Потенциал Морзе — различия между версиями

Версия 18:52, 8 марта 2015

Парный силовой потенциал взаимодействия. Определяется формулой:

[math] \varPi(r) = D\left[e^{-2\alpha(r-a)}-2e^{-\alpha(r-a)}\right], [/math]

где

• [math]D[/math] — энергия связи,
• [math]a[/math] — длина связи,
• [math]\alpha[/math] — параметр, характеризующий ширину потенциальной ямы.

Потенциал имеет один безразмерный параметр [math]\alpha a[/math]. Сила, соответствующая потенциалу Морзе, вычисляется по формуле

[math] F(r) = -\varPi'(r) = 2\alpha D\left[e^{-2\alpha(r-a)}-e^{-\alpha(r-a)}\right]. [/math]

Для потенциала Морзе жесткость связи, критическая длина связи и прочность связи, соответственно, равны

[math]C = \varPi''(a) = 2\alpha^2D, \qquad b = a + \frac{\ln2}{\alpha}, \qquad P = |F(b)| = \frac{\alpha D}2.[/math]

Сравнение взаимодействия Морзе с взаимодействием Леннард-Джонса приведено на интерактивных графиках ниже. Показана зависимость от расстояния потенциала [math]\varPi[/math] и силы [math]F[/math]. Сравнение проведено при одинаковых значениях энергии связи [math]D[/math] и длины связи [math]a[/math]. Перемещение слайдера позволяет проследить влияние безразмерного параметра [math]\alpha a[/math], при этом энергия связи [math]D[/math] и длина связи [math]a[/math] остаются неизменными. Значения критической длины связи [math]b[/math] и прочности связи [math]P[/math], отмеченные на графиках, соответствуют потенциалу Леннард-Джонса.

Из графиков видно, что при [math]\alpha a = 6[/math] взаимодействия Морзе и Леннард-Джонса близки. В частности, в этом случае для них совпадает жесткость связи [math]C = \varPi''(a)[/math]. При увеличении [math]\alpha a[/math] ширина потенциальной ямы для взаимодействия Морзе уменьшается, взаимодействие становится более жестким и хрупким. Уменьшение [math]\alpha a[/math] приводит к противоположным изменениям — потенциальная яма расширяется, жесткость падает.

Текст программы построения графиков на языке JavaScript: <toggledisplay status=hide showtext="Показать↓" hidetext="Скрыть↑" linkstyle="font-size:default"> Файл "MLJ.js" <syntaxhighlight lang="javascript" line start="1" enclose="div"> // Сравнение взаимодействий Морзе и Леннард-Джонса // Разработчики А.М. Кривцов и Д.В. Цветков // 16.05.2014 // 06.11.2014 коррекция - удаление const (Цветков) // Интернет: tm.spbstu.ru/Morse

function MainMorse(canvas_1, canvas_2) {

   // Предварительные установки

var X_max = canvas_1.width;

	var Y_max = canvas_1.height;

   // Размерные параметры
   
   var a = 1.;    // длина связи
   var D = 1.;    // энергия связи

   // Расчет параметров взаимодействия

   var b = a * Math.pow(13./7, 1./6);    // положение минимума силы Леннард-Джонса (= 1.1086834 a)
   var b2 = b * b;
   var P0 = 12 * D / a;                  // коэффициент в выражении для силы Леннард-Джонса
   var P = 42. / 169 * P0 / b;           // модуль минимума силы Леннард-Джонса

   // Задаваемые параметры
  
   var kappa = 6;  						// параметр взаимодействия Морзе

   // Область построения графика
   var x_min = 0.3 * a;  
   var x_max = 2.5 * a;
   var y_min_1 = -1.5 * D;    
   var y_min_2 = -1.5 * P;    

   var y_max_1 = -y_min_1;    
   var y_max_2 = -y_min_2;    

var N = X_max; // число точек по оси x var dx = x_max / N; // шаг по оси x var sx = X_max / x_max; // масштаб по оси x

var y_min; var y_max; var sy; // масштаб по оси y var Y0; // положение 0 оси y в экранных координатах var context; // на context происходит рисование

// Установка флажков чекбоксов var LJ_flag = true; var Morse_flag = true;

   Slider_02.min = 2;       	
   Slider_02.max = 18;
   Slider_02.step = 0.1;
   Slider_02.value = kappa;     
   Text_02.value = kappa;

draw();

   // функция, запускающаяся при перемещении слайдера
   this.set_02 = function(input) { kappa = Number(input); 		draw(); }  
   

// Функции, запускающиеся при изменении элементов управления

   this.setCheckbox_01 = function(bool) {LJ_flag = bool; 	 draw(); }

this.setCheckbox_02 = function(bool) {Morse_flag = bool; draw(); }

// Отображение

function draw() { draw_1(); draw_2(); }

function draw_1()

