Потенциал Кузькина-Кривцова — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
Строка 2: Строка 2:
 
взаимного расположения и ориентации частиц. Основные рассуждения проводятся на примере системы из двух частиц, помеченных
 
взаимного расположения и ориентации частиц. Основные рассуждения проводятся на примере системы из двух частиц, помеченных
 
индексами 1 и 2. Вводем следующие обозначения: <math>{\bf F}_i</math>,
 
индексами 1 и 2. Вводем следующие обозначения: <math>{\bf F}_i</math>,
<math>{\bf M}_i</math>--- сила и момент, действующие на частицу i со стороны
+
<math>{\bf M}_i</math> - сила и момент, действующие на частицу i со стороны
 
второй частицы, причем момент <math>{\bf M}_i</math> вычислен относительно
 
второй частицы, причем момент <math>{\bf M}_i</math> вычислен относительно
 
частицы i. Величины <math>{\bf F}_i</math>, <math>{\bf M}_i</math> удовлетворяют третьему закону
 
частицы i. Величины <math>{\bf F}_i</math>, <math>{\bf M}_i</math> удовлетворяют третьему закону
Строка 15: Строка 15:
 
   \dot{U}= {\bf F}\cdot\dot{{\bf r}}_{12} - {\bf M}_1\cdot{\bf \omega}_1 - {\bf M}_2 \cdot{\bf \omega}_2,
 
   \dot{U}= {\bf F}\cdot\dot{{\bf r}}_{12} - {\bf M}_1\cdot{\bf \omega}_1 - {\bf M}_2 \cdot{\bf \omega}_2,
 
</math>
 
</math>
где <math>{\bf r}_{12} = {\bf r}_2-{\bf r}_1<\math>; <math>{\bf r}_i</math> --- радиус-вектор
+
 
частицы i; <math>\omega_1, \omega_2</math> --- угловые скорости частиц; U - внутренняя энергия системы.  
+
где <math>{\bf r}_{12} = {\bf r}_2-{\bf r}_1</math>; <math>{\bf r}_i</math> --- радиус-вектор
 +
частицы i; <math> {\bf \omega}_1, {\bf \omega}_2</math> --- угловые скорости частиц; U - внутренняя энергия системы.  
 
Наиболее удобно представлять внутреннюю энергию как функцию векторов, жестко с частицами:
 
Наиболее удобно представлять внутреннюю энергию как функцию векторов, жестко с частицами:
 +
 
<math>
 
<math>
U = U\({\bf r}_{12}, \{ {\bf n}_1^j \}_{j \in \Lambda_1}, \{{\bf n}_2^j \}_{j \in \Lambda_2}\),
+
U = U({\bf r}_{12}, { {\bf n}_1^j }_{j \in \Lambda_1}, {{\bf n}_2^j }_{j \in \Lambda_2}),
 
</math>
 
</math>
 +
 
где <math>\{ {\bf n}_1^j \}_{j \in \Lambda_1}, \{{\bf n}_2^j \}_{j \in \Lambda_2} </math> - два множества единичных векторов, жестко  
 
где <math>\{ {\bf n}_1^j \}_{j \in \Lambda_1}, \{{\bf n}_2^j \}_{j \in \Lambda_2} </math> - два множества единичных векторов, жестко  
 
связанных с частицами 1 и 2 соответственно,
 
связанных с частицами 1 и 2 соответственно,
<math>\Lambda_1, \Lambda_2</math> - множества индексов. Показывается, что в
+
<math>\Lambda_1, \Lambda_2</math> - множества индексов. В
 
силу принципа материальной объективности внутренняя энергия должна
 
силу принципа материальной объективности внутренняя энергия должна
зависеть от инвариантных величин: <math> r_{12}, \e_{12}\cdot\n_i^j,
+
зависеть от инвариантных величин: <math> r_{12}, {\bf e}_{12}\cdot {\bf n}_i^j,
\n_1^j\cdot \n_2^k </math>.  Выводятся формулы, связывающие  силы и
+
{\bf n}_1^j\cdot {\bf n}_2^k </math>.  Формулы, связывающие  силы и
моменты, действующие между частицами, с внутренней энергией
+
моменты, действующие между частицами, с внутренней энергией имеют вид:
 +
 
 
<math>
 
<math>
 
   {\bf F} = \frac{\partial U}{\partial {\bf r}_{12}}, \quad {\bf M}_i = \sum_{j \in \Lambda_i} \frac{\partial U}{\partial
 
   {\bf F} = \frac{\partial U}{\partial {\bf r}_{12}}, \quad {\bf M}_i = \sum_{j \in \Lambda_i} \frac{\partial U}{\partial
 
   {\bf n}_i^j}\times{\bf n}_i^j, \quad i=1,2.
 
   {\bf n}_i^j}\times{\bf n}_i^j, \quad i=1,2.
 
</math>
 
</math>

Версия 15:30, 25 мая 2011

Считается, что частицы взаимодействуют посредством сил и моментов, зависящих от взаимного расположения и ориентации частиц. Основные рассуждения проводятся на примере системы из двух частиц, помеченных индексами 1 и 2. Вводем следующие обозначения: [math]{\bf F}_i[/math], [math]{\bf M}_i[/math] - сила и момент, действующие на частицу i со стороны второй частицы, причем момент [math]{\bf M}_i[/math] вычислен относительно частицы i. Величины [math]{\bf F}_i[/math], [math]{\bf M}_i[/math] удовлетворяют третьему закону Ньютона для сил, аналогу третьего закона Ньютона для моментов и уравнению баланса энергии:

[math] {\bf F}_1=-{\bf F}_2 = {\bf F}, \quad {\bf M}_1 + {\bf M}_2-{\bf r}_{12} \times {\bf F} = 0, \quad \dot{U}= {\bf F}\cdot\dot{{\bf r}}_{12} - {\bf M}_1\cdot{\bf \omega}_1 - {\bf M}_2 \cdot{\bf \omega}_2, [/math]

где [math]{\bf r}_{12} = {\bf r}_2-{\bf r}_1[/math]; [math]{\bf r}_i[/math] --- радиус-вектор частицы i; [math] {\bf \omega}_1, {\bf \omega}_2[/math] --- угловые скорости частиц; U - внутренняя энергия системы. Наиболее удобно представлять внутреннюю энергию как функцию векторов, жестко с частицами:

[math] U = U({\bf r}_{12}, { {\bf n}_1^j }_{j \in \Lambda_1}, {{\bf n}_2^j }_{j \in \Lambda_2}), [/math]

где [math]\{ {\bf n}_1^j \}_{j \in \Lambda_1}, \{{\bf n}_2^j \}_{j \in \Lambda_2} [/math] - два множества единичных векторов, жестко связанных с частицами 1 и 2 соответственно, [math]\Lambda_1, \Lambda_2[/math] - множества индексов. В силу принципа материальной объективности внутренняя энергия должна зависеть от инвариантных величин: [math] r_{12}, {\bf e}_{12}\cdot {\bf n}_i^j, {\bf n}_1^j\cdot {\bf n}_2^k [/math]. Формулы, связывающие силы и моменты, действующие между частицами, с внутренней энергией имеют вид:

[math] {\bf F} = \frac{\partial U}{\partial {\bf r}_{12}}, \quad {\bf M}_i = \sum_{j \in \Lambda_i} \frac{\partial U}{\partial {\bf n}_i^j}\times{\bf n}_i^j, \quad i=1,2. [/math]