Дзенушко Дайнис. Курсовой проект по теоретической механике — различия между версиями

Версия 13:40, 26 июня 2012

Тема проекта

Описание колебаний двойного маятника

Постановка задачи

Стержень прикреплен к потолку посредством циллиндрического шарнира. Cнизу к этому стержню прикреплен второй также посредством циллиндрического шарнира таким образом что когда маятник вытянут вдоль вертикали, обе оси вращения шарниров расположены в горизонтальной плоскости а угол между ними составляет [math]\alpha[/math]. Диссипативные силы не учитываются.
Параметры системы:

1. Тензоры инерции первого и второго стержней равны [math]\underline{\underline{\Theta}}_1[/math] и [math]\underline{\underline{\Theta}}_2[/math] соответственно.
2. Длины стержней равны a и b, их массы [math]m_1[/math] и [math]m_2[/math] соответственно первому и второму стержням.
3. Угол между осями вращения шарниров равен [math]\alpha[/math]
   

• [math]\varphi[/math] - угол между первым стержнем и вертикалью
• [math]\psi[/math] - угол между осью первого стержня и вторым стержнем т.е. угол во втором шарнире относительно вытянутого положения

Задача:

• Найти уравнение движения системы

Решение

Определимся с подходом к решению: Задачу будем решать при помощи уравнения Лагранжа имеющего следующий вид:
[math]\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_i}-\frac{\partial T}{\partial q_i} = -\frac{\partial \Pi}{\partial q_i}+Q_i[/math]

• [math]T[/math] - Кинетическая энергия системы
  
• [math]\Pi[/math] - Потенциальная энергия системы
  
• [math]q_i[/math] - Обобщенные координаты
  
• [math]\dot{q}_i[/math] - Обобщенные скорости
  
• [math]Q_i[/math] - Обобщенные непотенциальные силы
  

Выберем обобщенные координаты: в качестве обобщенных координат возьмем углы [math]\varphi[/math] и [math]\psi[/math]

• В нашем случае отсутствуют обощенные силы, соответствующие непотенциальным взаимодействиям.
  

Найдем потенциальную и кинетическую энергии системы: [math]\Pi_1 , T_1 ; \Pi_2 , T_2 [/math] соответственно первого и второго стержней.
[math]\Pi = \Pi_1 + \Pi_2[/math] - Потенциальная энергия системы
[math]T = T_1 + T_2[/math] - Кинетическая энергия системы
[math]T_1 = \frac{\underline{\omega}_1 \cdot \underline{\underline{\Theta}}_1 \cdot \underline{\omega}_1}{2} = \frac{\Theta_1 \omega_1^2}{2} = \frac{\Theta_1 \dot{\varphi}^2}{2}[/math] - Кинетическая энергия первого стержня; Где [math]\qquad \Theta_1 = \frac{m_1 a^2}{3}[/math] - момент инерции первого стержня
[math]\Pi_1 = m_1 g \left( \frac{a}{2} - \frac{a}{2} \cos \varphi \right)[/math] - Потенциальная энергия первого стержня
[math]T_2 = \frac{\underline{\omega}_2 \cdot \underline{\underline{\Theta}}_2 \cdot \underline{\omega}_2}{2} + \frac{m_2 \vartheta_c^2}{2}[/math] - Кинетическая энергия второго стержня
[math]\underline{\omega}_2 = ?[/math]

Найдем вектор угловой скорости второго стержня:
Для нахождения [math]\underline{\omega}_2[/math] найдем тензоры поворота первого и второго стержней
[math]\underline{\underline{P}}_1(\varphi,\underline{k}) = \underline{k}\underline{k} + (\underline{\underline{E}} - \underline{k}\underline{k})cos(\varphi) + \underline{k} \times \underline{\underline{E}}sin(\varphi)[/math]
[math]\underline{\underline{P}}_2(\psi,\underline{e}) = \underline{e}\underline{e} + (\underline{\underline{E}} - \underline{e}\underline{e})cos(\psi) + \underline{e} \times \underline{\underline{E}}sin(\psi)[/math]
Где:
[math]\underline{e} = \underline{\underline {P}}_1 \cdot \underline{e}_0[/math] - ось вращения второго стержня в данном положении
[math]\underline{e}_0 = \cos(\alpha) \underline{k} + \sin(\alpha) \underline{i}[/math] - ось вращения второго стержня в начальном положении

