Устинова Алеся: Определение временных характеристик разрушения — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
(→‎Введение)
(→‎Ссылки)
 
(не показано 6 промежуточных версий этого же участника)
Строка 1: Строка 1:
 
== Введение ==
 
== Введение ==
 +
 
Процесс разрушения представляет собой сложный многоступенчатый временной
 
Процесс разрушения представляет собой сложный многоступенчатый временной
 
процесс, начинающийся задолго до появления видимых трещин и заканчивающийся
 
процесс, начинающийся задолго до появления видимых трещин и заканчивающийся
Строка 14: Строка 15:
 
её вершине. При разрушении находящегося под напряжением  элементарного кубика
 
её вершине. При разрушении находящегося под напряжением  элементарного кубика
 
с ребром длиною R освобождается энергия его упругого деформирования
 
с ребром длиною R освобождается энергия его упругого деформирования
−
<p>&#8194;&#8194;&#8194;&#8194;&#8194; <sup>&#916;R</sup></p>
 
−
<p> U<sub>упр</sub> = &#8747; F<sub>упр</sub> dx = E R x dx = E R &#916;R <sup>2</sup> / 2 = &#963; <sup>2</sup> R <sup>3</sup> / 2E </p>
 
−
<p>&#8194;&#8194;&#8194;&#8194;&#8194; <sub>0</sub></p>
 
  
−
где F<sub>упр</sub> = &#963; R <sup>2</sup> = E x R <sup>2</sup> / R = E R x - сила упругого деформирования кубика, Е - модуль упругости материала, &#916;R = &#963; R / E
+
  <math>
−
- абсолютное удлинение одной из сторон кубика при его одноосном растяжении.
+
    U_u = \int_0^{\triangle R}{F_u dx} = ERxdx = ER \frac{\triangle R^2}{2}= \frac{\sigma^2 R^3}{2E},
 +
  </math>
 +
где
 +
  <math>
 +
    F_u=\sigma R^2 = \frac{Ex R^2}{R} = ERx </math> - сила упругого деформирования кубика,
 +
  Е - модуль упругости материала, <math> \triangle R = \frac{\sigma R}{E}  </math> - абсолютное удлинение одной из сторон кубика при его одноосном растяжении.
 
Приращение длины разрыва (трещины) на величину dR приведёт к высвобождению
 
Приращение длины разрыва (трещины) на величину dR приведёт к высвобождению
 
дополнительного количества энергии упругого деформирования, равного &#963; <sup>2</sup> R <sup>2</sup> dR / 2E.
 
дополнительного количества энергии упругого деформирования, равного &#963; <sup>2</sup> R <sup>2</sup> dR / 2E.
Строка 41: Строка 44:
 
величина, связанная с главными напряжениями и используемая для оценки сложного
 
величина, связанная с главными напряжениями и используемая для оценки сложного
 
напряжённого состояния.
 