   {

// Расчет параметров графики

y_min = y_min_1; y_max = y_max_1;

sy = Y_max / (y_max - y_min); // масштаб по оси y Y0 = Y_max + y_min * sy; // положение 0 оси y в экранных координатах

context = canvas_1.getContext("2d"); // на context происходит рисование

context.clearRect(0, 0, X_max, Y_max); // очистить экран

       // Горизонтальная ось
       context.strokeStyle = 'lightgrey';
       context.beginPath();
       context.moveTo(0, Y0);
       context.lineTo(X_max, Y0);
       context.stroke();

       // Пунктирные линии
       context.beginPath();
       context.setLineDash([5]);
       context.moveTo(a * sx, Y0);
       context.lineTo(a * sx, Y0 + D * sy);
       context.lineTo(0,      Y0 + D * sy);
       context.stroke();
       context.setLineDash([0]);

       // Надписи
       context.fillStyle = 'black';
       context.font = "italic 20px Times"
       context.fillText("r", x_max * sx - 15, Y0 - 7);
       context.fillText("Π", 5, 20);
       context.fillText("0", 3, Y0 - 3);
       context.fillStyle = 'grey';
       context.fillText("a", a * sx - 5, Y0 - 3);
       context.fillText("-D", 3, Y0 + D * sy - 5);

// Графики потенциалов Graph(U_LJ, LJ_flag, 'grey'); Graph(U_Morse, Morse_flag, 'magenta'); }

   function draw_2()
   {

// Расчет параметров графики

y_min = y_min_2; y_max = y_max_2;

sy = Y_max / (y_max - y_min); // масштаб по оси y Y0 = Y_max + y_min * sy; // положение 0 оси y в экранных координатах

context = canvas_2.getContext("2d"); // на context происходит рисование

context.clearRect(0, 0, X_max, Y_max); // очистить экран

       // Горизонтальная ось
       context.strokeStyle = 'lightgrey';
       context.beginPath();
       context.moveTo(0, Y0);
       context.lineTo(X_max, Y0);
       context.stroke();

       // Пунктирные линии
       context.beginPath();
       context.setLineDash([5]);
       context.moveTo(b * sx, Y0);
       context.lineTo(b * sx, Y0 + P * sy);
       context.lineTo(0,      Y0 + P * sy);
       context.stroke();
       context.setLineDash([0]);

       // Надписи
       context.fillStyle = 'black';
       context.font = "italic 20px Times";
       context.fillText("r", x_max * sx - 15, Y0 - 7);
       context.fillText("F", 5, 20);
       context.fillText("0", 3, Y0 - 3);
       context.fillStyle = 'grey';
       context.fillText("a", a * sx + 3, Y0 - 3);
       context.fillText("b", b * sx - 3, Y0 - 3);
       context.fillText("-P", 3, Y0 + P * sy - 5);

// Графики сил Graph(F_LJ, LJ_flag, 'g'); Graph(F_Morse, Morse_flag, 'magenta'); }

// Построение графика функции

function Graph(F, flag, color) { if (!flag) return;

context.strokeStyle = color; context.beginPath(); for (var x = x_min; x < x_max; x+=dx) { var y = F(x); var X = x * sx; var Y = Y0 - y * sy;

if (Y > -Y_max) context.lineTo(X, Y); // Графика, сильно выходящяя за границы области, отключается } context.stroke(); }

   // Потенциал Морзе
   
   function U_Morse(r)
   {
       var al = kappa / a;

var s = Math.exp(al * (a - r));

       return D * s * (s - 2);
   }

// Сила Морзе

   function F_Morse(r)
   {
       var al = kappa / a;

var s = Math.exp(al * (a - r));

       return 2 * al * D * s * (s - 1);
   }

   // Потенциал Леннард-Джонса
   
   function U_LJ(r)
   {
       var s2 = 1 / (r * r);
       var s6 = s2 * s2 * s2;
       return D * s6 * (s6 - 2);
   }    

// Сила Леннард-Джонса

   function F_LJ(r)
   {
       var s2 = 1 / (r * r);
       var s4 = s2 * s2;
       return P0 * s4 * s4 * (s4 * s2 - 1) * r;
   }

}

</source> Файл "MLJ.html" <syntaxhighlight lang="html" line start="1" enclose="div"> <!DOCTYPE html> <html> <head>

   <meta charset="UTF-8" />
   <title>LJ & Morse Interaction</title>
   <script src="MLJ.js"></script>

</head> <body>

   <canvas id="canvasGraph_1" width="800" height="300" style="border:1px solid #000000;"></canvas>
   <canvas id="canvasGraph_2" width="800" height="300" style="border:1px solid #000000;"></canvas>

       Взаимодействие:

       —

           if (!this.checkValidity()) return;
           app.set_02(this.value);
           document.getElementById('Slider_02').value = this.value;
       ">

<script type="text/javascript">var app = new MainMorse( document.getElementById('canvasGraph_1'), document.getElementById('canvasGraph_2') );</script>

</body> </html> </source> </toggledisplay>

См. также

• Потенциал Леннард-Джонса
• Парные силовые потенциалы взаимодействия