Разрезание ножом яблока в процессе полета — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
(→‎Общие сведения по теме)
 
(не показаны 2 промежуточные версии этого же участника)
Строка 15: Строка 15:
 
== Общие сведения по теме ==  
 
== Общие сведения по теме ==  
 
Рассматриваются различные случаи взаимодействия ножа и яблока в полете. Яблоко падает с какой-то высоты <math>xo</math>, без начальной скорости. Одновременно с ним падает нож, лезвием вниз, перпендикулярно земле. К ножу прикладывается сила F, начальная скорость Vo, дана масса ножа m и масса яблока М, диаметр яблока D. Сила сопротивления со стороны яблока в точке соприкосновения лезвия ножа с яблоком P.
 
Рассматриваются различные случаи взаимодействия ножа и яблока в полете. Яблоко падает с какой-то высоты <math>xo</math>, без начальной скорости. Одновременно с ним падает нож, лезвием вниз, перпендикулярно земле. К ножу прикладывается сила F, начальная скорость Vo, дана масса ножа m и масса яблока М, диаметр яблока D. Сила сопротивления со стороны яблока в точке соприкосновения лезвия ножа с яблоком P.
 +
Нож разрезает яблоко строго по диаметру.<p> Нас интересуют те случаи, когда яблоко будет полностью разрезано до падения на землю или в крайнем случае в момент его соприкосновения с землей.</p>
  
 
Уравнение движения ножа : <math>mx" = F - P + Mg</math>  (*). Ось x направлена к земле.
 
Уравнение движения ножа : <math>mx" = F - P + Mg</math>  (*). Ось x направлена к земле.
Строка 25: Строка 26:
 
Теперь мы можем проинтегрировать по t, подставив взамен константы mxo ( решив задачу Коши с начальными <math>x'|t=0 = Vo</math> ).<p></p>
 
Теперь мы можем проинтегрировать по t, подставив взамен константы mxo ( решив задачу Коши с начальными <math>x'|t=0 = Vo</math> ).<p></p>
 
<math>mx = mVot + mxo</math> -> <math> x = Vot - xo</math> .  
 
<math>mx = mVot + mxo</math> -> <math> x = Vot - xo</math> .  
−
Рассчитав время падения яблока <math>tпад = Sqrt((2/g)* (xo - D ))</math>  мы можем смело заявить, при каких начальных скоростях возможен полный разрез яблока до его падения, а при каких - яблоко будет разрезано лишь на какую-то часть.<p>
+
Рассчитав время падения яблока <math>tпад = \sqrt{((2/g)* (xo - D ))}</math>  мы можем смело заявить, при каких начальных скоростях возможен полный разрез яблока до его падения, а при каких - яблоко будет разрезано лишь на какую-то часть.<p>
 
<math>f(Vo,D,xo) = Vo - gD^2/2(xo-D)</math> (**)</p><p>
 
<math>f(Vo,D,xo) = Vo - gD^2/2(xo-D)</math> (**)</p><p>
 
Если <math>Vo - gD^2/2(xo-D) > 0</math> - наблюдаем полный разрез яблока до падения. </p>
 
Если <math>Vo - gD^2/2(xo-D) > 0</math> - наблюдаем полный разрез яблока до падения. </p>
Строка 33: Строка 34:
 
Дважды проинтегрируем уравнение (*) по времени t : <math>mx = kt^2/2 + mVot - mxo</math> <p></p>
 
Дважды проинтегрируем уравнение (*) по времени t : <math>mx = kt^2/2 + mVot - mxo</math> <p></p>
 
Осталось сравнить время разрезания яблока и время его падения :
 
Осталось сравнить время разрезания яблока и время его падения :
−
<math>m(-Vo + sqrt(Disc))/2k</math>  и <math>sqrt((2/g)*(xo - D))</math> , где <math>Disc = Vo^2 + 2D*k/m</math>
+
<math>m(-Vo + \sqrt{(Disc))/2k}</math>  и <math>\sqrt{((2/g)*(xo - D))}</math> , где <math>Disc = Vo^2 + 2D*k/m</math>
  
