Устойчивость протопланетного облака системы "Земля - Луна" часть 3 — различия между версиями
Al-Efesbi (обсуждение | вклад) м (→Постановка задачи) |
Al-Efesbi (обсуждение | вклад) м (→Постановка задачи) |
||
Строка 103: | Строка 103: | ||
- n S \frac{\rho r'}{r} Ei(1,nS\rho)\right)</math> | - n S \frac{\rho r'}{r} Ei(1,nS\rho)\right)</math> | ||
− | Первое слагаемое: | + | Первое слагаемое:<math><math>Вставьте сюда формулу</math></math> |
<math>\frac{2\pi K}{nSr} e^{-nSr}\cdot \Bigl( e^{nSR}-e^{-nSR}\Bigr)\cdot\left( R-\frac{1}{nS}\right) </math> | <math>\frac{2\pi K}{nSr} e^{-nSr}\cdot \Bigl( e^{nSR}-e^{-nSR}\Bigr)\cdot\left( R-\frac{1}{nS}\right) </math> | ||
Строка 115: | Строка 115: | ||
поэтому <math>m= 0.917 \cdot \frac{2}{3\sqrt{4\pi}}S^{3/2} \approx 0.17 S^{3/2} </math> | поэтому <math>m= 0.917 \cdot \frac{2}{3\sqrt{4\pi}}S^{3/2} \approx 0.17 S^{3/2} </math> | ||
− | Если теперь положить, что радиус системы Земля-Луна на начальных этапах своей эволюции был в | + | Если теперь положить, что радиус системы Земля-Луна на начальных этапах своей эволюции был в 2 раза больше расстояния между Луной и Землёй сегодня, а масса была равна суммы масс Земли и Луны, то получим |
<math>n=\frac{M}{Vm}=\frac{6.04\cdot 10^{27}}{2.37\cdot10^{32}\cdot 0.17 S^{3/2}}\frac{1}{sm^3}</math> | <math>n=\frac{M}{Vm}=\frac{6.04\cdot 10^{27}}{2.37\cdot10^{32}\cdot 0.17 S^{3/2}}\frac{1}{sm^3}</math> | ||
Если половина площади частиц примерно ровна <math>600 sm^2</math>, что соответствует радиусу 10 см, то получим | Если половина площади частиц примерно ровна <math>600 sm^2</math>, что соответствует радиусу 10 см, то получим | ||
− | <math>n= | + | <math>n=8.25\cdot 10^{-10}\frac{1}{sm^3}</math>, что примерно соответствует 1 частице в кубе 10х10 метров. |
+ | |||
+ | И теперь самое главное. | ||
+ | |||
+ | При таких условиях <math>\frac{1}{nS}</math> на четыре порядка меньше <math>R</math>, так что этим слогаемым тоже можно принебречь | ||
+ | |||
+ | <math>(11): \varphi=\frac{2\pi K}{nS}\frac{R}{r} e^{-nSr}\cdot \Bigl( e^{nSR}-e^{-nSR}\Bigr) </math> | ||
==Некоторые уравнения== | ==Некоторые уравнения== |
Версия 16:37, 18 октября 2012
Содержание
Постановка задачи
Пусть имеется тело радиуса
(площадь поверхности )с поверхности которого отделяются частицы. На расстоянии от первого тела находится сферическое тело площадью .Требуется подсчитать силу, с которой это тело взаимодействует с частицей.
Исходим из следующих соображений.
- Все частицы имеют одинаковую массу
- Все частицы отделяются от сферического тела
1) В радиальных направлениях
2) С одинаковой начальной скоростью
3) без ускорения
Решение
Запишем уравнение непрерывности для среды с источником излучения.
,
где
-концентрация частиц,
-Интенсивность испарения сферы
-дельта функция Дирака.
Первое слагаемое в силу стационарности-ноль.
Рассмотрим частичку площадью
, ("эффективная" площадь ) находящеюся на расстоянии , от излучающего тела. Тогда переданный импульс при абсолютно-упругом ударе за время будет,
отсюда
Постановка задачи
В условиях прошлой задачи, учесть эффект экранирования.
Решение
Если среда, где распространяется излучение, не пустая, присутствует экранирующий эффект, тогда , в соответствии с [работой], концентрация отделившихся частиц на расстоянии запишется как
, где
-концентрация экранирующих тел.
-эффектная площадь экранирующих тел (в случае сферических тел, полая их площадь есть ).
Постановка задачи
Для испаряющейся с интенсивностью
сферической частицы площадью , в среде с частицами с концентрацией и площадью написать выражение для созданного ей отталкивающего потенциала на расстоянии r.
Решение
Характеристикой испарения, при одинаковой интенсивности является площадь частицы. Использую метод пробной сферической частицы,площадью поверхности внесенной в отталкивающее поле (тогда на наблюдателя будет обращена поверхность ), получим связь силы и потенциала:
Постановка задачи
Для однородного шара с концентрацией частиц
найти закон функцию потенциала.Решение По антологии с гравитационным потенциалом можно показать, что на внутреннею точку полый шар не действует.
Теперь будем считать, что шар не полый, и плотность частиц постоянна. Проведем через точку
сферу так, что она разделит шар на внутренний шар с массой и шаровой слой с массой . Материальная точка будет взаимодействовать только внутренним шаром.Представим себе, что точка
находится вне шара. Соединим эту точку с центром шара (точка О), полученный радиус-вектор обозначим через . Радиус-вектор элемента объёма будем обозначать буквой . Следовательно расстояние между элементом объёма и точкой , которое мы обозначили греческой буквой , будет иметь вид , где -- угол с вершиной в центре шара, образованный радиус-векторами , . Наконец, объем элементарно малого параллелепипеда со сторонами , , и . Здесь мы введена еще одна степень свободы -- поворот вокруг оси OP на угол .Для бесконечно-малого объёма надо ввести эквиваленту площадь поверхности, равной суммарной площади всех находящихся в нём частиц.
Теперь следует проинтегрировать по всем объёмам, чтобы найти суммарный потенциал.
Заменим переменную интегрирования
на . Определим пределы интегрирования. Очевидно, что вместо 0 и нужно взять и , а .Имеем:
Первое слагаемое:
</math>
Предполагая, что
-очень мало по сравнению с , упрощая, получаем
Объём и площадь сферы связаны соотношением
, масса ледяных пылинокпоэтому
Если теперь положить, что радиус системы Земля-Луна на начальных этапах своей эволюции был в 2 раза больше расстояния между Луной и Землёй сегодня, а масса была равна суммы масс Земли и Луны, то получим
Если половина площади частиц примерно ровна
, что соответствует радиусу 10 см, то получим, что примерно соответствует 1 частице в кубе 10х10 метров.
И теперь самое главное.
При таких условиях
на четыре порядка меньше , так что этим слогаемым тоже можно принебречь
Некоторые уравнения
Для простоты рассматриваем бесстолкновительные системы
Функция распределения должна удовлетворять кинетическому уравнению Больцмана
Здесь F(r, t) — поле сил, действующее на частицы в жидкости или газе, а m — масса частиц. Слагаемое в правой части уравнения добавлено для учёта столкновений между частицами и называется интеграл столкновений. Если оно равно нулю, то частицы не сталкиваются вовсе.
Поэтому