Ковалев Олег. Проект "Фуллерены С20 и С60". — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
(→‎Публикации)
 
(не показано 17 промежуточных версий 5 участников)
Строка 1: Строка 1:
−
'''''Страница находится в стадии редактирования...'''''
+
[[Файл:fullerene_C_60.jpg|thumb|справа|300px|Фуллерен <math>C_{60}</math>]]
 +
 
 
== Задачи, рассматриваемые в проекте ==
 
== Задачи, рассматриваемые в проекте ==
 
*Расчет модулей объемного сжатия фуллеренов <math> C_{20} </math> и <math> C_{60} </math>, в случае линейного и нелинейного объемного деформирования
 
*Расчет модулей объемного сжатия фуллеренов <math> C_{20} </math> и <math> C_{60} </math>, в случае линейного и нелинейного объемного деформирования
Строка 5: Строка 6:
 
== Результаты ==
 
== Результаты ==
  
−
*Для случая линейного объемного деформирования фуллеренов <math> C_{20} </math> и <math> C_{60} </math> были получены следующие аналитические выражения для модуля объемного сжатия:
+
*Для случая линейного объемного деформирования фуллеренов <math> C_{20} </math> и <math> C_{60} </math> было получено следующее аналитическое выражение для модуля объемного сжатия:
  
 
<math>
 
<math>
−
B = N\frac{a_0k{\rm cos}\alpha}{S}
+
B = N\frac{a_0k{\rm cos}\alpha}{S},
 
</math>
 
</math>
  
 
где <math>N-</math> количество атомов углерода в фуллерене, <math>S-</math> эквивалентная площадь фуллерена, <math>\alpha-</math> угол между силой, направленной вдоль радиуса, и направлением одной из трех связей атома, <math>k-</math> жесткость связи, <math>a_0-</math> равновесное расстояние между двумя соседними атомами углерода.
 
где <math>N-</math> количество атомов углерода в фуллерене, <math>S-</math> эквивалентная площадь фуллерена, <math>\alpha-</math> угол между силой, направленной вдоль радиуса, и направлением одной из трех связей атома, <math>k-</math> жесткость связи, <math>a_0-</math> равновесное расстояние между двумя соседними атомами углерода.
  
−
*В случае нелинейного объемного деформирования вычисления проводились с использованием потенциала Леннарда-Джонса. Были получены следующие аналитические выражение для модуля объемного сжатия:
+
*В случае нелинейного объемного деформирования вычисления проводились с использованием потенциала Леннарда-Джонса. Были получены следующие аналитические выражение для давления и модуля объемного сжатия:
 +
 
 +
<math>
 +
P\left( \frac{V}{V_0}\right) = \frac{36ND\rm cos\alpha}{Sa_0}\left[\left(\frac{V_0}{V}\right)^{\frac{13}{3}}-\left(\frac{V_0}{V}\right)^{\frac{7}{3}}\right],
 +
</math>
 +
 
 +
<math>
 +
B=\frac{72ND\rm cos\alpha}{Sa_0},
 +
</math>
 +
 
 +
где <math>D-</math> глубина потенциальной ямы.
 +
 
 +
Значения модуля объемного сжатия ''B'', расчитанные для различных значений ''S'' представлены в приведенной ниже таблице:
 +
 
 +
{| class="wikitable"
 +
!rowspan="2"|Площадь
 +
!rowspan="2"|Жесткость связи, H/м
 +
! colspan="2"|Модуль объемного сжатия ''B'', ГПа
 +
|-
 +
| фуллерен <math>C_{20}</math>
 +
| фуллерен <math>C_{60}</math>
 +
|-
 +
|rowspan="5"|описанной сферы
 +
|762
 +
|1538
 +
|834
 +
|-
 +
|708
 +
|1429
 +
|775
 +
|-
 +
|672
 +
|1356
 +
|736
 +
|-
 +
|660
 +
|1332
 +
|723
 +
|-
 +
|635
 +
|1282
 +
|695
 +
|-
 +
|rowspan="5"|вписанной сферы
 +
|762
 +
|2436
 +
|997
 +
|-
 +
|708
 +
|2263
 +
|926
 +
|-
 +
|672
 +
|2148
 +
|879
 +
|-
 +
|660
 +
|210
 +
|863
 +
|-
 +
|635
 +
|2030
 +
|830
 +
|-
 +
|rowspan="5"| многогранника
 +
|762
 +
|1838
 +
|887
 +
|-
 +
|708
 +
|1708
 +
|824
 +
|-
 +
|672
 +
|1621
 +
|782
 +
|-
 +
|660
 +
|1592
 +
|768
 +
|-
 +
|635
 +
|1532
 +
|739
 +
|-
 +
|}
 +
 
 +
Из таблицы видно, что значение модуля объемного сжатия ''B'' фуллерена <math>C_{20}</math> практически в два раза превышает аналогичное значение для фуллерена <math>C_{60}</math>. При этом величина ''В'' существенно зависит от выбора эквивалентной площади поверхности ''S''. Максимальная разница между значениями ''В'', вычисленными при разных ''S'' и одинаковой жесткости связи, составляет ''37%'' для <math>C_{20}</math> и ''16%'' для <math>C_{60}</math>.
 +
 
 +
*Частота радиальных колебаний фуллеренов <math> C_{20} </math> и <math> C_{60} </math>
 +
 
 +
<math>
 +
\omega=\sqrt{\frac{6k}{m}}\rm cos\alpha,
 +
</math>
 +
 
 +
здесь ''m-'' масса одного атома углерода.
 +
 
 +
При <math> m=1.994\cdot 10^{-26} </math>  кг, ''k=635'' H/м для <math>C_{20}</math> <math>\omega=156.0</math>  ТГц, для <math>C_{60}</math> <math>\omega=89.17</math> ТГц.
  
