Потенциал Кузькина-Кривцова — различия между версиями

Версия 15:32, 25 мая 2011

Пусть частицы 1 и 2 взаимодействуют посредством сил и моментов, зависящих от их взаимного расположения и ориентации частиц. Введем следующие обозначения: [math]{\bf F}_i[/math], [math]{\bf M}_i[/math] - сила и момент, действующие на частицу i со стороны второй частицы, причем момент [math]{\bf M}_i[/math] вычислен относительно частицы i. Величины [math]{\bf F}_i[/math], [math]{\bf M}_i[/math] удовлетворяют третьему закону Ньютона для сил, аналогу третьего закона Ньютона для моментов и уравнению баланса энергии:

[math] {\bf F}_1=-{\bf F}_2 = {\bf F}, \quad {\bf M}_1 + {\bf M}_2-{\bf r}_{12} \times {\bf F} = 0, \quad \dot{U}= {\bf F}\cdot\dot{{\bf r}}_{12} - {\bf M}_1\cdot{\bf \omega}_1 - {\bf M}_2 \cdot{\bf \omega}_2, [/math]

где [math]{\bf r}_{12} = {\bf r}_2-{\bf r}_1[/math]; [math]{\bf r}_i[/math] --- радиус-вектор частицы i; [math] {\bf \omega}_1, {\bf \omega}_2[/math] --- угловые скорости частиц; U - внутренняя энергия системы. Будем искать внутреннюю энергию в виде функции векторов, жестко с частицами:

[math] U = U({\bf r}_{12}, { {\bf n}_1^j }_{j \in \Lambda_1}, {{\bf n}_2^j }_{j \in \Lambda_2}), [/math]

где [math]\{ {\bf n}_1^j \}_{j \in \Lambda_1}, \{{\bf n}_2^j \}_{j \in \Lambda_2} [/math] - два множества единичных векторов, жестко связанных с частицами 1 и 2 соответственно, [math]\Lambda_1, \Lambda_2[/math] - множества индексов. В силу принципа материальной объективности внутренняя энергия должна зависеть от инвариантных величин: [math] r_{12}, {\bf e}_{12}\cdot {\bf n}_i^j, {\bf n}_1^j\cdot {\bf n}_2^k [/math]. Формулы, связывающие силы и моменты, действующие между частицами, с внутренней энергией имеют вид:

[math] {\bf F} = \frac{\partial U}{\partial {\bf r}_{12}}, \quad {\bf M}_i = \sum_{j \in \Lambda_i} \frac{\partial U}{\partial {\bf n}_i^j}\times{\bf n}_i^j, \quad i=1,2. [/math]