[math]\underline{\underline{P}} = \underline{\underline{P}}_2 \cdot \underline{\underline{P}}_1[/math] - полный тензор поворота второго стержня

Теперь по формуле сложения угловых скоростей
[math]\underline{\omega}_2 = \underline{\tilde{\omega}}_2 + \underline{\underline{P}}_2 \cdot \underline{\omega}_1[/math]
Где:
[math]\underline{\tilde{\omega}}_2 = - \frac{1}{2} \left( \underline{\underline{\dot{P}}}_2 \cdot \underline{\underline{P}}^T_2 \right)_\times [/math]
Таким образом получаем что:
[math]\underline{\omega}_2 = - \frac{1}{2} \left( \underline{\underline{\dot{P}}}_2 \cdot \underline{\underline{P}}^T_2 \right)_\times + \underline{\underline{P}}_2 \cdot \dot{\varphi} \underline{k}[/math]

Найдем скорость центра масс второго стержня

[math]\underline{\vartheta}_c = \frac{1}{2}\underline{\omega}_2 \times \underline{b} + \dot{\varphi}\underline{k}\times \underline{a} ; \qquad \underline{a} = \underline{\underline{P}}_1 \cdot a\underline{j} ; \qquad \underline{b} = \underline{\underline{P}}_2\cdot\underline{\underline{P}}_1 \cdot b\underline{j}[/math]

Найдем кинетическую энергию второго стержня
Запишем тензор инерции второго стержня:
[math]\underline{\underline{\Theta}}_2 = \frac{ml^2}{12}\left(\underline{\underline{E}} - \underline{\tilde{e}\tilde{e}} \right) ;\qquad \underline{\tilde{e}} = \underline{\underline{P}}_2 \cdot \underline{\underline{P}}_1 \cdot \underline{j}[/math]

Теперь мы нашли все необходимое для подставления в формулу для кинетической энергии второго стержня:
[math]T_2 = \frac{\underline{\omega}_2 \cdot \underline{\underline{\Theta}}_2 \cdot \underline{\omega}_2}{2} + \frac{m_2 \vartheta_c^2}{2}[/math]

Найдем потенциальную энергию второго стержня
[math]\Pi_2 = mg(a+b - \underline{r}_c \cdot \underline{j}); \qquad \underline{r}_c = \underline{a} + \frac{1}{2}\underline{b}[/math] - радиус-вектор центра масс второго стержня

Получение уравнения движения
Продифференцируем полученные выражения для потенциальной и кинетической энергий, как это требует уравнение Лагранжа и подставим полученное в него. В результате получим систему из двух дифференциальных уравнений которые описывают движение системы.
Заметим что данный метод решения дает нам уравнение движения для больших углов, в случае необходимости его можно линеаризовать предположив что углы [math]\varphi,\psi[/math] малы и отбросив слагаемые второго порядка.

Применение метода решения для частного случая

Проверим описанный выше метод в частном случае при [math]\alpha = 0[/math]
В таком случае задача сводится к двухмерной.
найдем тензоры поворота [math]\underline{\underline{P}}_1(\varphi,\underline{k}) = \underline{k}\underline{k} + (\underline{\underline{E}} - \underline{k}\underline{k})cos(\varphi) + \underline{k} \times \underline{\underline{E}}sin(\varphi)[/math]

[math]\underline{e}_0 = \cos(\alpha) \underline{k} + \sin(\alpha) \underline{i} = \underline{k}[/math]
[math]\underline{e} = \underline{\underline {P}}_1 \cdot \underline{e}_0 = \underline{k}[/math]
[math]\underline{\underline{P}}_2(\psi,\underline{e})= \underline{\underline{P}}_2(\psi,\underline{k}) = \underline{k}\underline{k} + (\underline{\underline{E}} - \underline{k}\underline{k})cos(\psi) + \underline{k} \times \underline{\underline{E}}sin(\psi)[/math]

Обсуждение результатов и выводы

Ссылки по теме

• Double pendulum 2D Wiki
  
• Двумерный случай двойного маятника

См. также

• Справочная информация
• Список курсовых проектов
• Кафедра "Теоретическая механика"
• Дзенушко Дайнис