напряжённого состояния.
 +
 +
==Деформация упругого полупространства под действие поверхностных сил ==
 +
[[Файл: R1.PNG‎|340px|thumb|right|Рисунок 1 а) На поверхности упругого полупространства приложены силы б) Сила, действующая на поверхности системы]]
 +
Рассмотрим упругую среду (см. рис. 1).
 +
 +
Сдвиги, вызванные силой:
 +
 +
  <math>
 +
    U_x=\frac{1+\nu}{2\pi E}\left(\frac{xz}{r^3}-\frac{(1-2\nu)x}{r(r+z)}\right)F_z,
 +
  </math>
 +
  <math>
 +
    U_y=\frac{1+\nu}{2\pi E}\left(\frac{yz}{r^3}-\frac{(1-2\nu)y}{r(r+z)}\right)F_z,
 +
  </math>
 +
  <math>
 +
    U_z=\frac{1+\nu}{2\pi E}\left(\frac{2(1-\nu)}{r}+\frac{z^2}{r^3}\right)F_z,
 +
  </math>
 +
где
 +
  <math>
 +
    r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}
 +
  </math>.
 +
 +
Смещение свободной поверхности z=0
 +
 +
  <math>
 +
    U_x=-\frac{(1+\nu)(1-2\nu)}{2\pi E}\frac{x}{r^2}F_z
 +
  </math>,
 +
  <math>
 +
    U_y=-\frac{(1+\nu)(1-2\nu)}{2\pi E}\frac{y}{r^2}F_z
 +
  </math>,
 +
  <math>
 +
    U_z=\frac{(1-\nu^2)}{\pi E}\frac{1}{r}F_z
 +
  </math>,
 +
 +
где
 +
  <math>
 +
    r=\sqrt{x^2+y^2}
 +
  </math>.
 +
 +
в случае непрерывного распределения P (х,у) нормального давления, смещение поверхности
 +
 +
  <math>
 +
    U_z=\frac{1}{\pi E^*}\iint p(x',y')\frac{dx'dy'}{r}
 +
  </math>
 +
  <math>
 +
    r=\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2}
 +
  </math>
 +
 +
где
 +
  <math>
 +
    E^*=\frac{E}{1-\nu^2}
 +
  </math>
 +
 +
Предположим, что в круговой области радиуса, распределение давления
 +
  <math>
 +
    p=p_0\left(1-\frac{r^2}{a^2}\right)^n
 +
  </math>
 +
 +
Распределение давления Герца (n=1/2)
 +
  <math>
 +
    p=p_0\left(1-\frac{r^2}{a^2}\right)^{1/2}
 +
  </math>
 +
 +
приводит к вертикальному перемещению
 +
  <math>
 +
    U_z=\frac{\pi p_0}{4E^*a}(2a^2-r^2)
 +
  </math>
 +
 +
Полная сила
 +
  <math>
 +
    F=\int_0^a{p(r)2 \pi rdr} = \frac {2}{3}p_0 \pi a^2
 +
  </math>
 +
 +
==Контакт Герца==
 +
[[Файл: R2.PNG‎|340px|thumb|right|Рисунок 2 Жесткий шар в контакте с упругим полупространством]]
 +
На рисунке 2 схематически показан контакт между жесткой сферой и упругим полупространством. Смещение точек поверхности и площадь контакта между первоначально плоской поверхностью и жесткой сферой радиусом R равна
 +
 +
  <math>
 +
    U_z=d-\frac{r^2}{2R}
 +
  </math>
 +
 +
Уравнение вертикальных перемещений, является квадратичным распределением вертикальных смещений по распределению давления в форме.
 +
 +
Подберем параметры <math>a</math> и <math>p_0</math>, так что распределение давления точного перемещения, вызванные:
 +
 +
  <math>
 +
    \frac{1}{E^*} \frac{\pi p_0}{4a} (2a^2-r^2)=d-\frac{r^2}{2R}
 +
  </math>
 +
 +
<math>a</math> и <math>d</math> должны отвечать следующим требованиям
 +
 +
  <math>
 +
    a=\frac{\pi p_0 R}{2E^*},  d=\frac{\pi a p_0}{2E^*}
 +
  </math>
 +
 +
контакт с радиусом
 +
 +
  <math>
 +
    a^2=Rd
 +
  </math>
 +
 +
максимальное давление
 +
  <math>
 +
    p_0=\frac{2}{\pi}E^*\left(\frac{d}{R}\right)^{1/2}
 +
  </math>
 +
 +
получаем Нормальная сила
 +
 +
  <math>
 +
    F=\frac{4}{3} E^* R^{1/2} d^{3/2}
 +
  </math>
 +
 +
==Контакт между двух упругих тел с изогнутыми поверхностями==
 +
[[Файл: R3.PNG|340px|thumb|right|Рисунок 3. Контакт между двумя телами с изогнутыми поверхностями]]
 +
Оба тела упруги, поэтому воспользуемся следующим выражением <math>E^*</math>
 +
 +
  <math>
 +
    \frac{1}{E*}=\frac{1- \nu_1^2}{E_1}+\frac{1- \nu_2^2}{E_2}
 +
  </math>
 +
 +
<math>E_1</math> и <math>E_2</math> - модуль упругости, <math>\nu_1</math> и <math>\nu_2</math> - коэффициент Пуассона
 +
 +
Если у двух сфер с радиусами <math>R_1</math> и <math>R_2</math> в контакте (рисунок 3), то уравнения (см. выше) по-прежнему в соответствии с радиусом R
 +
 +
  <math>
 +
    \frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}
 +
  </math>
 +
  
 
Нормальная сила:
 
Нормальная сила:
Строка 84: Строка 214:
  
 
[http://www.krugosvet.ru/enc/nauka_i_tehnika/tehnologiya_i_promyshlennost/METALLOV_ISPITANIYA.html Испытания металлов]
 
[http://www.krugosvet.ru/enc/nauka_i_tehnika/tehnologiya_i_promyshlennost/METALLOV_ISPITANIYA.html Испытания металлов]
 +
 +
[http://en.wikipedia.org/wiki/Help:Displaying_a_formula Тех]
  
 
== См. также ==
 
== См. также ==
  
 
* [[Устинова Алеся]]
 
* [[Устинова Алеся]]

Текущая версия на 01:09, 12 июля 2012

Введение[править]

Процесс разрушения представляет собой сложный многоступенчатый временной процесс, начинающийся задолго до появления видимых трещин и заканчивающийся прорастанием трещины и разделением тела на части.

