pi r^3 =\gt \dot r = \frac{\nu}{\rho} [/math]

Отсюда "время жизни" [math]t_l=\frac{r \rho}{\nu}[/math], для льдинок диаметром 10 мкм эта величина ровна [math] 4.4 \cdot 10^{-5}[/math] сек.

Можно сделать отсюда нижнюю оценку для диаметра частиц. На самом деле "время жизни" пылинки [math]t_l[/math] должно быть больше времени свободного пробега [math]\tau[/math] этой пылинки. Это очень грубо, но для первых оценок вполне достаточно.

[math]\tau=\frac{\sqrt{2}}{8\pi} \frac{1}{ w \cdot d^2v}[/math] ,

где

[math]v[/math]- средняя скорость пылинок,

[math]d[/math] -диаметр пылинок.

Сравнивая эту формулу с выражением для "времени жизни" пылинки находим

[math]d^3\gt \frac{\sqrt{2}}{4\pi} \frac{\nu}{\rho n_1 v}[/math]

Давление насыщенного пара воды при [math]30^o C[/math] равно 4.2455 кПа.

Плотность льда равна 0,917 г/см³

Молекулярная масса воды равна 18 а. е. м.

Теперь остался главный вопрос о концентрации и скорости пылинок.

Сублимация льда с комет[править]

[3]

"Наиболее широко используемой в течение последних 20 лет является модель, которую предложили Марсден и др. (Marsden et al., 1973), исходя из представлений Уиппла о вращающемся кометном ядре (Whipple, 1950a).Основой этой модели действия негравитационных сил является эмпирически установленная А.Дельземмом (Delsemme, 1971) и З.Секаниной (Marsden et al., 1973) формула для скорости сублимации вещества c поверхности кометы в зависимости от гелиоцентрического расстояния

[math]Z=Z_0 g(r)[/math]

[math]g(r)=\alpha\left( \frac{r}{r_0}\right)^{-m} \left[ 1+\left(\frac{r}{r_0}\right)^{n} \right]^{-k} [/math]

где [math]Z_0[/math] - количество испаряющихся в 1 секунду молекул с 1 кв. см поверхности на гелиоцентрическом расстоянии в 1.0 а.е.

А.Дельземм (Delsemme, 1972) получил, что для водяного снега при значении альбедо ядра в видимом и инфракрасном участках спектра, равном 0.1, количество испаряющихся молекул [math]Z = 3\times 10^{17}[/math] [math]\frac{mol}{sek \cdot sm^2}[/math], а для остальных постоянных им найдены следующие значения: [math]r_0 = 2.808[/math] a.e.,[math]m = 2.15, n = 5.093, k = 4.6142, \alpha = 0.111262.[/math] "


Значение [math]Z = 3\times 10^{17}[/math] [math]\frac{mol}{sek^1 sm^2}[/math], можно принять за исходное в данной модели.

См. также[править]

Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=Устойчивость_протопланетного_облака_системы_%22Земля_-_Луна%22&oldid=33414»