Устойчивость протопланетного облака системы "Земля - Луна" — различия между версиями

Текущая версия на 21:04, 10 мая 2015

Проект выполняет Мурачёв Андрей, научный руководитель А.М.Кривцов.

Введение к первой модели[править]

Рассматривается модель протопланетного облака, состоящего из пыли и газа, образовавшегося засчет испарения пылинок. Плотность вещества в протопланетном диске превышает [math]10^{-18} g/cm^3[/math], размеры частиц космической пыли составляют около 0,1 мкм . Газопылевой диск вокруг формирующейся звезды очень быстро "сплющивается" под действием сил гравитации и центробежной силы, направленных к наиболее плотной части диска в плоскости его вращения. Спустя несколько сотен тысяч лет диск имеет массу около 0,1 Масс Солнца, размеры от 0,2 до 50-70 а.е. и толщину около 0,001 диаметра. Размеры пылевых частиц увеличиваются в результате слипания до 10 мкм; их орбиты становятся почти круговыми. Акустические ударные волны, распространяющиеся в облаке при сжатии протозвездного сгустка вещества и возгорании молодой звезды, способствуют возникновению неоднородностей в диске.

Современные астрофизические модели химической конденсации предполагают, что исходный состав протопланетного облака был близок к составу межзвездной среды и Солнца: по массе до 75% водорода, до 25% гелия и менее 1% всех прочих элементов.

Температура в центральной плоскости протопланетного диска Солнечной системы уменьшалась с удалением от Солнца. Особенно сильно нагревалась ближайшая к звезде "горячая" зона облака: на расстоянии в 1 а.е. температура составляла 300-400 К.

Я пренебрегаю некоторыми важными деталями для облегчения расчёта и упрощения модели. Далее планируется их все,по возможности, учесть. В частности:

1. В протооблаке присутствует газ, помимо испарившегося с пылинок. Его влияние не рассматривается, так как считается, что он весь вытеснен солнечным излучением.

2. Пока непонятна степень оптической прозрачности облака, которая зависит от концентрации и сорта частиц. А именно она оказывает решающие влияние на испарение пылинок. Я считаю облако полностью прозрачным, что, естественно неправда.

4. Соударения между пылинками можно рассматривать, как абсолютно упругие. Хотя это тоже неправда.

Диффузия от точечного стационарного источника[править]

Рассмотрим облако состоящие из небольших шариков, находящихся во взвешенном состоянии. Обозначим их частицами с концентрацией [math]w[/math], Теперь, пусть один какой-нибудь шарик начнёт испарятся-излучать равномерно частицы с интенсивностью [math]\dot N[/math] (част/сек) , пренебрежительно малых размеров (например молекулы).

В случае отсутствия рассеяния уравнение для концентрации [math]n[/math]

[math] (1):\frac{\partial n}{\partial t} + (\vec\triangledown \cdot n \vec v)= \dot N\delta^3(r) [/math]

Первое слагаемое в силу стационарности-ноль.

[math](2):n v \cdot 4\pi r^2=\dot N[/math]

[math](3):n=\frac{\dot N}{4\pi r^2 v}[/math]

При наличии рассеяния:

[math] (4):\frac{\partial n}{\partial t} - D\triangle n = \dot N\delta^3(r) [/math]

[math]D[/math]-коэффициент диффузии.

[math] (5):-D\frac{dn}{dr} \cdot 4 \pi r^2=\dot N [/math]

[math] (6):n=\frac{\dot N}{4\pi r D} [/math]

Коэффициент диффузии для газа состоящего из частиц одного сорта, по определению

[math](7):D=\frac{1}{3} \lambda v[/math],

где [math]\lambda[/math]-длинна свободного пробега, а [math]v[/math]- средняя скорость частиц.

В первом приближении можно считать

[math](8):\lambda=\frac{1}{\sqrt{2}\pi d^2 n}[/math]

[math]d[/math]-диаметр молекулы.

В более строгом случае формула (7) требует введения поправочного множителя [math]\xi_D[/math], который учитывает максвелловское распределение скоростей молекул газа

[math](9):D=\frac{1}{3}\xi_D \lambda v[/math],

где [math] \xi_D=1.5\div 2.2[/math]

Литература:

Проф. Варшелович Д.А. Курс лекций "Радиоастрономия".

Я. Грошковский 1975г. Техника высокого вакуума - [1]

Случай дискообразного протопланетного облака[править]

Рассмотрим дискообразное распределенние твёрдых частиц по закону [math]\rho(r)=\sqrt{1-\frac{r^2}{R^2}}[/math]. Между частицами действуют силы гравитации. И такое распределение позволяет диску вращаться, как единое целое.

Какждая частица испаряется с интенсивностью [math]\dot N[/math]. Стоит отметить, что диск находится в трёхмерном пространстве, а поэтому и испарившейся газ может покидать плоскость диска. (Действие гравитации на газ не учитывается)

Требуется найти концентрацию молекул газа, как функцию расстояния от центра диска, в плоскости диска.

Я использую уравнение для концентрации для случая отсутствия рассеяния.

[math]n=\frac{\dot N}{4\pi r^2 v}[/math]

Рассмотрим точку, находящеюся на расстоянии [math]r[/math] от центра диска. Вклад в концентрацию газа в окрестности этой точки элементарного объёма [math]dxdydz[/math], расположенного на расстоянии [math]x[/math] от центра диска будет равен

[math]n_{part}(r)=\frac{\dot N\rho(x)dV}{4\pi [x,r]^2 v}[/math],

где [math][x,r][/math] расстояние между [math]r[/math] и [math]x[/math], а элемент объёма [math]dV=2\pi x dx d\alpha[/math]

Проинтегрировав по всем [math]x[/math], мы найдём концентрацию в точке [math]r[/math].