Закономерности процесса разрушения изучаются на различных масштабных уровнях с помощью тончайших физических экспериментов. На каждом масштабном уровне (от атомно-молекулярного до макроразмеров порядка километров) предлагаются определённые физические модели процесса разрушения, учитывающие параметры структуры и условия перехода разрушения с одного масштабного уровня на другой.

Согласно энергетической модели разрушения, практически использованной Гриффитсом А.А. в 1920 г., условием развития трещины является подвод энергии к её вершине. При разрушении находящегося под напряжением элементарного кубика с ребром длиною R освобождается энергия его упругого деформирования 

 [math]
    U_u = \int_0^{\triangle R}{F_u dx} = ERxdx = ER \frac{\triangle R^2}{2}= \frac{\sigma^2 R^3}{2E},
  [/math]

где 

 [math] 
    F_u=\sigma R^2 = \frac{Ex R^2}{R} = ERx [/math] - сила упругого деформирования кубика,
 Е - модуль упругости материала, [math] \triangle R = \frac{\sigma R}{E}  [/math] - абсолютное удлинение одной из сторон кубика при его одноосном растяжении.

Приращение длины разрыва (трещины) на величину dR приведёт к высвобождению дополнительного количества энергии упругого деформирования, равного σ 2 R 2 dR / 2E. С другой стороны, образование разрыва приводит к увеличению площади поверхности и поверхностной энергии тела на величину γ R dR (γ - удельная работа разрушения на единицу площади новой поверхности). Рассмотрев условия энергетического баланса и приравняв оба этих значения, получим формулу Гриффитса для разрушающих напряжений тела с трещиной и критического размера Rкр трещины, после достижения которого начинается самопроизвольный её рост в поле создаваемых ею перенапряжений

σ ~ √ 2 γ E / R

Rкр ~ 2 γ E / σ 2

Несколько иная (силовая) модель разрушения была предложена Ирвином, в которой критерием роста трещины был принят момент достижения критического значения коэффициентом интенсивности напряжений К, являющимся функцией только характера внешнего нагружения, геометрии тела и размеров трещины. Согласно предложению Ирвина, трещина не развивается, когда значения К не превышают некоторой критической. Интенсивность напряжений - это некоторая фиктивная величина, связанная с главными напряжениями и используемая для оценки сложного напряжённого состояния.

Деформация упругого полупространства под действие поверхностных сил[править]

Рисунок 1 а) На поверхности упругого полупространства приложены силы б) Сила, действующая на поверхности системы

Рассмотрим упругую среду (см. рис. 1).

Сдвиги, вызванные силой: 

 [math]
    U_x=\frac{1+\nu}{2\pi E}\left(\frac{xz}{r^3}-\frac{(1-2\nu)x}{r(r+z)}\right)F_z,
  [/math]
 [math]
    U_y=\frac{1+\nu}{2\pi E}\left(\frac{yz}{r^3}-\frac{(1-2\nu)y}{r(r+z)}\right)F_z,
  [/math]
 [math]
    U_z=\frac{1+\nu}{2\pi E}\left(\frac{2(1-\nu)}{r}+\frac{z^2}{r^3}\right)F_z,
  [/math]

где 

 [math]
    r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}
  [/math].

Смещение свободной поверхности z=0 

 [math]
    U_x=-\frac{(1+\nu)(1-2\nu)}{2\pi E}\frac{x}{r^2}F_z
  [/math],
 [math]
    U_y=-\frac{(1+\nu)(1-2\nu)}{2\pi E}\frac{y}{r^2}F_z
  [/math],
 [math]
    U_z=\frac{(1-\nu^2)}{\pi E}\frac{1}{r}F_z
  [/math],

где 

 [math]
    r=\sqrt{x^2+y^2}
  [/math].