  
 
'''Окончательное уравнение, зависящее от''' <math>Vo,D,F,P,M,m,xo</math> :
 
'''Окончательное уравнение, зависящее от''' <math>Vo,D,F,P,M,m,xo</math> :
  
−
<math>F(Vo,D,F,P,M,m,xo) = 2D*k/m-8(xo-D)*k^2/(m^2*g) + 4Vo*k*Sqrt(2*(xo-D)/g)/ m</math>                  (***)
+
<math>f(Vo,D,F,P,M,m,xo) = 2D*k/m-8(xo-D)*k^2/(m^2*g) + 4Vo*k*\sqrt{(2*(xo-D)/g)}/ m</math>                  (***)
 +
 
 +
Теперь рассмотрим частные случаи.
 +
1) <math>F = 0</math>, то есть нож опускается с начальной скоростью, но без применения начальной силы. Тогда обозначив за <math>k` = Mg - P</math>, мы решаем те же уравнения, подставляя вместо <math>k</math> значение <math>k`</math> <p>
 +
2) <math>V0 = 0</math> - нож летит без начальной скорости и без приложенной к нему силы, он будет лететь наравне с яблоком, так никогда не разрезав его.</p>
 +
3) Если мы полагаем массу ножа <math>M</math> много больше массы яблока <math>m</math>, и достаточно большой, чтобы <math>к</math> было положительным, то получаем, что яблоко будет разрезано в полете, в случае, когда
 +
 
 +
<math>M > (2D/m + 4Vо/m * \sqrt{(2(xо-D)/g)})*m^2/8(xo-D) + (P-F)/g
 +
</math><p>
 +
4) Найдем те значения начальной скорости ножа <math>Vо</math>, при которых яблоко будет разрезано до конца.
 +
Полагая, что <math>k > 0</math> :
 +
<math>Vо < (8(xo-D)*k/(m^2*g) - 2D/m) * m/(4*\sqrt{(2(x0-D)/g)}).</math></p>
 +
Но начальная скорость ножа не может быть отрицательной, поэтому выполняется условие <math>Vо > 0</math><p>
 +
То есть <math>(8(xo-D)*k/(m^2*g) - 2D/m) > 0</math> или после приведения подобных
 +
<math>D < 4xо*k/(mg + 4k)</math>
  
 
== Результат ==
 
== Результат ==

Текущая версия на 13:07, 28 мая 2014

А.М. Кривцов > Теоретическая механика > Курсовые проекты 2014 > Разрезание ножом яблока в процессе полета
Разрезаемое яблоко

Курсовой проект по Теоретической механике

Исполнитель: Бондарев Сергей

Группа: 08 (23604)

Семестр: весна 2014

Аннотация проекта[править]

Проект направлен на изучение взаимодействия ножа и яблока в гравитационном поле Земли.

Постановка задачи[править]

- Математически рассчитать благоприятные для разрезания яблока случаи

Общие сведения по теме[править]

Рассматриваются различные случаи взаимодействия ножа и яблока в полете. Яблоко падает с какой-то высоты [math]xo[/math], без начальной скорости. Одновременно с ним падает нож, лезвием вниз, перпендикулярно земле. К ножу прикладывается сила F, начальная скорость Vo, дана масса ножа m и масса яблока М, диаметр яблока D. Сила сопротивления со стороны яблока в точке соприкосновения лезвия ножа с яблоком P.

Нож разрезает яблоко строго по диаметру.<p> Нас интересуют те случаи, когда яблоко будет полностью разрезано до падения на землю или в крайнем случае в момент его соприкосновения с землей.

Уравнение движения ножа : [math]mx" = F - P + Mg[/math] (*). Ось x направлена к земле. Уравнение движения яблока : [math]y = gt^2[/math]

Обозначим [math]F - P + Mg[/math] за k для уменьшения объема вычислений.

