КП: Динамика несферических гравитирующих тел — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
Строка 12: Строка 12:
 
== Аннотация проекта ==
 
== Аннотация проекта ==
 
Данный проект посвящён динамике несферических гравитирующих тел.  
 
Данный проект посвящён динамике несферических гравитирующих тел.  
 +
На первом этапе одна из частиц считается неподвижной и рассматривается как материальная точка. На следующем этапе планируется рассмотреть обе частицы как несферические тела, которые вращаются вокруг неподвижной точки.
 
Тела, не обладающие сферической симметрией, интересны тем, что их сила притяжения отличается от классического закона всемирного тяготения на асимптотически главный член.  
 
Тела, не обладающие сферической симметрией, интересны тем, что их сила притяжения отличается от классического закона всемирного тяготения на асимптотически главный член.  
  
Строка 26: Строка 27:
  
 
== Общие сведения по теме ==
 
== Общие сведения по теме ==
−
На первом этапе одна из частиц считается неподвижной и рассматривается как материальная точка. На следующем этапе планируется рассмотреть обе частицы как несферические тела, которые вращаются вокруг неподвижной точки.
+
Примером таких систем может служить притяжение спутника и Земли, так как принцип ориентации в этих системах легко понять на примере гантели (две равные массы, соединенные жестким невесомым стержнем), центр масс которой движется по круговой орбите. Различие сил притяжения конечных масс гантели Землей приводит к появлению гравитационного момента, стремящего совместить ось гантели с направлением радиуса-вектора, соединяющего центры масс Земли и спутника. Это положение равновесия является устойчивым (случай Луны, имеющей форму слегка вытянутой дыни). Существует и неустойчивое положение равновесия, когда ось гантели совпадает с направлением касательной к орбите. Ясно, что величина управляющего гравитационного момента зависит от размеров спутника. Спутник с неравными главными центральными моментами инерции имеет на круговой орбите четыре устойчивых положения равновесия, соответствующих совпадению наибольшей оси эллипсоида инерции спутника с радиусом-вектором и наименьшей оси с нормалью к плоскости орбиты.
 +
 
 +
[[Файл:qqq.png]]
 +
 
 +
[[Файл:q.gif]]
  
 
== Решение ==
 
== Решение ==
Строка 53: Строка 58:
 
<math>J = 2(m_{1} + m_{2})R^2</math>, где <math>R</math> характеризует положение центра масс подвижной частицы.   
 
<math>J = 2(m_{1} + m_{2})R^2</math>, где <math>R</math> характеризует положение центра масс подвижной частицы.   
  
−
Запишем систему дифференциальных уравнений, которые и будут описывать движение несферических тел в данной задачи:
+
Запишем систему дифференциальных уравнений, которые и будут описывать движение несферических тел:
  
 
<math>\begin{cases}
 
<math>\begin{cases}
Строка 64: Строка 69:
 
\end{cases}</math>
 
\end{cases}</math>
 
   
 
   
−
Учтём, что:
+
Где
  
 
<math>\ddot{r}_r = \dot{r} - r\dot{\theta}^2</math>  
 
<math>\ddot{r}_r = \dot{r} - r\dot{\theta}^2</math>  
Строка 70: Строка 75:
 
<math>\ddot{r}_\theta = \frac{1}{r}\frac{d}{dt}(r^2\dot{\theta})</math>
 
<math>\ddot{r}_\theta = \frac{1}{r}\frac{d}{dt}(r^2\dot{\theta})</math>
 
          
 
          
−
Таким образом, окончательно получаем
+
<math>F_r = (\frac{A}{r^2} + \frac{B}{r^3})\cos\theta + \frac{C}{r^3}\sin\theta</math>
  
−
<math>\begin{cases}
+
<math>F_\theta = -(\frac{A}{r^2} + \frac{B}{r^3})\sin\theta + \frac{C}{r^3}\cos\theta</math>
  
−
(m_{1} + m_{2})(\dot{r} - r\dot{\theta}^2) = F_r \\
 
−
 
−
(m_{1} + m_{2})\frac{1}{r}\frac{d}{dt}(r^2\dot{\theta}) = F_\theta\\
 
−
       
 
−
J\ddot{\theta} = M \\
 
−
\end{cases}</math>
 
−
 
 
 
== Обсуждение результатов и выводы ==
 
== Обсуждение результатов и выводы ==
 
В данной работе удалось получить уравнения, которые описывают движения тел в простом случае, то есть, когда одна частица принимается как неподвижная материальная точка, а другая частица - гантель вращается вокруг неё. На данный момент эта система уравнений не решена, но в будущем планируется аналитически её решить и перейти к следующему этапу - сделать обе частицы подвижными.  
 
В данной работе удалось получить уравнения, которые описывают движения тел в простом случае, то есть, когда одна частица принимается как неподвижная материальная точка, а другая частица - гантель вращается вокруг неё. На данный момент эта система уравнений не решена, но в будущем планируется аналитически её решить и перейти к следующему этапу - сделать обе частицы подвижными.  