[math]n(r)=\dot N\int dx \frac{2\pi x \rho(x)}{4\pi [x,r]^2 v}=\dot N\int_0^\pi d\alpha\int_0^R dx\frac{ x\sqrt{1-\frac{x^2}{R^2}} }{v (r^2+x^2-2\cdot r\cdot x\cdot cos(\alpha))}[/math]

В элементарных функциях интеграл не берётся.

Можно отметить, что при [math]r=0[/math], он вычесляется, и его значение равно бесконечности.

[math]\frac{\dot N \pi}{v}{\sqrt{1-\frac{x^2}{R^2}}}-arcctgh\left(\sqrt{1-\frac{x^2}{R^2}}\right)[/math]

Уравнение равновесия.[править]

Для нашего облака сила гравитационного "самопритяжения", должна быть уравновешенна некими другими силами. Очевидно это будет сила давления газа и центробежная сила вращения облака.

[math]{\bf F_{grav}=F_c+F_{press}}[/math]

[math]\frac{Gm(r)}{r^2}=\frac{v^2}{r}+\frac{dP}{dr}\cdot\frac{1}{w(r)}[/math]

Второе слагаемое правой части самое важное в данном контексте. Выражение для давления состоит из двух частей: Давление газового облака (напомню, именно оно должно давать основной вклад в массу) и давления испарений. Газ, в силу разреженности можно считать идеальным.

Где, [math]m(r)[/math]-масса протопланетного диска радиуса [math]r[/math]

Испарение пылинок в вакуум[править]

Интенсивность испарения в вакууме [[math]g/cm^2\cdot sek[/math]] определяется формулой Ленгмюра.

[math] \nu=11,69 p^* \sqrt{\frac{\mu}{T}} [/math] , где

[math]p^*[/math]-давление насыщенного пара данного вещества, Па.

[math]\mu[/math]-молекулярная масса вещества

[math]T[/math]-Температура облака, K.

Эта формула выведена для абсолютного вакуума, поэтому реальная скорость испарения в космическом пространстве будет меньше расчётной.

см также [2]

[math] \dot m =4\pi r^2 \nu =\gt \left(\frac{4}{3}\pi r^3 \rho \right)'=4\nu\pi r^3 =\gt \dot r = \frac{\nu}{\rho} [/math]

Отсюда "время жизни" [math]t_l=\frac{r \rho}{\nu}[/math], для льдинок диаметром 10 мкм эта величина ровна [math] 4.4 \cdot 10^{-5}[/math] сек.

Можно сделать отсюда нижнюю оценку для диаметра частиц. На самом деле "время жизни" пылинки [math]t_l[/math] должно быть больше времени свободного пробега [math]\tau[/math] этой пылинки. Это очень грубо, но для первых оценок вполне достаточно.

[math]\tau=\frac{\sqrt{2}}{8\pi} \frac{1}{ w \cdot d^2v}[/math] ,

где

[math]v[/math]- средняя скорость пылинок,

[math]d[/math] -диаметр пылинок.

Сравнивая эту формулу с выражением для "времени жизни" пылинки находим

[math]d^3\gt \frac{\sqrt{2}}{4\pi} \frac{\nu}{\rho n_1 v}[/math]

Давление насыщенного пара воды при [math]30^o C[/math] равно 4.2455 кПа.

Плотность льда равна 0,917 г/см³

Молекулярная масса воды равна 18 а. е. м.

Теперь остался главный вопрос о концентрации и скорости пылинок.

Сублимация льда с комет[править]

[3]

"Наиболее широко используемой в течение последних 20 лет является модель, которую предложили Марсден и др. (Marsden et al., 1973), исходя из представлений Уиппла о вращающемся кометном ядре (Whipple, 1950a).Основой этой модели действия негравитационных сил является эмпирически установленная А.Дельземмом (Delsemme, 1971) и З.Секаниной (Marsden et al., 1973) формула для скорости сублимации вещества c поверхности кометы в зависимости от гелиоцентрического расстояния

[math]Z=Z_0 g(r)[/math]

[math]g(r)=\alpha\left( \frac{r}{r_0}\right)^{-m} \left[ 1+\left(\frac{r}{r_0}\right)^{n} \right]^{-k} [/math]

где [math]Z_0[/math] - количество испаряющихся в 1 секунду молекул с 1 кв. см поверхности на гелиоцентрическом расстоянии в 1.0 а.е.

А.Дельземм (Delsemme, 1972) получил, что для водяного снега при значении альбедо ядра в видимом и инфракрасном участках спектра, равном 0.1, количество испаряющихся молекул [math]Z = 3\times 10^{17}[/math] [math]\frac{mol}{sek \cdot sm^2}[/math], а для остальных постоянных им найдены следующие значения: [math]r_0 = 2.808[/math] a.e.,[math]m = 2.15, n = 5.093, k = 4.6142, \alpha = 0.111262.[/math] "

Значение [math]Z = 3\times 10^{17}[/math] [math]\frac{mol}{sek^1 sm^2}[/math], можно принять за исходное в данной модели.

См. также[править]

• Устойчивость протопланетного облака системы "Земля - Луна". Часть 2
• Устойчивость протопланетного облака системы "Земля - Луна". Часть 3