1 Случай. [math]k \lt 0[/math] -> [math]P \gt F + Mg[/math]. Это случай отскока ножа от яблока.

2 Случай. [math]k = 0 -\gt P = F + Mg[/math] - равномерное разрезание яблока. [math]mx' = mVo -\gt x' = Vo = const[/math]

Теперь мы можем проинтегрировать по t, подставив взамен константы mxo ( решив задачу Коши с начальными [math]x'|t=0 = Vo[/math] ).

[math]mx = mVot + mxo[/math] -> [math] x = Vot - xo[/math] .

Рассчитав время падения яблока [math]tпад = \sqrt{((2/g)* (xo - D ))}[/math] мы можем смело заявить, при каких начальных скоростях возможен полный разрез яблока до его падения, а при каких - яблоко будет разрезано лишь на какую-то часть.

[math]f(Vo,D,xo) = Vo - gD^2/2(xo-D)[/math] (**)

Если [math]Vo - gD^2/2(xo-D) \gt 0[/math] - наблюдаем полный разрез яблока до падения.

[math]Vo - gD^2/2(xo-D) \lt 0[/math] - наблюдаем неполный разрез.

3 Случай. [math]k \gt 0 -\gt P \lt F + Mg[/math] - разрез будет проводиться с ускорением.

Дважды проинтегрируем уравнение (*) по времени t : [math]mx = kt^2/2 + mVot - mxo[/math]

Осталось сравнить время разрезания яблока и время его падения : [math]m(-Vo + \sqrt{(Disc))/2k}[/math] и [math]\sqrt{((2/g)*(xo - D))}[/math] , где [math]Disc = Vo^2 + 2D*k/m[/math]


Окончательное уравнение, зависящее от [math]Vo,D,F,P,M,m,xo[/math] :

[math]f(Vo,D,F,P,M,m,xo) = 2D*k/m-8(xo-D)*k^2/(m^2*g) + 4Vo*k*\sqrt{(2*(xo-D)/g)}/ m[/math] (***)

Теперь рассмотрим частные случаи.

1) [math]F = 0[/math], то есть нож опускается с начальной скоростью, но без применения начальной силы. Тогда обозначив за [math]k` = Mg - P[/math], мы решаем те же уравнения, подставляя вместо [math]k[/math] значение [math]k`[/math]

2) [math]V0 = 0[/math] - нож летит без начальной скорости и без приложенной к нему силы, он будет лететь наравне с яблоком, так никогда не разрезав его.

3) Если мы полагаем массу ножа [math]M[/math] много больше массы яблока [math]m[/math], и достаточно большой, чтобы [math]к[/math] было положительным, то получаем, что яблоко будет разрезано в полете, в случае, когда

[math]M \gt (2D/m + 4Vо/m * \sqrt{(2(xо-D)/g)})*m^2/8(xo-D) + (P-F)/g [/math]

4) Найдем те значения начальной скорости ножа [math]Vо[/math], при которых яблоко будет разрезано до конца. Полагая, что [math]k \gt 0[/math] : [math]Vо \lt (8(xo-D)*k/(m^2*g) - 2D/m) * m/(4*\sqrt{(2(x0-D)/g)}).[/math]

Но начальная скорость ножа не может быть отрицательной, поэтому выполняется условие [math]Vо \gt 0[/math]

То есть [math](8(xo-D)*k/(m^2*g) - 2D/m) \gt 0[/math] или после приведения подобных [math]D \lt 4xо*k/(mg + 4k)[/math]

Результат[править]

В результате проведенных исследований, мы можем, подставляя конкретные числа в уравнение (**) и (***), просчитать наиболее благоприятный размер яблока, подобрать начальную высоту или взять очень тяжелый нож для необходимых результатов.

Дальнейшее развитие проекта[править]

В будущем планируется усложнить систему, используя систему яблоко-пружина как на покоящейся плоскости, так и в воздухе.

Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=Разрезание_ножом_яблока_в_процессе_полета&oldid=25776»