Версия 02:01, 3 июня 2013

А.М. Кривцов > Теоретическая механика > Курсовые проекты 2013 > Динамика несферических гравитирующих тел


Курсовой проект по Теоретической механике

Исполнитель: Прокопенко Анастасия

Группа: 07 (20510)

Семестр: весна 2013

Аннотация проекта

Данный проект посвящён динамике несферических гравитирующих тел. На первом этапе одна из частиц считается неподвижной и рассматривается как материальная точка. На следующем этапе планируется рассмотреть обе частицы как несферические тела, которые вращаются вокруг неподвижной точки. Тела, не обладающие сферической симметрией, интересны тем, что их сила притяжения отличается от классического закона всемирного тяготения на асимптотически главный член.

Постановка задачи

787.png

Даны два несферических тела, а именно две гантели. Для выполнения первого этапа нужно считать одну из гантелей неподвижной и рассматривать её как материальную точку. Из неё проводится радиус-вектор [math]\vec{r}[/math] в центр масс второй частицы.

[math]\varphi[/math] — это угол поворота, который характеризует на сколько повернулась вторая частица относительно своего изначального положения.

[math]M[/math] — масса неподвижной частицы.

[math]m_{1} + m_{2}[/math] — масса подвижной частицы.

Общие сведения по теме

Примером таких систем может служить притяжение спутника и Земли, так как принцип ориентации в этих системах легко понять на примере гантели (две равные массы, соединенные жестким невесомым стержнем), центр масс которой движется по круговой орбите. Различие сил притяжения конечных масс гантели Землей приводит к появлению гравитационного момента, стремящего совместить ось гантели с направлением радиуса-вектора, соединяющего центры масс Земли и спутника. Это положение равновесия является устойчивым (случай Луны, имеющей форму слегка вытянутой дыни). Существует и неустойчивое положение равновесия, когда ось гантели совпадает с направлением касательной к орбите. Ясно, что величина управляющего гравитационного момента зависит от размеров спутника. Спутник с неравными главными центральными моментами инерции имеет на круговой орбите четыре устойчивых положения равновесия, соответствующих совпадению наибольшей оси эллипсоида инерции спутника с радиусом-вектором и наименьшей оси с нормалью к плоскости орбиты.

Qqq.png

Q.gif

Решение

Запишем силу притяжения рассматриваемой системы тел: [math]\vec{F} = \vec{F_1} + \vec{F_2}[/math].

Отсюда получаем после разложения в ряд Тейлора [math]\vec{F} = F_x\vec{i} + F_y\vec{j}[/math], где [math]F_x = \frac{A}{r^2} + \frac{B}{r^3}[/math] + остальные члены ряда, [math]F_y = \frac{C}{r^3}[/math].

Величины [math]A,B,C[/math] включают в себя массы всех тел и угол поворота подвижной частицы.

Полученное выражение для силы нужно записать в полярных координатах. Для этого спроецируем силу на вектора:

[math]\vec{e_r} = \cos\theta\vec{i} + \sin\theta\vec{j}[/math]

[math]\vec{e}_\theta = -\sin\theta\vec{i} + \cos\theta\vec{j}[/math]

А тогда сила примет вид:

[math]\vec{F}=F_r\vec{e}_r+F_\theta\vec{e}_\theta[/math]

Момент такой системы: [math]\vec{M} = \frac{D}{r^3}\vec{k}[/math].

Величина [math]D[/math] также включают в себя массы всех тел и угол поворота подвижной частицы.

Запишем [math]J[/math] — момент инерции:

[math]J = 2(m_{1} + m_{2})R^2[/math], где [math]R[/math] характеризует положение центра масс подвижной частицы.

Запишем систему дифференциальных уравнений, которые и будут описывать движение несферических тел:

[math]\begin{cases} (m_{1} + m_{2})\ddot{r}_r = F_r \\ (m_{1} + m_{2})\ddot{r}_\theta = F_\theta\\ J\ddot{\theta} = M \\ \end{cases}[/math]

Где

[math]\ddot{r}_r = \dot{r} - r\dot{\theta}^2[/math]

[math]\ddot{r}_\theta = \frac{1}{r}\frac{d}{dt}(r^2\dot{\theta})[/math]

[math]F_r = (\frac{A}{r^2} + \frac{B}{r^3})\cos\theta + \frac{C}{r^3}\sin\theta[/math]

[math]F_\theta = -(\frac{A}{r^2} + \frac{B}{r^3})\sin\theta + \frac{C}{r^3}\cos\theta[/math]

Обсуждение результатов и выводы

В данной работе удалось получить уравнения, которые описывают движения тел в простом случае, то есть, когда одна частица принимается как неподвижная материальная точка, а другая частица - гантель вращается вокруг неё. На данный момент эта система уравнений не решена, но в будущем планируется аналитически её решить и перейти к следующему этапу - сделать обе частицы подвижными.

Ссылки по теме

Гравитационное притяжение тел нестандартной формы

См. также

Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=КП:_Динамика_несферических_гравитирующих_тел&oldid=19938»