в случае непрерывного распределения P (х,у) нормального давления, смещение поверхности 

 [math]
    U_z=\frac{1}{\pi E^*}\iint p(x',y')\frac{dx'dy'}{r}
  [/math]
 [math]
    r=\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2}
  [/math]

где 

 [math]
    E^*=\frac{E}{1-\nu^2}
  [/math]

Предположим, что в круговой области радиуса, распределение давления 

 [math]
    p=p_0\left(1-\frac{r^2}{a^2}\right)^n
  [/math]

Распределение давления Герца (n=1/2) 

 [math]
    p=p_0\left(1-\frac{r^2}{a^2}\right)^{1/2}
  [/math]

приводит к вертикальному перемещению 

 [math]
    U_z=\frac{\pi p_0}{4E^*a}(2a^2-r^2)
  [/math]

Полная сила 

 [math]
    F=\int_0^a{p(r)2 \pi rdr} = \frac {2}{3}p_0 \pi a^2
  [/math]

Контакт Герца[править]

Рисунок 2 Жесткий шар в контакте с упругим полупространством

На рисунке 2 схематически показан контакт между жесткой сферой и упругим полупространством. Смещение точек поверхности и площадь контакта между первоначально плоской поверхностью и жесткой сферой радиусом R равна 

 [math]
    U_z=d-\frac{r^2}{2R}
  [/math]

Уравнение вертикальных перемещений, является квадратичным распределением вертикальных смещений по распределению давления в форме.

Подберем параметры [math]a[/math] и [math]p_0[/math], так что распределение давления точного перемещения, вызванные: 

 [math]
    \frac{1}{E^*} \frac{\pi p_0}{4a} (2a^2-r^2)=d-\frac{r^2}{2R}
  [/math]

[math]a[/math] и [math]d[/math] должны отвечать следующим требованиям 

 [math]
    a=\frac{\pi p_0 R}{2E^*},  d=\frac{\pi a p_0}{2E^*}
  [/math]

контакт с радиусом 

 [math]
    a^2=Rd
  [/math]

максимальное давление 

 [math]
    p_0=\frac{2}{\pi}E^*\left(\frac{d}{R}\right)^{1/2}
  [/math]

получаем Нормальная сила 

 [math]
    F=\frac{4}{3} E^* R^{1/2} d^{3/2}
  [/math]

Контакт между двух упругих тел с изогнутыми поверхностями[править]

Рисунок 3. Контакт между двумя телами с изогнутыми поверхностями

Оба тела упруги, поэтому воспользуемся следующим выражением [math]E^*[/math] 

 [math]
    \frac{1}{E*}=\frac{1- \nu_1^2}{E_1}+\frac{1- \nu_2^2}{E_2}
  [/math]

[math]E_1[/math] и [math]E_2[/math] - модуль упругости, [math]\nu_1[/math] и [math]\nu_2[/math] - коэффициент Пуассона

Если у двух сфер с радиусами [math]R_1[/math] и [math]R_2[/math] в контакте (рисунок 3), то уравнения (см. выше) по-прежнему в соответствии с радиусом R 

 [math]
    \frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}
  [/math]


Нормальная сила:

[math] F_n = \frac{4}{3} \times E^* \times \sqrt{R^*} \times \delta_n^{\frac{3}{2}} [/math]
[math] \frac{1}{E^*} = \frac{(1-\nu_i^2)}{E_i} + \frac{(1-\nu_j^2)}{E_j} [/math]
[math] \frac{1}{R^*} = \frac{1}{R_i} + \frac{1}{R_j} [/math]
[math] F_n(\delta_n) = \frac{2}{3} \times \frac{E}{(1-\nu^2)} \times \sqrt{\frac{R}{2}} \times \delta_n^{\frac{3}{2}} [/math]

Сила адгезии:

[math] F_c = k \times A [/math]
[math] A = \pi \times h^2 [/math]

A - площадь круга

[math] h = \sqrt{R^2 - (R-\frac{\delta_n}{2})^2} [/math]

h - 1/2 хорды

[math] F_c(\delta_n) = k \times \pi \times (R^2 - (R - \frac{\delta_n}{2})^2) [/math]


[math] F = F_n(\delta_n) + F_c(\delta_n) [/math]


[math] F = \delta_n (k \pi (R - \frac{\delta_n}{4}) + \frac{E \sqrt{2 R \delta_n}}{3 (1 - \nu^2)}) [/math]

История разрушений

Постановка задачи[править]

Используемые методы[править]

План работы[править]

Ссылки[править]

Механизмы разрушения

Испытания металлов

Тех

См. также[править]

Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=Устинова_Алеся:_Определение_временных_характеристик_разрушения&oldid=13290»