Краморов Данил. Курсовой проект по теоретической механике — различия между версиями
(→Итог) |
(→Итог) |
||
Строка 58: | Строка 58: | ||
<math>L = \frac{\rho A C_l g r} {d^2}\left[\sqrt{\frac {md^3}{5\rho A}} -2r^2)\right]</math>; | <math>L = \frac{\rho A C_l g r} {d^2}\left[\sqrt{\frac {md^3}{5\rho A}} -2r^2)\right]</math>; | ||
− | <math>D(\dot x)^3 + Bx + L</math>; | + | <math>m\ddot x = D(\dot x)^3 + Bx + L</math>; |
Уравнение колебаний для шарика в вертикальном воздушном потоке найдено. | Уравнение колебаний для шарика в вертикальном воздушном потоке найдено. | ||
Версия 15:02, 26 июня 2012
Содержание
Тема проекта
Колебания шарика в вертикальном воздушном потоке
Постановка задачи
Тело - в данном эксперименте шарик для настольного тенниса - помещается на край вертикального воздушного потока (создается феном). Подчиняясь закону Бернулли, шарик будет пытаться стабилизироваться в центре потока, совершая колебания. Требуется найти уравнение колебаний шарика. Рассматриваются только горизонтальные колебания внутри потока.
Параметры системы:
кг/м^3 (массовая плотность воздуха)
м^2 (площадь поперечного сечения шара)
(коэффициент подъемной силы)
м/с (максимальная скорость потока, расчет приведен)
(коэффициент сопротивления)
Решение
Рассмотрим горизонтальную составляющую второго закона Ньютона для данного тела. В этом направление на шарик действуют подъемная сила (объясняемая эффектом Магнуса) и сила аэродинамического сопротивления.
Шарик не является точечным делом, поэтому на границы шарика действуют два разных по значению подъемные силы. Они будут противоположны по знаку. Следовательно уравнение движения будет иметь вид:
Задача сводится к нахождению функции, описывающей скорость шара в вертикальном воздушном потоке. Найти требуемую функцию можно разными способами. Максимальная скорость будет достигаться в центре потока. По краям же скорость будет меньшей. Следовательно в грубом приближение функция скорости будет представлять из себя параболу.
Получаем зависимость от местоположения в потоке.
Теперь следует найти максимальную скорость потока.
Расчет максимальной скорости
Общая формула для скорости будет иметь вид:
Итог
Общая формула при малых х будет иметь вид:
;
;
;
; Уравнение колебаний для шарика в вертикальном воздушном потоке найдено.
Обсуждение результатов и выводы
Аналитический расчет подтвердил экспериментальную оценку. Окончательное уравнение показало, что тело в вертикальном воздушном потоке совершает затухающие колебания. Также можно отметить, что колебания оказались очень малы. Шарик практически моментально стабилизируется в потоке. Что касается вертикальных колебаний, то они зависят от перепадов напряжения в сети и носят довольно случайный характер. Посредством пакета matlab были построены графики скорости, ускорения и движения тела в потоке.