 
== Научный руководитель ==
 
== Научный руководитель ==
Строка 19: Строка 117:
  
 
== Публикации ==
 
== Публикации ==
−
*Kovalev O.O., Kuzkin V. A. Analytical expressions for bulk moduli and frequencies of volumetrical vibrations  of fullerenes C20 and C60 // Proc. of Summer School – Conference “Advanced Problems in Mechanics”. St. Petersburg. 2011, [paper in press].
+
# Kovalev O.O., Kuzkin V. A. Analytical expressions for bulk moduli and frequencies of volumetrical vibrations  of fullerenes C20 and C60 // Proc. of Summer School – Conference [["Advanced Problems in Mechanics"]]. St. Petersburg. 2011, [paper in press]
 +
# Kovalev O.O., Kuzkin V. A. Analytical expressions for bulk moduli and frequencies of volumetrical vibrations  of fullerenes C20 and C60 // NANOSYSTEMS: PHYSICS, CHEMISTRY, MATHEMATICS, 2011, 2 (2), P. 65–70
 +
# Ковалев O.O., Кузькин В. A. Вычисление модулей объемного сжатия фуллеренов С20 и С60 // Сборник “Неделя науки”.
 +
 
 +
 
 +
[[Category: Студенческие проекты]]

Текущая версия на 01:27, 12 марта 2013

Фуллерен [math]C_{60}[/math]

Задачи, рассматриваемые в проекте[править]

  • Расчет модулей объемного сжатия фуллеренов [math] C_{20} [/math] и [math] C_{60} [/math], в случае линейного и нелинейного объемного деформирования
  • Определение частоты радиальных колебаний фуллеренов [math] C_{20} [/math] и [math] C_{60} [/math]

Результаты[править]

  • Для случая линейного объемного деформирования фуллеренов [math] C_{20} [/math] и [math] C_{60} [/math] было получено следующее аналитическое выражение для модуля объемного сжатия:

[math] B = N\frac{a_0k{\rm cos}\alpha}{S}, [/math]

где [math]N-[/math] количество атомов углерода в фуллерене, [math]S-[/math] эквивалентная площадь фуллерена, [math]\alpha-[/math] угол между силой, направленной вдоль радиуса, и направлением одной из трех связей атома, [math]k-[/math] жесткость связи, [math]a_0-[/math] равновесное расстояние между двумя соседними атомами углерода.

  • В случае нелинейного объемного деформирования вычисления проводились с использованием потенциала Леннарда-Джонса. Были получены следующие аналитические выражение для давления и модуля объемного сжатия:

[math] P\left( \frac{V}{V_0}\right) = \frac{36ND\rm cos\alpha}{Sa_0}\left[\left(\frac{V_0}{V}\right)^{\frac{13}{3}}-\left(\frac{V_0}{V}\right)^{\frac{7}{3}}\right], [/math]

[math] B=\frac{72ND\rm cos\alpha}{Sa_0}, [/math]

где [math]D-[/math] глубина потенциальной ямы.

Значения модуля объемного сжатия B, расчитанные для различных значений S представлены в приведенной ниже таблице:

Площадь Жесткость связи, H/м Модуль объемного сжатия B, ГПа
фуллерен [math]C_{20}[/math] фуллерен [math]C_{60}[/math]
описанной сферы 762 1538 834
708 1429 775
672 1356 736
660 1332 723
635 1282 695
вписанной сферы 762 2436 997
708 2263 926
672 2148 879
660 210 863
635 2030 830
многогранника 762 1838 887
708 1708 824
672 1621 782
660 1592 768
635 1532 739

Из таблицы видно, что значение модуля объемного сжатия B фуллерена [math]C_{20}[/math] практически в два раза превышает аналогичное значение для фуллерена [math]C_{60}[/math]. При этом величина В существенно зависит от выбора эквивалентной площади поверхности S. Максимальная разница между значениями В, вычисленными при разных S и одинаковой жесткости связи, составляет 37% для [math]C_{20}[/math] и 16% для [math]C_{60}[/math].

  • Частота радиальных колебаний фуллеренов [math] C_{20} [/math] и [math] C_{60} [/math]

[math] \omega=\sqrt{\frac{6k}{m}}\rm cos\alpha, [/math]

здесь m- масса одного атома углерода.

При [math] m=1.994\cdot 10^{-26} [/math] кг, k=635 H/м для [math]C_{20}[/math] [math]\omega=156.0[/math] ТГц, для [math]C_{60}[/math] [math]\omega=89.17[/math] ТГц.

Научный руководитель[править]

Виталий Кузькин

Публикации[править]

  1. Kovalev O.O., Kuzkin V. A. Analytical expressions for bulk moduli and frequencies of volumetrical vibrations of fullerenes C20 and C60 // Proc. of Summer School – Conference "Advanced Problems in Mechanics". St. Petersburg. 2011, [paper in press]
  2. Kovalev O.O., Kuzkin V. A. Analytical expressions for bulk moduli and frequencies of volumetrical vibrations of fullerenes C20 and C60 // NANOSYSTEMS: PHYSICS, CHEMISTRY, MATHEMATICS, 2011, 2 (2), P. 65–70
  3. Ковалев O.O., Кузькин В. A. Вычисление модулей объемного сжатия фуллеренов С20 и С60 // Сборник “Неделя науки”.
Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=Ковалев_Олег._Проект_%22Фуллерены_С20_и_С60%22.&oldid=18534»